童曉進，符卓，劉勇，2，黃珊，文成龍

(1.中南大學交通運輸工程學院，湖南長沙 410075;2.廣西百色軍分區(qū)后勤部，廣西百色 533000)

在大規(guī)模突發(fā)事件的救援工作中，應急物資調(diào)運是救援工作的重要保障。連續(xù)消耗應急物資調(diào)運問題的重要特征是引入了應急點對應急物資的消耗速率概念，且要求應急物資一旦開始參與救援，就必須保證物資能持續(xù)消耗直至物資需求得到滿足為止。該問題在大規(guī)模突發(fā)事件的救援工作中普遍存在，諸如連續(xù)性應急生產(chǎn)原料供給、電力供應等。目前，劉春林等［1－3］研究了應急救援出救點選址等問題，針對多出救點組合問題，提出了關于應急物資調(diào)度完成時間最短和出救點數(shù)目最少的優(yōu)化模型及算法;戴更新等［4］針對多資源多出救點問題，研究了多資源最短應急時間問題的數(shù)學模型;張彥春等［5］結合鐵路運輸特點，對一次性消耗應急物資調(diào)配模型進行了研究;高淑萍等［6］從應急系統(tǒng)費用和可靠性的角度考慮，將出救點的數(shù)目最少作為優(yōu)化目標，給出了連續(xù)消耗應急物資調(diào)運兩層優(yōu)化數(shù)學模型及求解方法。

在連續(xù)消耗應急物資調(diào)運問題上，已有文獻主要側重于物資參與救援開始時間(即出救點物資調(diào)運開始后，物資到達應急點并參與救援的時間)問題的研究，對出救點數(shù)目優(yōu)化問題研究相對較少且計算較為繁瑣。本文在上述文獻的研究基礎之上，以多出救點、單應急點的連續(xù)消耗應急物資調(diào)運問題為研究對象，在滿足物資參與救援開始時間最早的基礎上，給出了出救點數(shù)目優(yōu)化過程的3個判斷條件，并利用分層序列思想設計了簡單的求解算法。

1 問題描述及分析

設B地區(qū)發(fā)生大規(guī)模突發(fā)事件，對某連續(xù)消耗應急物資的需求量為b，在該物資參與救援開始后，其平均消耗速率為v?，F(xiàn)有m個應急物資供應點A1，A2，…，Am可以參與救援，該應急物資儲備量分別為 a1，a2，…，am，且ai≥b。在救援工作中，Ai實際調(diào)往B的應急物資量為xi，即有=b，且從Ai到B的運輸時間為ti。要求在滿足連續(xù)消耗型物資調(diào)運的要求下，給出一個調(diào)運方案φ(確定最終的出救點及其物資調(diào)運量)，使物資參與救援的開始時間最早，出救點數(shù)目最少。

這是1個多目標規(guī)劃問題，若非劣解只有1個，則該非劣解即最優(yōu)解;若非劣解不止1個，則必須按照預定的規(guī)則選出1個認為是比較好的解，即“選好解”［7］。在應急物資調(diào)運問題中，應遵循時間效率重于經(jīng)濟效益的設計原則［8］。因此，本文遵循這樣一個“預定的規(guī)則”:以物資參與救援開始時間最早為第一目標，以出救點數(shù)目最少為第二目標，由此得到最終的調(diào)運方案。

2 建立模型

設調(diào)運方案φ表示為:

其中:i1，i2，…，im為1，2，…，m 的1 個子排列，且滿足=b，0 ≤ xik≤ aik，在本文中，不妨設 i0=0，ti0=0，xi0=0，ai0=0。為了便于分析，給出如下定義。

