◆胡雪嬌 王艷萍 劉繼升 馬國(guó)棟 李慧

教育裝備是現(xiàn)代教育教學(xué)的重要手段，是改善學(xué)校的辦學(xué)水平、提高教學(xué)質(zhì)量和效率的重要途徑[1]。先進(jìn)的教育裝備為學(xué)校提供了豐富的教學(xué)資源和良好的教學(xué)環(huán)境，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力方面起到重要作用。

近年來，學(xué)校在教育裝備方面的投資逐漸增大，增添和更新了許多教學(xué)設(shè)施。因此，在當(dāng)前的教育教學(xué)中，教育裝備已經(jīng)成為教學(xué)過程中不可缺少的重要條件。由于教育裝備的理論研究還不成熟，學(xué)校對(duì)教育裝備的管理還處于初級(jí)階段，使得教育裝備不能發(fā)揮應(yīng)有的使用效能[2-3]。

為保障教學(xué)質(zhì)量，滿足教育需求，學(xué)校需要及時(shí)對(duì)教育裝備進(jìn)行更新和維護(hù)。由于教育裝備經(jīng)費(fèi)有限，因此在決定是否對(duì)裝備進(jìn)行更新時(shí)，要考慮裝備更新的成本以及舊裝備維修費(fèi)用等問題。教育裝備更新問題屬于教育裝備資源分配的一種，而教育裝備資源分配中的許多決策優(yōu)化問題屬于多階段決策問題，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是求解多階段決策問題的有效工具[4]。本文將隨機(jī)性動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用于教育裝備更新問題，以確定一種裝備在使用多少年后更新，使得某段時(shí)間內(nèi)總費(fèi)用達(dá)到最小，為教育裝備的更新提供最優(yōu)化策略。

1 教育裝備更新的隨機(jī)性動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

1.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想

動(dòng)態(tài)規(guī)劃（Dynamic Programming）是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，它是1951年由美國(guó)數(shù)學(xué)家R.Bellman等人創(chuàng)立的用來解決多階段決策過程優(yōu)化問題的一種方法[5]。所謂多階段決策問題，就是將問題劃分為若干個(gè)相互聯(lián)系的階段，每個(gè)階段都有一組可供選取的決策，當(dāng)決策確定后，下階段的初始狀態(tài)也隨之確定。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的特點(diǎn)是將多階段決策問題變換為一系列相互聯(lián)系的單階段問題，然后逐個(gè)加以解決[6]。其基本概念如下：

1）階段：根據(jù)時(shí)間順序或空間特征將問題劃分為若干個(gè)相互聯(lián)系的子問題，這些子問題即為階段。描述階段的變量稱為階段變量，通常用k表示，n表示階段的個(gè)數(shù)，當(dāng)某個(gè)問題被劃分為n個(gè)階段時(shí)，其階段變量為k=1,2，…，n。

2）狀態(tài)：每個(gè)階段在開始時(shí)所處的狀況。通常用Sk表示每個(gè)狀態(tài)的變量。

3）決策：當(dāng)問題處于某個(gè)階段的某個(gè)狀態(tài)時(shí)，決策者做出的決定使該狀態(tài)演變到下一個(gè)狀態(tài)，這種決定就稱為決策。通常用Uk(Sk)表示決策變量，即為階段k的狀態(tài)為Sk時(shí)的決策變量。

4）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：描述過程由一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)變過程。反映這種演變過程的公式記為：

5）策略：是由各個(gè)階段的決策按順序排列組成的。由k階段開始到終止?fàn)顟B(tài)的決策按順序排列組成的序列稱為k子過程策略，記為：

6）指標(biāo)函數(shù)：指標(biāo)函數(shù)包括階段指標(biāo)函數(shù)和過程指標(biāo)函數(shù)[7-8]。階段指標(biāo)函數(shù)記為gk(Sk,Uk)，它表示在第k階段處于Sk狀態(tài)下，使用決策Uk后產(chǎn)生的效應(yīng)。過程指標(biāo)函數(shù)是用來描述實(shí)現(xiàn)過程效果優(yōu)劣的數(shù)量指標(biāo)，記為Vk(Sk,Uk)，是各個(gè)階段的指標(biāo)函數(shù)的累積。

7）最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)：指從某一階段開始到終止階段選取最優(yōu)策略得到的指標(biāo)函數(shù)值，記為：

opt即最優(yōu)化optimization，根據(jù)具體問題可取max或min[9]。

根據(jù)決策過程所面臨的方案是否確定，可以將動(dòng)態(tài)規(guī)劃分為確定性動(dòng)態(tài)規(guī)劃和隨機(jī)性動(dòng)態(tài)規(guī)劃[10]。由于教育裝備在使用過程每年受到的磨損程度不同，需要的維修費(fèi)也不同，根據(jù)每個(gè)階段裝備的受損程度來判斷是否進(jìn)行更新，因此，采用隨機(jī)性動(dòng)態(tài)規(guī)劃制定更新策略。

1.2 隨機(jī)性動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

假設(shè)某一種裝備的使用規(guī)劃是n年，隨著使用年數(shù)的增加，需要的維修費(fèi)用和更換新設(shè)備使用的費(fèi)用也隨之增加。以年為單位，將裝備更新問題看作多階段發(fā)展的問題，則在每年年初都有兩種決策可以選擇：維修后繼續(xù)使用或進(jìn)行更新。則設(shè)：

