費為銀，何丹丹，朱永王，蘇 凱

（安徽工程大學 數(shù)理學院，安徽 蕪湖 241000）

考慮紅利和退休的最優(yōu)消費－投資和遺產問題

費為銀，何丹丹，朱永王，蘇 凱

（安徽工程大學 數(shù)理學院，安徽 蕪湖 241000）

在股票支付紅利的情況下，考慮投資者遺產并結合保險，研究3種不同的借貸約束下的消費與投資問題.首先，借助隨機微分方程求解投資者最優(yōu)消費和投資策略的顯式表達式，其次，結合數(shù)值分析，說明3種約束情形下投資占總財富比率以及消費占總財富比率對于財富的變化趨勢，最后，研究了股票是否支付紅利對投資比率以及消費比率的影響.

紅利；最優(yōu)投資策略；自由選擇退休；隨機微分方程；遺產

個人退休的靈活性以及是否能夠對未來勞動收入進行借貸顯著影響投資者的最優(yōu)消費以及投資組合策略.文獻［1］研究了當經濟代理人存在彈性勞動供給時的最優(yōu)消費投資問題，第一次將勞動閑暇決策加入跨期消費－投資組合選擇模型當中，表明了人力資本對最優(yōu)策略有顯著的影響.文獻［2］研究了偏好改變情況下的最優(yōu)投資消費和退休決策問題，經濟代理人能夠決定酌情停止來作為退休時間，允許代理人的偏好在退休前和退休后能夠改變.文獻［3］研究了在時間可變的投資機會集下的完備金融市場中，個人投資者的動態(tài)消費和投資組合選擇.文獻［4］研究表明考慮了退休彈性以及能否對未來勞動收入進行借貸顯著地影響最優(yōu)消費－投資策略.

文獻［5］研究了在帶有習慣形成、隨機機會集、隨機工資和勞動供給彈性的生命周期模型下的消費－投資和閑暇選擇問題，給出了投資者最優(yōu)消費－投資與閑暇選擇策略的顯式表達式.文獻［6］在Markowitz投資組合策略的框架下，用CVaR代替方差作為風險測度，用幾何布朗運動來刻畫股票價格過程，得出均值CVaR模型下的動態(tài)最優(yōu)策略和有效前沿邊界.文獻［7］研究了在考慮股票派發(fā)紅利的情形下，經濟代理人通過不可逆退休時間選擇來調整勞動時間框架下最優(yōu)消費和投資問題.文獻［8］考慮了股票支付紅利的隨機動力學模型.本文在文獻［4］的基礎上考慮了股票支付紅利的情況下，擴展原有模型，得出了在3種約束情形下，考慮保險、紅利和退休的消費和投資模型.

1 問題的描述

本文試圖建立一個模型，用來分析各種關于消費、投資、退休以及保險的問題.選擇問題時做了許多在連續(xù)時間金融模型中常見的假設，例如不變的無風險利率、對數(shù)正態(tài)的風險資產回報等，其他假設看起來似乎并不標準，但是它們對于消費和投資的研究卻十分的適合.本文也提供了一些假設，如股票市場投資帶有紅利分配、死亡率、遺產，此外，投資者在退休之前的勞動收入是帶有潛在的隨機工資率的，以及投資者可以購買保險，并且獲得生命年金等.本文所有的模型考慮的退休是不可逆的，即退休人員退休后不能再從事兼職或者全職工作.

本文主要分析以下3種情形：

（Ⅰ）固定退休期，可以對未來勞動收入進行借貸；

（Ⅱ）投資者自由選擇退休期，并且可以對未來勞動收入進行借貸；

（Ⅲ）投資者自由選擇退休期，但是不可以對未來勞動收入進行借貸.