定義1 對于序列 xi1，xi2，…，xim，若存在p(1≤p≤m)使得 ＜b≤ 成立，則稱p為該序列相對于b的臨界下標。

此時，調(diào)運方案φ可進一步表示為

按照“預定的規(guī)則”，首先考慮滿足物資參與救援開始時間最早的要求。那么憑經(jīng)驗很容易就能得到使應急點獲得物資救援最早的辦法(以下簡稱經(jīng)驗法)是:由離應急點運輸時間最短的物資供應點參與救援，在供給不足以滿足需求的情況下，離應急點運輸時間次短的物資供應點參與救援，依此類推，直到應急點需求得到滿足為止。然而，因該方法并未考慮該問題的應急物資具有連續(xù)消耗的特征，在物資參與救援開始后，應急點的物資消耗可能因供給不足而出現(xiàn)中斷的情況，故該方法不一定能滿足物資連續(xù)消耗的要求。此時，引入方案φ關于物資參與救援開始時間s連續(xù)可行的定義:設s表示物資參與救援的開始時間，f表示應急點對該物資消耗的結束時間，根據(jù)連續(xù)消耗應急物資的特點，有

定義2 若在方案φ中，對于 ?t∈［s，f］，下式始終成立，則稱方案φ關于物資參與救援的開始時間s連續(xù)可行［6］，即在物資參與救援開始之后，能保證物資供給量不小于消耗量。

定義3 若方案φ關于物資參與救援開始時間s連續(xù)可行，則稱方案φ為可行方案，稱由可行方案組成的集合為χ。

因此，關于物資參與救援開始時間s最早的目標函數(shù)可表示為

此外，由定義2可演算得到如下定理。

定理1 若方案φ關于物資參與救援的開始時間s連續(xù)可行，則s應滿足:

在式(6)中， 表示前k－1個出救點的救援物資可維持消耗時間。若hik≤0，表示在該方案中，出救點Aik始終能與前k－1個出救點保持物資的連續(xù)消耗;若hik＞0，則表示為使Aik的物資能與前k－1個出救點保持連續(xù)消耗，需要在調(diào)運開始后過hik個單位時間才能參與救援，即至少在調(diào)運開始后過max{hik}個單位時間參與救援才能保證方案φ關于s連續(xù)可行。因此，方案中物資參與救援的最早開始時間取s=max{hik}。

其次考慮優(yōu)化出救點數(shù)目問題，為分析該問題，引入0－1變量zik來表示Aik是否參與救援，并令

即出救點數(shù)目可表示為

因此，該連續(xù)消耗應急物資調(diào)運問題的數(shù)學模型可以表示為

目標函數(shù)(9)式表示該連續(xù)消耗應急物資參與救援開始時間最早;目標函數(shù)(10)式表示出救點數(shù)目最少;約束條件(11)式表示物資參與救援開始后，對于任意時刻t，方案始終關于參與救援開始時間s連續(xù)可行;約束條件式(12)表示各出救點參與救援的物資量不超過其物資儲存量。

3 模型求解

求解多目標規(guī)劃問題的方法主要有:化多目標為單目標、引進次序法、直接求非劣解法等。由于應急物資調(diào)運具有時間效率高于經(jīng)濟效益的特點，在此利用分層序列思想設計求解算法。首先對應急物資參與救援開始時間最早(函數(shù)(9))進行求解，得到應急物資參與救援開始時間最早的可行方案;在此基礎上對出救點數(shù)目(函數(shù)(10))進行優(yōu)化，從而求得該問題的最終調(diào)運方案。

3.1 參與救援開始時間最早的可行方案

利用上述經(jīng)驗法得到的調(diào)運方案，使物資參與救援開始時間s最早，但方案不能保證關于s連續(xù)可行。因此，在經(jīng)驗法的基礎之上添加關于s連續(xù)可行的約束條件，即約束條件(11)和(12)，則容易得到滿足物資參與救援開始時間最早的可行方案，這在文獻［9］中已經(jīng)得到證明。

不妨設t1≤t2≤…≤tm，則物資參與救援開始時間最早的方案是:按ti(1≤i≤m)從小到大的順序依次安排Ai參與救援，直到p為相對b的臨界下標，即

為保證方案關于s連續(xù)可行，在滿足約束條件(11)和(12)的要求下，得到物資參與救援的最早開始時間為

此時，方案φ滿足物資參與救援開始時間最早，且為可行方案。

3.2 優(yōu)化出救點數(shù)目

上述方案φ是本問題的初始方案，實現(xiàn)了物資參與救援的開始時間最早且方案關于S連續(xù)可行，但有時會存在Ap物資有剩余的情況，因此，出救點數(shù)目存在優(yōu)化的可能性［10］。此時，在滿足約束條件(11)和(12)的要求下，對初始方案φ的出救點數(shù)目進行優(yōu)化。

