劉 財(cái)，盧勇旭，馮 晅，劉宇巍，鹿 琪

吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026

1 引 言

作為多波地震勘探數(shù)據(jù)處理的主要組成部分，轉(zhuǎn)換波數(shù)據(jù)處理受到廣泛的關(guān)注，其中轉(zhuǎn)換波的靜校正問(wèn)題是決定轉(zhuǎn)換波數(shù)據(jù)處理效果好壞的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一.轉(zhuǎn)換波的靜校正量可分解為炮點(diǎn)的縱波靜校正量和檢波點(diǎn)的橫波靜校正量.前者可以通過(guò)常規(guī)縱波靜校正得到解決，而后者則要困難許多.由于橫波的傳播不受孔隙流體的影響，其近地表層通常在潛水面以下，加之橫波波速小于縱波波速，使得檢波點(diǎn)的橫波靜校正量很大且與炮點(diǎn)縱波靜校正量不相關(guān)[1］.因此采用常規(guī)縱波的線性靜校正方法處理轉(zhuǎn)換波靜校正問(wèn)題很難得到滿意的效果.

剩余靜校正本質(zhì)上是非線性問(wèn)題，適合采用非線性全局最優(yōu)化方法，這點(diǎn)在求取大剩余靜校正量問(wèn)題上尤為明顯.Rothman于1986年提出將模擬退火方法應(yīng)用于求解大的剩余靜校正量的問(wèn)題[2］，之后的很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面提出了自己的見解和方法[3-4］.轉(zhuǎn)換波的靜校正問(wèn)題是典型的大靜校正量問(wèn)題，因此采用非線性全局最優(yōu)化方法求取轉(zhuǎn)換波靜校正量是可行的[5-6］.

Ronen和Claerbout于1985年提出最大能量法[7］，將疊加剖面能量作為目標(biāo)函數(shù)，采用迭代的方法求取靜校正量.這種方法處理小靜校正量、高信噪比的地震資料時(shí)有收斂速度快、誤差較小的優(yōu)點(diǎn)；但是當(dāng)資料信噪比較低且存在大的靜校正量時(shí)，該方法很容易陷入局部最優(yōu)解[8］.

粒子群算法（Particle Swarm Optimization Algorithm，簡(jiǎn)稱PSO）是一種群體智能（Swarm Intelligence）算法.它是由Eberhart和Kennedy于1995年提出的[9］，其思想是基于對(duì)鳥群和魚群的模擬.其優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，收斂速度快，適于并行計(jì)算；缺點(diǎn)是易收斂于全局最優(yōu)解，“早熟”現(xiàn)象顯著.

本文提出了一種新的粒子群算法：團(tuán)體粒子群算法，改善了粒子群算法易“早熟”的缺點(diǎn).并將團(tuán)體粒子群算法與最大能量法進(jìn)行了串行融合，將其應(yīng)用于求取轉(zhuǎn)換波檢波點(diǎn)橫波剩余靜校正量，理論模擬證明了本方法有較好的效果.

2 基本原理

2.1 原始粒子群算法

PSO是一種群智能算法.粒子群中的每個(gè)粒子都有兩個(gè)屬性：位置和速度.位置代表所求問(wèn)題的可能解，速度控制粒子在解空間里的移動(dòng)的方向和距離.此外還有由具體問(wèn)題總結(jié)出來(lái)的目標(biāo)函數(shù)，將粒子的位置代入目標(biāo)函數(shù)求取粒子對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值.整個(gè)優(yōu)化過(guò)程就是粒子追隨適應(yīng)度值最優(yōu)的粒子進(jìn)行搜索.

第n次迭代時(shí)，第i個(gè)粒子，第m維的速度vim和位置xim的更新方程如下[10］：

式中，pbestim為第i個(gè)粒子、第m維的歷史最優(yōu)位置；gbestm為所有粒子、第m維的全局最優(yōu)位置；c1、c2稱為學(xué)習(xí)因子，分別調(diào)節(jié)粒子向著個(gè)體歷史最優(yōu)位置和全局歷史最優(yōu)位置的運(yùn)動(dòng)，合適的c1、c2會(huì)在保證算法不陷入局部極值的前提下加快收斂速度，通常令c1=c2=2；r1、r2為兩個(gè)取值在[0，1］之間的隨機(jī)數(shù).