問題 Ⅰ：給定初始財富W0，初始勞動收入y0，給定退休期為T，與退休相關聯(lián)的示性函數(shù)Rt＝1（T≤t），選擇適應的非負消費｛ct｝，適應的投資組合｛θt｝（表示投資在風險資產中的投資額），以及適應的非負遺產｛Bt｝，來最大化生命周期消費與遺產的期望效用

服從于預算約束

其中：τd為Poisson到達時間；ρ為主觀的時間折現(xiàn)率；δ表示Poisson死亡到達率；K和k為消費Ct和遺產Bt的比例；γ為風險厭惡系數(shù)；Ws為財富過程；θs為投資組合.

其中勞動收入過程

借貸和償付約束為

其中：

表明投資者在退休期為固定退休期，并且可以對未來勞動收入進行借貸時，投資者的財富與未來勞動收入的折現(xiàn)值之和需大于等于0.

問題 Ⅱ：給定初始財富W0，初始勞動收入y0，初始退休狀態(tài)R0－，選擇適應的非負消費｛ct｝，適應的投資組合｛θt｝，適應的非負遺產｛Bt｝，適應的非降退休示性函數(shù)｛Rt｝，為了最大化生命周期消費投資期望效用（式（1）），且服從預算約束（式（2））和退休之前的勞動收入過程（式（3）），借貸和償付約束Wt為

表明投資者可以自由選擇退休，并且能夠對未來勞動收入進行借貸時，投資者的財富與未來勞動收入的折現(xiàn)值之和需大于等于0.

問題 Ⅲ：條件同問題Ⅱ，但是借貸和償付約束Wt為

表明投資者可以自由選擇退休，但是投資者不能夠對未來勞動收入進行借貸時，為了不使得投資者破產，那么投資者的財富必須大于0.

問題的模型采用標準的 Wiener過程Zt，以及用固定風險率δ來表示Poisson死亡到達率，其中Poisson到達時間表示為τd，并且是獨立于 Wiener過程Zt.投資者投資兩種資產，一種是無風險資產，另一種是風險資產即股票.投資者不僅可以投資無風險資產和股票市場，且可以購買保險，模型中的保險假定由死亡率δ來公平定價，當W－B＜0，δ（B－W）表示每單位時間投資者需要支付的保費，并且當投資者死亡是能一次性獲得B－W的補償；當W－B＞0，那么δ（B－W）表示一種生命年金的形式，即在投資者死亡之前，都會獲得一個現(xiàn)金流來保證生活.假定投資者擁有不變的風險厭惡，且期望效用函數(shù)（式（1））采用主觀的時間折現(xiàn)率ρ.常數(shù)K＞1表明對于不工作的偏好，意味著退休過后的邊際效用比退休之前的邊際效用要大.常數(shù)k＞0度量了投資者留下大筆遺產的偏好強度，當k1－γ→0表明投資者對于留下遺產沒有偏好.

2 最優(yōu)策略的解析解

定理1 假定v＞0，無需借貸和償付約束在初始價值下滿足嚴格的不等式

對于問題Ⅰ的解中，最優(yōu)財富過程為

最優(yōu)消費策略為

最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)遺產策略為

其中

并且，問題的價值函數(shù)為

證明 給定式（8），等式（9）中W＊是有定義的，容易驗證預算約束（式（2））對上述策略是成立的.

定義狀態(tài)價格密度

易知g（t）yt是未來勞動收入在t時刻的價值.進一步，未來消費和遺產的現(xiàn)值不超過初始財富

不等式適用于任何可行的策略，在策略是最優(yōu)的情況下，不等式為等式.

結合死亡風險之后，對于任何可行的策略（c，θ，B）有不等式

式（16）中第一個不等式為代進以及來進行直接的驗證，第二個不等式來自約束條件式（15）.在策略是最優(yōu)的情況下，不等式為等式.以上表明，本文提出的最優(yōu)策略優(yōu)于其他策略，之前表明，這個最優(yōu)策略是可行的，因此定理得證.