R表示更新設(shè)備；

K表示繼續(xù)使用；

Sk表示狀態(tài)變量，k表示裝備使用的年數(shù)（k=1,2,…,n）；

R(Sk)表示第k年初裝備的維修費(fèi)用；

Ck表示第k年初更新裝備的費(fèi)用；

fk(Sk)表示裝備使用了k年后的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)；

xk為決策變量，在每一階段每一狀態(tài)所需作出的決策只有兩個(gè)，繼續(xù)使用（Keep）或更新（Replacement），則裝備更新問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

當(dāng)決策繼續(xù)使用時(shí)，函數(shù)指標(biāo)值為R( Sk)+fk+1(Sk+1)；當(dāng)決策更新時(shí)，函數(shù)指標(biāo)值為Ck+R(0)+fk+1(1)。則最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)為：

2 實(shí)例應(yīng)用

某學(xué)校的某種裝備已使用一年，為保障教學(xué)效率，學(xué)校需要考慮該裝備在5年內(nèi)的更新問題。因此，學(xué)校要在每年年初做出決策，是繼續(xù)使用還是更新。已知該種裝備在使用不同年限后，每年所需的維修費(fèi)用和更新費(fèi)用（單位：百元）分別如表1和表2所示。為確保使用經(jīng)費(fèi)最少，學(xué)校需要做出5年內(nèi)每年的更新策略。

表1 裝備維修費(fèi)用表

表2 裝備更新價(jià)格表

根據(jù)1.2節(jié)建立的隨機(jī)性動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型求解本例，首先將問題分為5個(gè)階段，每年為一階段。狀態(tài)變量Sk表示為第k年年初裝備使用的年限（k=1,2,3,4,5），如S1=1表示裝備已使用了一年；S2=1則表示上一年設(shè)備進(jìn)行了更新，新裝備從第二年年初開始使用；S2=1則表示上一年設(shè)備繼續(xù)使用。

其次，根據(jù)表1和表2可以得到每個(gè)階段的維修費(fèi)用和更新費(fèi)用如表3所示。

表3 裝備維修費(fèi)用和更新價(jià)格表

再次，根據(jù)公式（5）可以得到不同狀態(tài)下的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)：

穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)是對(duì)動(dòng)植物生命活動(dòng)的調(diào)節(jié)，在植物生長(zhǎng)過程中會(huì)通過生長(zhǎng)素或其他相關(guān)激素來對(duì)其生命進(jìn)行調(diào)節(jié)，而動(dòng)物則會(huì)利用體液和神經(jīng)調(diào)節(jié)的方式進(jìn)行有序的生命活動(dòng)。在種植水果或蔬菜時(shí)，人們會(huì)利用催熟劑來促進(jìn)植物快速生長(zhǎng)，如乙烯具有催熟果實(shí)的重要作用。而人在調(diào)節(jié)身體平衡狀態(tài)時(shí)，都是通過自身免疫力的調(diào)節(jié)來預(yù)防疾病發(fā)生，如食用維生素。以上都是生活中常見的穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)。

用逆序遞推法求問題的最優(yōu)解。

當(dāng)k=5時(shí)，S5=1,2,3,4,5。

根據(jù)公式（6）可得到f5( S5)在S5取不同值時(shí)的指標(biāo)值，見表4。

表4 第五階段決策表

當(dāng)k=4時(shí)，S4=1,2,3,4。

根據(jù)公式（6）可得到 f4(S4)在S4取不同值時(shí)的指標(biāo)值，見表5。

?

當(dāng)k=3時(shí)，S3=1,2,3。

表6 第三階段決策表

當(dāng)k=2時(shí)，S2=1,2。

根據(jù)公式（6）可得到f2(S2)在S2取不同值時(shí)的指標(biāo)值，見表7。

表7 第二階段決策表

當(dāng)k=1時(shí)，S1=1。

根據(jù)公式（6）可得到 f1( S1)在S1取不同值時(shí)的指標(biāo)值，見表8。

根據(jù)求解結(jié)果可以得到該種裝備更新的最優(yōu)決策為：第一年繼續(xù)使用，第二年繼續(xù)使用，第三年更新，第四年繼續(xù)使用，第五年繼續(xù)使用，使用的總費(fèi)用為5100元。

表8 第一階段決策表

3 結(jié)論

教育裝備更新是學(xué)校在管理教育裝備過程中必然遇到的問題，裝備何時(shí)更新才能保證使用的教育經(jīng)費(fèi)最低是學(xué)校考慮的最重要的問題。從經(jīng)濟(jì)角度考慮，舊裝備每年的維修費(fèi)用不斷增加，新裝備雖然有較低的維修費(fèi)用，但初始投資大。因此，本文利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理，通過比較每年舊裝備的維修費(fèi)用和更新裝備費(fèi)用的大小，只有當(dāng)更新裝備的費(fèi)用小于舊裝備的維修費(fèi)用時(shí)，才對(duì)舊裝備進(jìn)行更新，使得教育經(jīng)費(fèi)的消耗最低。

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