李忠群 鄭 敏

(①湖南工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南株洲 412007;②北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191)

通常，銑削是一個(gè)由多齒參與的斷續(xù)切削過(guò)程。相對(duì)于其它切削加工形式，它具有切削力小、切削溫度低、加工變形小、加工能力強(qiáng)、材料去除率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車、模具制造等行業(yè)。制約銑削質(zhì)量與效率的最大因素是切削顫振，它是指切削加工過(guò)程中發(fā)生的一種自激振動(dòng)現(xiàn)象，會(huì)導(dǎo)致以下3方面的不良后果:首先，直接影響工件的尺寸精度和表面質(zhì)量、降低切削效率;其次，容易導(dǎo)致機(jī)床零件過(guò)早出現(xiàn)疲勞破壞、加劇刀具的磨損與破損;第三，會(huì)刺激工人引起疲勞，降低勞動(dòng)生產(chǎn)率。為保證加工質(zhì)量、提高數(shù)控機(jī)床的效率，對(duì)銑削加工過(guò)程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與仿真，對(duì)銑削顫振穩(wěn)定域進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)切削參數(shù)選擇與優(yōu)化實(shí)現(xiàn)無(wú)顫振切削是國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的研究熱點(diǎn)。

有關(guān)顫振的研究最早可追溯到上世紀(jì)中葉，Tobias［1］和 Tlusty［2］開創(chuàng)了顫振研究的先河，發(fā)現(xiàn)再生作用是導(dǎo)致顫振發(fā)生的主因，進(jìn)而奠定了再生顫振的理論基礎(chǔ)。基于反饋控制理論，Merrit在對(duì)再生顫振分析時(shí)最早使用了穩(wěn)定性葉瓣圖(Stability Lobe Diagram，SLD)［3］?；?Floquet理論和 Fourier級(jí)數(shù)展開，Minis等采用Nyquist判據(jù)獲得了銑削加工顫振穩(wěn)定域分析解［4］。Budak提出了求解銑削顫振穩(wěn)定性葉瓣圖的解析方法［5］，該方法得到了切削試驗(yàn)與數(shù)值仿真結(jié)果的驗(yàn)證［6］，且已應(yīng)用到球頭銑刀銑削穩(wěn)定性分析中［7］并拓展到三維銑削中［8］。銑削顫振穩(wěn)定性分析與仿真方法可分為頻域法、時(shí)域法和切削試驗(yàn)等3大類。

1 頻域法

頻域法又叫解析求解法，它是指在頻域內(nèi)對(duì)切削過(guò)程的穩(wěn)定性進(jìn)行分析與求解，可細(xì)分為零階頻率法(Zero－order Anaytical，ZOA)和多頻域法(Multi Frequency，MF)兩類。前者最先由Budak提出，采用零階Fourier級(jí)數(shù)展開近似求時(shí)變方向力系數(shù)平均值，從而使問(wèn)題線性化［5］，是迄今為止仿真速度最快且應(yīng)用最廣泛的銑削穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)方法。MF方法由Merdol等提出，在將時(shí)變方向力系數(shù)進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開時(shí)取多次諧波，實(shí)現(xiàn)了對(duì)小徑向切深銑削(斷續(xù)切削)穩(wěn)定性極限圖中附加穩(wěn)定葉瓣的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)［9］。與ZOA方法相比，MF方法計(jì)算更為復(fù)雜。

頻域法的一般過(guò)程可描述為:

(1)將工藝系統(tǒng)簡(jiǎn)化為x、y相互垂直方向的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，并建立用微分方程表示的銑削動(dòng)力學(xué)微分方程(控制方程)。

(2)考慮再生切削效果對(duì)動(dòng)態(tài)切削厚度的影響并忽略靜態(tài)切削厚度，推導(dǎo)出動(dòng)態(tài)切削力時(shí)域表達(dá)式。

(3)根據(jù)Fourier級(jí)數(shù)展開理論對(duì)時(shí)變的方向力系數(shù)進(jìn)行近似求解，將時(shí)域求解過(guò)程轉(zhuǎn)化頻域過(guò)程。