不同于問題Ⅰ，采用之前的變量，問題Ⅱ和問題Ⅲ并沒有顯式解，然而可以構建邊際效用的情況下，提出另一種顯式解.定義

定理2 假定v＞0，β1＞0，β2＞0，無需借貸和償付約束在初始條件下有嚴格不等式

對于投資者問題Ⅱ，可以采用對偶變量xt來表示問題Ⅱ的解.對偶變量xt定義為

變量b，η以及η∧的定義見定理1，且

最優(yōu)退休邊界

其中：

最優(yōu)消費策略為

最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)遺產策略為

最優(yōu)退休策略為

相應的退休財富門檻值為

最優(yōu)財富為

進而，其值函數(shù)為

其中：x滿足－yφx（x，R）＝W.

定理3 假定v＞0，β1＞0，β2＞0，W0＞0.

投資者問題 Ⅲ的解與問題 Ⅱ的解是相似的，首先重新定義新的對偶變量xt

其中：x0滿足 －y0φx（x0，R0）＝W0，μx以及σx的定義見定理2，那么新的對偶價值函數(shù)為

金融財富為0的x值為

綜合上述對偶變量xt和對偶值函數(shù)后，其他的解的形式同定理2中式（25）～（31）.

定理2和3的證明與文獻［4］中定理2和3的證明類似，故略.

考慮到定理1～3的最優(yōu)策略，人力資本的市場價值在退休過后為0，在退休之前，定理1中，人力資本的市場價值為

H（yt，t）＝g（t）yt，其中yt以及g（t）如前所定義.定理2中人力資本的市場價值為

其中yt，β1，xt，α－以及α＋如前所定義.且

3 最優(yōu)策略的數(shù)值分析

為了更好地說明消費與投資對財富的影響，進行數(shù)值分析.本文設參數(shù)值為d＝1，μ＝0.05，σ＝0.22，r＝0.01，φ＝0.01，δ＝0.025，ρ＝0.01，γ＝3，K＝3，k＝0.05，μy＝0，σy＝0和y0＝1.

圖1所示為3種情況中的投資（θ）占總財富的比率，其中總財富為金融財富W與人力資本H之和.從圖1可以看出，如果未來所有的勞動收入都被資本化，那么問題Ⅰ情形下投資者在固定退休期20年間，在股票市場上的投資額占總財富的比率是恒定不變的.問題Ⅱ情形下，由于可以自由選擇退休，導致了投資者投資在股票市場上的比例逐漸加大，這是由于投資者考慮可以自由退休，投資更多的資產到股票市場中以獲得更多的財富，以達到提前退休的目的.問題 Ⅲ情形下，由于不能夠對未來勞動收入進行借貸的約束，降低了初始的財富量，當財富水平在相對較低的水平下，投資在股票市場上的比率就要比問題Ⅱ的比率低得多，總體而言，問題Ⅲ情形下的投資比率要比問題Ⅱ情形下的投資比率要低.

圖2所示為3種情形中的消費（C）占總財富的比率.從圖2可以看出，問題Ⅰ情形下，投資者固定退休期為20年，可以對未來勞動收入進行借貸時，消費占總財富的比率是恒定的.問題Ⅱ情形下消費占總財富的比率表明靈活的退休策略，導致了隨著財富逐步提高，消費占總財富的比率也相應地提高.這是由于財富量的增加，意味著提高了投資者對于即將退休，降低人力資本和退休后降低消費的預期.且在退休過后，投資者每單位消費的邊際效用比退休前更高.問題Ⅲ情形下消費占總財富的比率表明在財富位于低水平時，消費明顯偏低，導致投資者會將財富投入銀行獲得無風險的收益來抵抗市場可能出現(xiàn)的低迷.