2.2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

原始的粒子群算法其局部搜索能力較強(qiáng)，而全局收斂能力相對(duì)較弱，為了改善這一缺陷，Shi和Eberhart將慣性權(quán)重引入了速度進(jìn)化方程中[11］：

式中ω稱為慣性權(quán)重，它控制著粒子前一次迭代時(shí)的速度對(duì)當(dāng)前速度的影響，研究證明，較大的ω利于算法的全局搜索，而較小的ω則能加強(qiáng)算法局部搜索的能力.慣性權(quán)重的引入一定程度上增加了PSO的全局搜索能力.

PSO采用多點(diǎn)并行的方式進(jìn)行搜索，在算法進(jìn)行過(guò)程中粒子之間互相交流信息，使得收斂速度很快，且原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、調(diào)用參數(shù)較少，適合工程等方向?qū)嶋H應(yīng)用.但是標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法也有很明顯的缺點(diǎn)，那就是“早熟”現(xiàn)象比較嚴(yán)重.由于粒子群的更新是跟隨者當(dāng)前全局最優(yōu)解和鄰域最優(yōu)解，在應(yīng)用粒子群算法解決復(fù)雜的多峰值問(wèn)題搜索時(shí)，如果當(dāng)前最優(yōu)解不是全局最優(yōu)解而是局部最優(yōu)解的話，一旦粒子群體靠近這個(gè)區(qū)域，由于其搜索機(jī)制的限制將很難跳出這個(gè)局部最優(yōu)解.即使增大粒子數(shù)目也不能從根本上克服這個(gè)問(wèn)題.學(xué)者們對(duì)粒子群的主要改進(jìn)思路也是主要圍繞著避免算法早熟、增加種群多樣性進(jìn)行的.

2.3 最大能量法

最大能量法是求取剩余靜校正量的一種常用方法，它是由Ronen和Claerbout于1985年提出的.最大能量法基于一個(gè)基本思想，即應(yīng)用正確的靜校正量后地震剖面的疊加能量應(yīng)該達(dá)到極大，這樣就可以把求取靜校正量轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)最優(yōu)化問(wèn)題[7-8］：

式中：E 為疊加剖面的能量；S= ｛si｝，R= ｛rj｝分別為炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)的剩余靜校正量；dyh（t）表示共中心點(diǎn)道集y中，偏移距為h的動(dòng)校正后的地震道.最大能量法計(jì)算過(guò)程可以描述為：將疊加剖面的能量作為目標(biāo)函數(shù)，依次掃描所有的炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)的靜校正量，全部掃描完一次即完成一次迭代.在掃描一個(gè)炮點(diǎn)或檢波點(diǎn)時(shí)，其余點(diǎn)固定，計(jì)算該炮點(diǎn)或檢波點(diǎn)的可能靜校正量對(duì)應(yīng)的疊加剖面的能量，取最大能量對(duì)應(yīng)的靜校正量為該炮點(diǎn)或檢波點(diǎn)的靜校正量并進(jìn)行校正.

最大能量法對(duì)高信噪比、小靜校正量地震資料具有收斂速度快、成像效果好的優(yōu)點(diǎn).但處理存在大靜校正量、信噪比較低的資料時(shí)往往容易收斂于局部極值，產(chǎn)生“周波跳躍”現(xiàn)象.可以說(shuō)，最大能量法靜校正的效果很大程度上依賴于初始模型的好壞.

3 團(tuán)體粒子群算法及其與最大能量法的串行融合算法

3.1 團(tuán)體粒子群算法

在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中，粒子通過(guò)追隨全部粒子的最優(yōu)解和自身的歷史最優(yōu)解進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，并很快聚集.這種搜索方法雖然效率很高，但是缺點(diǎn)是粒子聚集太快，極容易陷入局部極值.為了防止這種粒子的聚集導(dǎo)致的過(guò)早收斂，本文引入了一類新的特殊粒子：團(tuán)體粒子.將這種包含團(tuán)體粒子的粒子群算法稱為團(tuán)體粒子群算法.

以尋找目標(biāo)函數(shù)Y=f（X）的最小值問(wèn)題為例，將團(tuán)體粒子群算法計(jì)算過(guò)程描述如下：

（1）隨機(jī)初始化一個(gè)群體.

假設(shè)解空間為M維，群體有I個(gè)粒子，其中含J個(gè)團(tuán)體粒子，則第i個(gè)粒子的速度和位置表示為Vi= （vi1，vi2，…，vim）和Xi= （xi1，xi2，…，xim），其中i=1，2，…，I，按下面兩個(gè)公式初始化群體：

式中rnd為一個(gè)0～1之間的隨機(jī)數(shù)；Xmax和Xmin分別表示粒子的最大位置和最小位置；Vmax和Vmin分別表示粒子的最大速度和最小速度；通常令Vmax=kXmax，Vmin=kXmin，其中0.1≤k≤1.0.對(duì)第i個(gè)粒子第m維的位置和速度，有如下公式[12］：

（2）計(jì)算所有粒子的適應(yīng)度，更改粒子的歷史最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置.