(4)求解系統(tǒng)的特征方程，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。

(5)求解臨界穩(wěn)定條件下的軸向切深和主軸轉(zhuǎn)速，繪制出穩(wěn)定性極限圖。

基于經(jīng)典頻域方法，眾多學(xué)者在該領(lǐng)域展開了諸多拓展，概括起來(lái)主要包括:①針對(duì)各種復(fù)雜刀具幾何提出改進(jìn)的ZOA模型。如Altintas等建立了面向鑲齒銑刀的通用幾何模型與顫振穩(wěn)定域模型［10］;筆者通過(guò)采用數(shù)值方法計(jì)算平均方向力系數(shù)實(shí)現(xiàn)了T型槽銑削顫振穩(wěn)定域解析預(yù)測(cè)［11］;Slavicek、Altintas等先后對(duì)變齒距銑刀抑制顫振的機(jī)理進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)改變銑刀的齒間角和螺旋角可以獲得更大的極限切深［12－13］，Budak提出了變齒距銑刀的設(shè)計(jì)模型［14］。②針對(duì)各種復(fù)雜的加工策略提出改進(jìn)的ZOA模型。如Kardes等通過(guò)考慮時(shí)變的浸入角和方向力系數(shù)，建立了面向圓弧走刀軌跡的銑削動(dòng)力學(xué)方程并用頻域進(jìn)行了求解［15］。筆者通過(guò)對(duì)圓弧銑削進(jìn)行幾何與動(dòng)力學(xué)建模得到了將直線銑削顫振穩(wěn)定域解析模型應(yīng)用于圓角銑削的條件，解決了非直線銑削顫振穩(wěn)定域求解及其工程應(yīng)用問(wèn)題［16］。③將經(jīng)典二維銑削顫振模型拓展到三維乃至多維模型。如Bravo等提出了適用于機(jī)床和工件同為弱剛性結(jié)構(gòu)的工藝系統(tǒng)顫振穩(wěn)定域求解方法，并根據(jù)薄壁工件加工時(shí)刀具與工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)獲得三維顫振穩(wěn)定性葉瓣圖［17］。Vincent等利用經(jīng)典顫振模型用解析法構(gòu)建出三維顫振穩(wěn)定性葉瓣圖，根據(jù)工件與刀具相對(duì)位置確定優(yōu)化的切削參數(shù)［18］。筆者在構(gòu)建T型槽銑削顫振穩(wěn)定域解析模型時(shí)，通過(guò)改變徑向切深仿真獲得三維顫振穩(wěn)定域圖形，并因此獲得了給定軸向切深下的顫振穩(wěn)定域圖以滿足T型槽銑削的切削參數(shù)優(yōu)化，典型三維顫振穩(wěn)定性葉瓣圖如圖1所示［19］。④系統(tǒng)地分析加工條件，尤其是工藝系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性參數(shù)對(duì)切削穩(wěn)定性的影響，以便通過(guò)切削條件優(yōu)化來(lái)避免顫振的發(fā)生［20］。

2 時(shí)域法

時(shí)域法，是指在時(shí)間域內(nèi)對(duì)銑削過(guò)程穩(wěn)定性進(jìn)行分析、仿真的方法，可細(xì)分為數(shù)值仿真法、半離散法和全離散法等幾種方法。時(shí)域數(shù)值仿真法就是首先對(duì)銑削過(guò)程中的切削力、扭矩、功率、表面粗糙度及振動(dòng)量等進(jìn)行仿真，然后對(duì)仿真結(jié)果施加某種穩(wěn)定性判據(jù)，最后得到穩(wěn)定性葉瓣圖的方法。Tlusty等采用時(shí)域數(shù)值仿真方法對(duì)銑削過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行描述，并研究了穩(wěn)定區(qū)與非穩(wěn)定區(qū)的邊界［21］。Smith等采用峰－峰圖對(duì)銑削時(shí)域仿真結(jié)果進(jìn)行評(píng)估［22］。Altintas等對(duì)插銑過(guò)程進(jìn)行時(shí)域仿真，發(fā)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)－軸向振動(dòng)是引起加工顫振的主因［23］。Campomanes等建立了面向小徑向切深的時(shí)域顫振穩(wěn)定域模型，仿真結(jié)果證實(shí)了穩(wěn)定性葉瓣圖中附加穩(wěn)定性葉瓣的存在［24］。時(shí)域數(shù)值仿真法的一般過(guò)程可描述為(見圖2)［25］:

(1)建立銑削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程。

(2)用數(shù)值方法求解微分方程。對(duì)連續(xù)時(shí)間進(jìn)行離散化，根據(jù)已知初始條件以一定時(shí)間增量對(duì)微分方程進(jìn)行求解。雖然采用近似求解方法，但只要時(shí)間增量足夠小，便可獲得滿意的求解精度(Euler法的計(jì)算精度是1階，Runge－Kutta法的計(jì)算精度是4階)。為求解方便可直接調(diào)用MATLAB庫(kù)函數(shù)ode45()求取每一離散時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的位移和速度。

(3)根據(jù)微分方程求解結(jié)果更新刀具當(dāng)前位置并對(duì)動(dòng)態(tài)切削厚度進(jìn)行修正。

(4)計(jì)算當(dāng)前時(shí)間步下的動(dòng)態(tài)銑削力。

(5)判斷仿真是否結(jié)束，若未結(jié)束跳轉(zhuǎn)到步驟(2)。

(6)對(duì)仿真得到的時(shí)域數(shù)據(jù)施加某種穩(wěn)定性判據(jù)確定當(dāng)前切削條件下的穩(wěn)定性。

(7)改變主軸轉(zhuǎn)速與軸向切深，重復(fù)步驟(2)～(7)獲得時(shí)域顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。

與頻域方法不同，采用時(shí)域數(shù)值仿真法需事先確定穩(wěn)定性判據(jù)。目前主要有以下幾種穩(wěn)定性判據(jù)［25］:①FFT法，其基本思想是對(duì)時(shí)域仿真數(shù)據(jù)作FFT變換，根據(jù)切削頻率及其諧振頻率下的幅值在所有頻率范圍的幅值之和中所占比例ηp作為顫振發(fā)生的標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)ηp＜0.8時(shí)可認(rèn)為存在顫振。②PTP法，該方法基于切削條件接近穩(wěn)定邊界時(shí)切削力峰值會(huì)急劇增大的思想。③動(dòng)靜態(tài)力法，將相同切削參數(shù)下柔剛性系統(tǒng)的最大切削力之比ηF作為判定標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)ηF＞1.3時(shí)認(rèn)為存在顫振。④刀尖位移統(tǒng)計(jì)方法，該方法由Schmitz提出，銑刀每旋轉(zhuǎn)一周采集一次刀尖位移數(shù)據(jù)，然后使用其樣本統(tǒng)計(jì)方差作為顫振判定標(biāo)準(zhǔn)［26］。

時(shí)域仿真方法基于所建立的相對(duì)真實(shí)的切削動(dòng)力學(xué)模型，可以綜合考慮諸如刀具幾何、刀齒偏心、刀齒因振動(dòng)脫離切削區(qū)、多維結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)及非線性過(guò)程增益等因素對(duì)加工過(guò)程穩(wěn)定性的影響，故預(yù)測(cè)精度較高［27］。不足之處在于，盡管時(shí)域模型非常強(qiáng)大，但目前尚很難找到一種通過(guò)仿真數(shù)據(jù)準(zhǔn)確判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)。此外，由于它需要針對(duì)不同主軸轉(zhuǎn)速、軸向切深進(jìn)行時(shí)域仿真且在時(shí)域仿真中需求解微分方程，故其計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。