同時，比較在投資股票市場上有無紅利的情況下，投資比率與消費比率發(fā)生的變化.令參數(shù)值為d＝1，μ＝0.05，σ＝0.22，r＝0.01，δ＝0.025，ρ＝0.01，γ＝3，K＝3，k＝0.05，μy＝0，σy＝0和y0＝1.僅就問題Ⅱ情形下加以討論，分別考慮φ＝0.01和φ＝0的情況.圖3表示針對問題Ⅱ考慮股票無紅利支付的情形，以及針對問題Ⅱ考慮股票支付紅利的情形.由圖3可知，在股票支付紅利時，投資者的投資比率以及消費比率都比未支付的情況下要高.對于問題Ⅰ以及問題 Ⅲ的情況，與問題Ⅱ的情況相似.

4 結 語

圖3 股票支付紅利的情形時的投資比率以及消費比率Fig.3 Investment and consumption ratios in the case of the stock dividend payments

本文在考慮紅利分配、保險給付以及退休的情況下，研究了投資者的消費－投資和遺產行為.對文獻［4］的現(xiàn)有模型進行了推廣，并且借助隨機微分方程理論以及鞅方法，解出投資者的最優(yōu)消費－投資策略，并用數(shù)值分析分別說明了3種約束情形下投資占總財富比率以及消費占總財富比率對于財富的變化趨勢，且考慮股票是否支付紅利對投資比率以及財富比率的影響.通過對模型的擴展，使得結論更加符合經濟實際.

參 考 文 獻

［1］BODIE Z，MERTON R C，SAMUELSON W F.Labor supply flexibility and portfolio choice in a life cycle model［J］.J Econ Dyn Control，1992，16（3／4）：427－449.

［2］KWAK M，SHINB Y H，CHOI U J.Optimal portfolioconsumption and retirement decision under a preference change［J］.J Math Anal Appl，2009，355（2）：527－540.

［3］MUNK C.Portfolio and consumption choice with stochastic investment opportunities and habit formation in preferences［J］.J Econ Dyn Control，2008，32（3）：3560－3589.

［4］DYBVIG P H，LIU H.Lifetime consumption and investment：Retirement and constrained borrowing ［J］.J Econ Theory，2010，145（3）：885－907.

［5］朱永王，費為銀，蘇凱.帶有習慣形成的最優(yōu)消費－投資與閑暇選擇問題研究［J］.南京信息工程大學學報，2012，4（5）：476－480.

［6］衡傳杰，郭文旌.CVaR限制下的動態(tài)最優(yōu)投資組合策略［J］.金融經濟，2010，10（1）：90－91.

［7］蘇凱，費為銀，朱永王.考慮紅利支付與提前退休的最優(yōu)投資組合研究［J］.應用數(shù)學與計算數(shù)學學報，2011，26（1）：77－84.

［8］KARATZAS I，SHREVE S E. Methods of mathematical finance［M］.New York：Springer，1998.

Optimal Consumption－Portfolio and Bequest with Dividends and Retirement

FEIWei－yin，HEDan－dan，ZHUYong－wang，SUKai
（School of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000，China）

The problem of the optimal consumption and portfolio with the investor's heritage and insurance，in which the stocks have dicidend－paying under three different borrowing constraints，is studied.Firstly，the policies of the optimal consumption－portfolio and bequest of investors are explicitly provided by using of the stochastic differential equations and the martingale method.Secondly，through the numerical simulation，both the changes of the investment and consumption ratios are analyzed under the three different borrowing constraints.Finally，the effect of the dividends on investment and consumption is discussed.

dividends；optimal portfolio policies；voluntary retirement；stochastic differential equation；bequest

O 211.6；F 224.9

A

1671－0444（2013）01－0124－06

2011－12－12

國家自然科學基金資助項目（71171003，71271003）；安徽省自然科學基金資助項目（090416225）；安徽省高校自然科學基金資助項目（KJ2010A037）

費為銀（1963—），男，安徽蕪湖人，博士，教授，研究方向為金融工程.E－mail：wyfei＠ahpu.edu.cn