在第n次迭代時(shí)，對(duì)第i個(gè)粒子有：

對(duì)所有粒子而言，有：

則將Pbestp稱為全局最優(yōu)位置，記為Gbest=（gbest1，gbest2，…，gbestJ）

（3）判斷是否達(dá)到循環(huán)結(jié)束條件，達(dá)到則結(jié)束循環(huán)并輸出結(jié)果，未達(dá)到則繼續(xù)進(jìn)行下面步驟.一般的判斷準(zhǔn)則有限制最大循環(huán)次數(shù)和判斷兩次全局最優(yōu)適應(yīng)度值之差的絕對(duì)值是否小于一個(gè)常數(shù).

（4）更新位置和速度.

團(tuán)體粒子群算法中所有粒子的位置更新公式是相同的，即式（2）.對(duì)于團(tuán)體粒子和普通粒子，其速度更新公式是不同的.對(duì)于普通的粒子，其速度更新公式就是公式（3）；對(duì)于團(tuán)體粒子，第n次迭代時(shí)有：

則對(duì)于“團(tuán)體”中的第j個(gè)粒子，第n次迭代時(shí)、第m維的速度更新方程如下：

式中，pbest、gbest、ω、c1、c2、r1、r2和n 與公式 （1）（3）中的含義相同；λj為速度擾動(dòng)因子，它是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，其值對(duì)不同粒子是不同的，而對(duì)每個(gè)粒子不同維度則是相同的.從式（11）可見，對(duì)于任意一個(gè)團(tuán)體粒子，其速度變化是與第n次迭代時(shí)團(tuán)體中的最優(yōu)粒子的速度方向相同而大小不同的.

（5）返回（2）步繼續(xù)計(jì)算.

3.2 算法測(cè)試

為了驗(yàn)證團(tuán)體粒子群算法的尋優(yōu)能力優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，采用測(cè)試函數(shù)Rastrigin進(jìn)行試驗(yàn)，其公式為：

式中n為自變量個(gè)數(shù).

Rastrigin函數(shù)有一個(gè)全局極小值，位置是x1=x2=…=xn=0，函數(shù)值為0.Rastrigin函數(shù)有2個(gè)自變量時(shí)的圖形如圖1所示.

圖1 2個(gè)自變量的Rastrigin函數(shù)Fig.1 Rastrigin function of two variables

可見Rastrigin函數(shù)是一個(gè)欺詐性很強(qiáng)的函數(shù)，有很多局部極值，極易使算法陷入局部最優(yōu)解.下面對(duì)有3個(gè)自變量的Rastrigin函數(shù)分別進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和團(tuán)體粒子群算法尋優(yōu)操作，為了保證測(cè)試的客觀性，設(shè)定兩種算法的種群大小均為60，其中團(tuán)體粒子群算法中的團(tuán)體粒子個(gè)數(shù)為40，個(gè)體粒子數(shù)為20.每種算法的運(yùn)算10次，統(tǒng)計(jì)成功尋找到最小值的次數(shù).若成功用●表示，失敗則用○表示.結(jié)果見表1.

從表1可見，團(tuán)體粒子群算法的尋優(yōu)能力優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法.這是因?yàn)樵谒惴ㄟM(jìn)行中，團(tuán)體粒子以相同的運(yùn)動(dòng)方向?qū)臻g進(jìn)行較均勻的搜索，這樣就減弱了標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中由于聚集過(guò)快導(dǎo)致的“早熟”現(xiàn)象，有利于算法找到全局最優(yōu)解.

表1 兩種算法比較Table 1 Comparison of two algorithms

3.3 團(tuán)體粒子群算法和最大能量法的串行融合算法

靜校正問(wèn)題是一個(gè)多維多極值的復(fù)雜問(wèn)題，單純應(yīng)用一種算法依然很難取得好的效果.為了綜合團(tuán)體粒子群算法的全局尋優(yōu)能力和最大能量法較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力，將兩個(gè)算法進(jìn)行了串行融合，再將串行融合后的算法應(yīng)用于求取轉(zhuǎn)換波的檢波點(diǎn)橫波靜校正量問(wèn)題上，取得了較好的效果.