(1)出救點Ap剩余物資量大于Aq參與救援的物資量。即Ap所剩余的物資量為ap－xp，Aq參與救援物資量為aq，則aq須滿足

(2)物資參與救援的最早開始時間s不變。即Aq下標q須滿足

現(xiàn)利用反證法對式(16)進行證明:假設存在出救點Aq(q＜y)被取代，方案關于物資參與救援的最早開始時間S能保持不變。已知在Aq被取代后，物資參與救援的最早開始時間s'=max{hk}，k∈ {1，2，…，(q － 1)，(q+1)，…，y，…p}，顯然有Δs=s'－ s=aq/v，Δs＞ 0，故假設不成立。因此，取y≤q≤p－1。

(3)方案始終關于物資參與救援的開始時間連續(xù)可行，則tq須滿足

3.3 計算步驟

第1步，按照式(13)和(14)獲得參與救援開始時間最早的一個初始可行方案φ，有φ={(A1，a1)，(A2，a2)，…，(Ap，xp)}。其中:xp=b － ，且S=k∈{m1，2a，x…，p}{hk}，hk=tk－ 。

第2步，將同時滿足判斷條件(1)，(2)和(3)的出救點組成集合R1(R1={Aj}，j為符合上述3個判斷條件的出救點下標)。顯然有R1?R。若R1=φ，則跳到第5步，否則進入下一步。

第 3 步，Aq∈R1，令q=max{j}，設aq=0，計算 S'=max{hk}，k∈ {1，2，…，(q － 1)，(q+1)，…，p}，并進入下一步。

第4步，驗算s'=s是否成立。若成立則置aq=0并返回第1步;否則將Aq從R1中刪除，重復第3步直到R1=φ時，進入第5步。

第5步，計算結束，此時方案φ即為本問題的最終調(diào)運方案。

4 算例分析

某地區(qū)B發(fā)生大規(guī)模突發(fā)事件后，亟需某類連續(xù)消耗應急物資，需求量為16 t，在物資參與救援開始后，其平均消耗速率為1 t/h，能參與救援的物資供應點有8個，其相應的數(shù)據(jù)信息如表1所示。

表1 仿真結果Table 1 Simulation data

通過對上述問題的分析，利用本文給出的模型及算法進行求解。首先計算得到滿足參與救援開始時間最早的初始可行方案如下:

按此調(diào)運方案，在物資調(diào)運開始后過2 h，該救援物資即可參與救援，從而使物資參與救援開始時間最早，并滿足關于救援開始時間s連續(xù)可行的要求。

然后，利用上述的計算步驟對初始可行方案進行優(yōu)化，其計算過程如表2所示。

表2 計算過程Table 2 Computation process

因此，在該算例中，最終的調(diào)運方案為φ ={(A1，5)，(A2，0)，(A3，0)，(A4，11)}，且 s=2

即物資參與救援的最早開始時間是物資調(diào)運開始后過2 h進行，只需2個出救點A1和A4。

5 結論

(1)以物資參與救援開始時間最早、出救點數(shù)目最少為目標，對連續(xù)消耗應急物資調(diào)運問題進行了研究，建立了相應的多目標優(yōu)化決策模型。在滿足物資參與救援開始時間最早的基礎上，給出了出救點數(shù)目優(yōu)化過程的3個判斷條件，并利用分層序列的思想設計了簡單的求解算法，最后通過算例驗證了模型及算法的有效性。

(2)本文給出的調(diào)運方案計算方法可為決策者提供決策依據(jù)，也為物資供求關系不確定、多應急點等更復雜情況下的連續(xù)消耗應急物資調(diào)運問題研究打下了基礎。

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