孟 超，周玉元，王闖華

（湖南農業(yè)大學 理學院，長沙410128）

0 引言

對斑塊環(huán)境中生態(tài)動力系統性質的研究是數學生態(tài)學的一個熱點問題。許多學者對斑塊環(huán)境中生態(tài)動力系統的持久性、穩(wěn)定性與周期性做了大量的研究，但對各種群占有的斑塊數量變化規(guī)律的研究很少。1994年，Vincent A．Jansen研究了一類斑塊環(huán)境中三營養(yǎng)食物鏈模型分別在只有食餌擴散和只有捕食者擴散的情況下平衡點的存在性、穩(wěn)定性［1］，2008年，Duan Hui－ling研究了斑塊環(huán)境中的三營養(yǎng) 模型的平衡點的存在性、穩(wěn)定性［2］。

本文在文獻［2］的基礎上提出了一類斑塊環(huán)境下具HollingII型功能反應函數的捕食－食餌模型：

其中R表示空資源斑塊的數量，N表示被食餌種群占領的資源斑塊數量，M表示被食餌和捕食者同時占領的斑塊數量，總資源斑塊數量為N0（N0＞1），且有R＋N＋M＝N0，a＞0，b＞0，k＞0，v＞0。

本文中研究平衡點的全局穩(wěn)定性，需用到如下引理。

1 主要結論

1.1 系統平衡點

其中a＞0，b＞0，k＞0，v＞0。

通過計算可得系統（2）的3個平衡點：

1.2 平衡點的穩(wěn)定性

為研究平衡點穩(wěn)定性，將R＝1－N－M代入（2），得

成本問題是高校后勤保障服務的核心問題，也是最敏感的問題之一。要明確政府、學校、服務實體在承擔高校公益性服務中的責任，建立健全高校公益性服務的成本補償機制和經營性服務的價格形成機制，發(fā)揮政府在高校公益性服務項目中的主體作用。對高校公益性服務項目，由政府明確稅收優(yōu)惠和經濟補償政策。根據政策，各級政府要對高校進行相應的資金投入，以減輕高校和服務實體的成本負擔，為師生提供更優(yōu)質的后勤保障服務。

則系統（2）的平衡點就轉化為系統（3）中對應的平衡點

E＊1＝（N1，M1）＝（0，0），E＊2＝（N2，M2）＝（1－R2，0），E＊3＝（N3，M3）＝（，1－R3－N3）。

其中R2＝，R3＝（＋

由前面所述可知僅在S2＝｛（N，M）｜0＜N＜1，0＜M＜1，0＜N＋M＜1｝內討論，并記＝｛（N，M）｜0≤N≤1，0≤M≤1，0≤N＋M≤1｝。

證明 ① 在點E＊1處，易得系統（3）雅可比矩陣的特征值為，當aN0＜k時，從而E＊1是系統（3）穩(wěn)定的奇點。

在點E＊2＝（N2，M2）＝（1－R2，0）處，通過計算可得系統（3）雅可比矩陣的特征值，，由定理條件顯然有λ1＜0，λ2＜0，因此E＊2是系統（3）穩(wěn)定的奇點。

② 參照①中E＊1的證明方法易知E＊1是系統（3）穩(wěn)定的奇點；

③ 參照①中E＊1，E＊2的證明方法，易知E＊1，E＊2均為系統（3）穩(wěn)定的奇點。

證明 由定理1知，當滿足定理2條件時，E＊3是局部漸近穩(wěn)定的。取Dulac函數［3］B（N，M）＝eMM－3，分別用P，Q表示（3）式等號右邊部分，即

通過計算對（N，M）∈S2，當滿足定理2的條件時恒有

系統（3）在S2內不存在極限環(huán)，再結合定理1可知，系統（3）的正平衡點E＊3是全局漸進穩(wěn)定的。

2 結語

本文通過分析系統雅可比矩陣特征值，得到了系統局部穩(wěn)定的一個充分條件，在此基礎上，運用Dulac判據，得到了保證其正平衡點全局穩(wěn)定性的充分條件。

通過分析可知：若通過人為控制，如投放食物等，使得食餌種群對資源斑塊的侵占率低于消耗率，捕食者種群對食餌斑塊的侵占率高于消耗率，就可保證該生物系統處于穩(wěn)定狀態(tài)。

［1］ Vincent A A Jansen．Effects of dispersal in a tritrophic metapopulation model［J］．Mathematical Biology，1995，34（2）：195－224．

［2］ Duan Hui－ling．Dynamics of tri－trophic models in patch environment［J］．重慶三峽學院學報，2008，24（3）：64－67．

［3］ 王沖，劉壯，劉榮輝．Dulac函數在定性理論中的構造探討［J］．齊齊哈爾大學學報，2011，27（4）：73－75．