楊志安，常文潔，李高峰

（唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山063000）

地震是一種自然災(zāi)害，它對(duì)建筑物的破壞與基礎(chǔ)－結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)非線性響應(yīng)有關(guān)。其中共振區(qū)的動(dòng)力性質(zhì)對(duì)建筑系統(tǒng)破壞作用的影響明顯。地震通常被看做下臥基巖上的周期激震源，通過(guò)上臥土層的傳遞途徑再被分解為一系列的激振頻率。［1］所以，作用于基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)的地震荷載與地基土的性質(zhì)有關(guān)，地基參數(shù)如土層厚度、剪切波速等的變化，會(huì)使結(jié)構(gòu)上地震荷載的性質(zhì)和量值有明顯的差異，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)動(dòng)力性質(zhì)的差異。特別對(duì)于非線性動(dòng)力系統(tǒng)，地基參數(shù)引起的地震荷載變化，使系統(tǒng)的地震響應(yīng)產(chǎn)生顯著差別。只有把地基和結(jié)構(gòu)作為整體系統(tǒng)來(lái)考慮，記入土體－結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相互作用，才能夠真實(shí)反映地基性質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)地震特性的影響。［2－3］以下以文獻(xiàn)［4－6］為基礎(chǔ)，從系統(tǒng)能量出發(fā)，將基礎(chǔ)－結(jié)構(gòu)作為整體考慮，應(yīng)用分析力學(xué)原理推導(dǎo)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力方程，而后應(yīng)用多尺度法分析系統(tǒng)的三頻率組合共振問(wèn)題，并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，比較系統(tǒng)不同參數(shù)變化對(duì)共振曲線的影響。

1 基本方程

圖1所示為基礎(chǔ)－結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)受地震激勵(lì)的簡(jiǎn)化動(dòng)力模型。其中地基為均勻的彈性土層，地震作用為下臥基巖的水平運(yùn)動(dòng)。與土體相比，結(jié)構(gòu)的整體剛性較大，可以把結(jié)構(gòu)視為地基上的質(zhì)點(diǎn)－彈性桿（即彈簧）體系。圖1中，H代表地基土厚度，m代表質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，k代表結(jié)構(gòu)的等效彈簧系數(shù)，s（t）代表質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面的位移，ug（t）代表基巖的水平振動(dòng)位移，η代表粘滯阻尼系數(shù)。

圖1 基礎(chǔ)－結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)地震分析動(dòng)力模型

將結(jié)構(gòu)和土體上的水平地震力可分別表示為

式中Pm＝αmg，g代表重力加速度，α代表水平地震影響系數(shù)；Pρ＝αρg，ρ代表土的質(zhì)量密度，ω代表地震激振頻率。結(jié)構(gòu)彈簧的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)材料的性質(zhì)有關(guān)，為了反映結(jié)構(gòu)材料的非線性，把彈簧視為具有恢復(fù)力－變形關(guān)系的非線性彈簧，即

式中β代表彈簧的非線性因子。對(duì)于硬彈簧和軟彈簧的情況，β分別取正負(fù)值。

地基土對(duì)地震的反應(yīng)為水平剪切運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于基巖的剪切位移為u＝u（z，t）。以下把基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)作為系統(tǒng)整體考慮，從能量角度出發(fā)，截取一定范圍進(jìn)行計(jì)算，由分析力學(xué)拉格朗日方程導(dǎo)出系統(tǒng)在地震作用下的非線性動(dòng)力學(xué)方程。當(dāng)截取的計(jì)算范圍很大時(shí)，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

其中

由式（3）解得

令t＝0時(shí)，q1（t）＝0，1（t）＝0，將其分別代入上式，得

所以

同理

將式（7）和式（8）代入式（5），得

其中

2 基礎(chǔ)－結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的三頻率組合共振理論分析

以下以ω0≈ω＋ω1－ω2為例，分析組合共振，引入組合共振調(diào)諧參數(shù)σ，上述共振關(guān)系可表示為

由多尺度法［7－9］得消除永年項(xiàng)的條件為

引入

將式（13）中第一式代入（12）得

將式（13）中第二式代入上式并整理得

分離實(shí)部虛部后得到組合共振的慢時(shí)變振幅a和相位φ應(yīng)滿足的自治微分方程組

其中

為確定對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的定常解幅頻響應(yīng)方程，在式（16）中令D1a＝0，D1φ＝0，得到振幅a和相位φ滿足的代數(shù)方程為