串行融合算法的計(jì)算過(guò)程可以描述為：

（1）確定目標(biāo)函數(shù)

對(duì)比式（4），由于進(jìn)行轉(zhuǎn)換波靜校正時(shí)縱波靜校正已做完，因此無(wú)需計(jì)算炮點(diǎn)靜校正量.目標(biāo)函數(shù)可以設(shè)計(jì)為：

則靜校正對(duì)應(yīng)的問(wèn)題即為尋找令E最大的一組R.

（2）進(jìn)行N1次團(tuán)體粒子群算法

以式（13）作為目標(biāo)函數(shù)，用團(tuán)體粒子群算法公式中的位置X代表式（13）中所有的檢波點(diǎn)橫波靜校正量R，即X每個(gè)維度的值xm為各個(gè)檢波點(diǎn)的橫波靜校正量rj.根據(jù)式（5）—（11）進(jìn)行N1次團(tuán)體粒子群算法.其中N1人為給定，用以控制團(tuán)體粒子群算法的迭代次數(shù).

（3）進(jìn)行N2次最大能量法

令

（4）判斷是否達(dá)到算法終止條件

終止條件可設(shè)計(jì)為算法進(jìn)行N次迭代或者兩次迭代的疊加剖面能量之差的絕對(duì)值小于某個(gè)常數(shù).若滿足終止條件，則停止計(jì)算，輸出疊加剖面和求得的靜校正量；若為滿足終止條件，則返回步驟（2）繼續(xù)運(yùn)算.

在串行融合算法運(yùn)行中，團(tuán)體粒子群算法較強(qiáng)的全局搜索能力可以給最大能量法提供較好的初值；最大能量法較強(qiáng)的局部搜索能力可以在團(tuán)體粒子群算法提供的初值基礎(chǔ)上進(jìn)行局部快速搜索.二者循環(huán)進(jìn)行，最終搜索到最優(yōu)解.

4 模型試算

4.1 團(tuán)體粒子群與最大能量串行融合算法的應(yīng)用

利用上述方法對(duì)理論模型數(shù)據(jù)進(jìn)行了試算.建立一個(gè)含一個(gè)反射界面的二維地質(zhì)模型并合成地震記錄.界面深度為120m，縱波速度為2000m／s，橫波速度為1000m／s，單邊放炮，20道接收，共放69炮，地震波主頻為25Hz.在合成的地震記錄中加入[-60ms，60ms］之間的隨機(jī)數(shù)作為檢波點(diǎn)橫波靜校正量.圖2為含有檢波點(diǎn)橫波靜校正量的疊加剖面，這個(gè)剖面是經(jīng)過(guò)動(dòng)校正和炮點(diǎn)靜校正后的疊加剖面，圖3為加入的檢波點(diǎn)靜校正量.可見疊加剖面由于檢波點(diǎn)靜校正量的存在導(dǎo)致同相軸斷續(xù)明顯，毫無(wú)規(guī)律.

圖4為串行融合算法靜校正后的疊加剖面圖和求得的靜校正量與理論值之差.從圖4a中可見一條連續(xù)性很好的同相軸，且其位置和形態(tài)與模型中反射界面的位置符合，可以客觀準(zhǔn)確地反應(yīng)底下界面情況；圖4b也說(shuō)明串行融合算法求取的靜校正量很準(zhǔn)確.這說(shuō)明串行融合算法很好地消除了靜校正量對(duì)疊加剖面的影響，是一種全局尋優(yōu)能力很強(qiáng)的最優(yōu)化算法.

在上面的串行融合算法靜校正中，團(tuán)體粒子群算法的種群大小取20，其中團(tuán)體粒子個(gè)數(shù)為10；每次循環(huán)中團(tuán)體粒子群算法迭代次數(shù)（即N1）為10次.為了驗(yàn)證不同的N1對(duì)本文方法求取靜校正量效果的影響，設(shè)計(jì)并進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：取N1為2～20次，種群大小等其它參數(shù)不變，對(duì)上述模型分別采用本文方法進(jìn)行靜校正，并計(jì)算N1不同時(shí)求得的靜校正量的平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error，簡(jiǎn)稱MAE），MAE的求取公式如下：

式中，J為總檢波點(diǎn)數(shù)，r′j為第j個(gè)檢波點(diǎn)橫波靜校正量的理論值，rj為本文方法求取的第j個(gè)檢波點(diǎn)橫波靜校正量.