兩式平方后相加消去φ，得到組合共振的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程：

式（19）可以表示為

由式（19）可得組合共振的最大振幅：

它發(fā)生在

將方程（16）在（a，φ）處線性化，形成關(guān)于擾動(dòng)量Δa和Δφ的自治微分方程：

利用式（18）消去上式中的φ，得到

進(jìn)一步得到特征方程：

對(duì)于μ＞0，由Routh－Hurwitz判據(jù)可得定常解失穩(wěn)的條件：

3 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

由式（10）和式（11）得

按式（21）可以繪制計(jì)算系統(tǒng)組合共振的各種響應(yīng)曲線。圖2至圖7為不同參數(shù)條件下系統(tǒng)組合共振的幅頻響應(yīng)曲線。

圖2 幅頻響應(yīng)曲線

圖3 幅頻響應(yīng)曲線（ξ）

圖4 幅頻響應(yīng)曲線（H）

由圖2可知此種組合共振幅頻響應(yīng)曲線不存在跳躍和滯后現(xiàn)象。圖3反映阻尼比對(duì)系統(tǒng)組合共振幅頻響應(yīng)曲線的影響，由圖3可知減小阻尼比可以增大系統(tǒng)組合共振的振幅和共振區(qū)。圖4反映地基土層厚度對(duì)系統(tǒng)組合共振幅頻響應(yīng)曲線的影響，由圖4可知減小地基土層厚度可以減小系統(tǒng)組合共振的振幅和共振區(qū)，H的變化會(huì)引起共振區(qū)的強(qiáng)烈變化。圖5反映剪切波速時(shí)系統(tǒng)組合共振幅頻響應(yīng)曲線的影響，由圖5可知剪切波速越大，系統(tǒng)組合共振的振幅和共振區(qū)越小。圖6當(dāng)改變彈簧非線性因子β的符號(hào)時(shí)，考慮振幅a與調(diào)諧值σ間的關(guān)系。從圖6中可以看出，只要β的數(shù)值確定，無(wú)論其是正還是負(fù)，系統(tǒng)的組合共振幅頻響應(yīng)曲線均重合。結(jié)合式（29）可知，激勵(lì)幅值隨小參數(shù)ε的變化而變化，但是弱非線性的條件要求小參數(shù)ε的取值不應(yīng)過(guò)大。當(dāng)改變小參數(shù)ε時(shí)，考慮振幅α與調(diào)諧值σ間的關(guān)系。圖7為3種不同小參數(shù)取值時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)組合共振幅頻響應(yīng)曲線。由圖7可知，隨著小參數(shù)的增大，系統(tǒng)組合共振的振幅不變，但共振區(qū)相應(yīng)減小。

圖6 幅頻響應(yīng)曲線（β）

圖7 幅頻響應(yīng)曲線（ε）

4 結(jié)論

應(yīng)用常微分方程理論，將三自由度基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)受地震激勵(lì)動(dòng)力學(xué)方程，變換為單自由度受三頻激勵(lì)的杜芬方程。采用非線性振動(dòng)的多尺度法，求得系統(tǒng)三頻率組合共振的一次近似響應(yīng)曲線，分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)共振響應(yīng)曲線的影響。小參數(shù)變化會(huì)引起激勵(lì)幅值的變化，這是此種組合共振的特征。系統(tǒng)組合共振的振幅隨著地基土層厚度的增加而增加，隨著地基剪切波速的增加而減小，且這兩種地基參數(shù)對(duì)共振區(qū)的影響較明顯。這一點(diǎn)在基礎(chǔ)選址和工程動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中要給予重視。

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