圖5為求得的靜校正量平均絕對(duì)誤差隨N1變化圖，可見當(dāng)N1取值較小時(shí)，誤差較大；隨著N1的增大，誤差逐漸減??；當(dāng)N1取值大于等于5后，誤差達(dá)到最小且隨著N1的增加不再變化.這是因?yàn)楫?dāng)N1過(guò)小也即是團(tuán)體粒子群算法迭代次數(shù)過(guò)少時(shí)，團(tuán)體粒子群算法搜索區(qū)域有限，無(wú)法為最大能量法提供較好的初值；而隨著N1的增加，團(tuán)體粒子群算法的搜索區(qū)域也隨之增加，從而可以為最大能量法搜索到較好的初值，兩種方法交替進(jìn)行進(jìn)而搜索到最優(yōu)解.但是N1過(guò)大會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的時(shí)間顯著增加，因而實(shí)際計(jì)算中N1的取值應(yīng)隨目標(biāo)問(wèn)題的復(fù)雜度而定.

4.2 對(duì)比分析

圖6 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法靜校正結(jié)果（a）靜校正后疊加剖面；（b）求得的靜校正量與理論值之差.Fig.6 Results of standard PSO statics（a）Stack section after statics correction；（b）Difference between the estimated statics and the true statics.

我們分別用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和最大能量法對(duì)合成的地震數(shù)據(jù)求取靜校正量.圖6為采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法靜校正后的疊加剖面圖和求得的靜校正量與理論值之差.從圖6a中可見，標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法靜校正后的疊加剖面比未做靜校正的疊加剖面同相軸連續(xù)性略有提高但仍斷續(xù)明顯，說(shuō)明這種方法并未很好地消除靜校正量的影響；圖6b也反映了標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法求得的靜校正量的誤差很大，最大的誤差絕對(duì)值高達(dá)80ms，已經(jīng)大于了加入的靜校正量的最大值.產(chǎn)生這樣的結(jié)果是由于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法“早熟”的缺陷，使算法陷入了局部極小值，可見標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法轉(zhuǎn)換波靜校正效果不好.圖7為采用最大能量法靜校正后的疊加剖面圖和求得的靜校正量與理論值之差.從圖7a中可見最大能量法靜校正后的疊加剖面相對(duì)于未作靜校正的疊加剖面和標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法靜校正后的疊加剖面而言，其同相軸連續(xù)性有很大的提高，同相軸不再是雜亂無(wú)章，而是有兩條很明顯的同相軸，兩條同相軸中間包含一個(gè)錯(cuò)斷.可以解釋為其對(duì)應(yīng)的模型含有一個(gè)斷層，這顯然是不正確的.所以最大能量法也沒有得到正確的靜校正量；圖7b也反映出最大能量法求取的靜校正量誤差雖然相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法要小很多，但是其最大誤差的絕對(duì)值仍接近30ms.由此可見，標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和最大能量法均無(wú)法得到準(zhǔn)確的靜校正量，無(wú)法應(yīng)用于轉(zhuǎn)換波靜校正.

圖7 最大能量法靜校正結(jié)果（a）靜校正后疊加剖面；（b）求得的靜校正量與理論值之差.Fig.7 Results of maximum energy method statics（a）Stack section after statics correction；（b）Difference between the estimated statics and the true statics.

5 結(jié) 論

（1）轉(zhuǎn)換波靜校正問(wèn)題是一個(gè)復(fù)雜的、多維度多參數(shù)的、非線性問(wèn)題.利用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和最大能量法均無(wú)法得到很好的效果.

（2）對(duì)Rastrigin函數(shù)的尋優(yōu)實(shí)驗(yàn)證明，團(tuán)體粒子群算法的全局尋優(yōu)能力優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的.

（3）團(tuán)體粒子群算法和最大能量法的串行融合算法綜合了前者較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和后者較好的局部收斂能力，是一種有效的估算轉(zhuǎn)換波靜校正量的方法.通過(guò)串行融合算法和標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法、最大能量法對(duì)模型進(jìn)行靜校正的結(jié)果比較，證實(shí)了該方法可以很好地求取大的轉(zhuǎn)換波檢波點(diǎn)靜校正量，靜校正后的剖面連續(xù)性好.

串行融合算法雖然對(duì)于求取轉(zhuǎn)換波靜校正量問(wèn)題取得了較好的效果，但是對(duì)于大靜校正量的縱波剩余靜校正問(wèn)題，由于其問(wèn)題復(fù)雜度更高，本方法很難取得較好效果，這也是下一步的研究目標(biāo).

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