半離散方法(Semi Discretization，SD)由Insperger提出，它在每個(gè)離散采樣時(shí)間間隔里考慮方向力系數(shù)的時(shí)變性，可以預(yù)測(cè)任何轉(zhuǎn)速下的穩(wěn)定性極限［28］。SD方法的精度取決于采樣間隔，計(jì)算時(shí)間取決于加工系統(tǒng)模態(tài)階數(shù)及采樣間隔。SD方法由于在離散時(shí)間間隔Δt考慮了時(shí)變、周期因子［A(t)］，其穩(wěn)定性預(yù)測(cè)精度更高(尤其是當(dāng)徑向切深較小時(shí))，可揭示周期性穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期性顫振和周期性顫振等3種刀具運(yùn)動(dòng)。SD法與ZOA法顫振穩(wěn)定性仿真結(jié)果對(duì)比見圖3。

全離散方法(Full Discretization，F(xiàn)D)由丁漢等提出［29］，該方法將銑削加工過(guò)程的基本數(shù)學(xué)模型表示為具有單個(gè)離散時(shí)延的線性時(shí)間周期系統(tǒng)，對(duì)時(shí)間周期進(jìn)行離散處理，通過(guò)直接積分獲取系統(tǒng)的響應(yīng)。在每個(gè)小時(shí)間間隔內(nèi)，通過(guò)線性插值對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)項(xiàng)、時(shí)間周期項(xiàng)和時(shí)延項(xiàng)等作近似表示?；讷@得的單個(gè)時(shí)間間隔狀態(tài)變換離散圖構(gòu)建系統(tǒng)變換矩陣的閉式表達(dá)式，采用Floquet理論預(yù)測(cè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

FD方法與SD方法的區(qū)別在于:①SD方法僅對(duì)時(shí)延項(xiàng)進(jìn)行離散處理，而FD方法則通過(guò)線性插值對(duì)狀態(tài)項(xiàng)和時(shí)延項(xiàng)進(jìn)行離散處理;②SD方法的周期方向力系數(shù)通過(guò)求平均值獲得，而FD方法的周期方向力系數(shù)則通過(guò)對(duì)時(shí)間段的邊界值進(jìn)行插值獲得。③獲取顫振穩(wěn)定性葉瓣圖時(shí)，SD方法需要針對(duì)主軸轉(zhuǎn)速和切削深度進(jìn)行雙重循環(huán)來(lái)計(jì)算傳遞矩陣，而FD方法則只需要針對(duì)主軸轉(zhuǎn)速進(jìn)行單重循環(huán)。因此，F(xiàn)D方法可獲得與SD方法相同的計(jì)算精度，但計(jì)算效率要高很多。

3 切削試驗(yàn)法

切削試驗(yàn)法是指通過(guò)切削試驗(yàn)獲取顫振穩(wěn)定性葉瓣圖的方法。Quintana等采用固定主軸轉(zhuǎn)速、改變軸向切深的方法獲得了穩(wěn)定性葉瓣圖［30］，其基本思想是首先固定主軸轉(zhuǎn)速，沿進(jìn)給方向改變軸向切深，采用麥克風(fēng)拾取切削噪聲，并利用計(jì)算機(jī)對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行采樣識(shí)別，當(dāng)顫振發(fā)生時(shí)停止切削，這樣就得到了對(duì)應(yīng)該主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深;然后按一定步距逐漸增加主軸轉(zhuǎn)速，重復(fù)上述過(guò)程，得到每一主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深。Yoon等提出了一種基于對(duì)實(shí)測(cè)切削力進(jìn)行小波變換以確定加工顫振的新方法，該方法得到了FFT方法的驗(yàn)證［31］。Walter等提出根據(jù)工件表面粗糙度和采用麥克風(fēng)測(cè)量聲音信號(hào)的方法來(lái)確定加工過(guò)程的穩(wěn)定性 (見圖 4)［32］。Somkiat等提出了一種用于判定銑削過(guò)程是否發(fā)生顫振的新方法，該方法以實(shí)測(cè)三向切削力均方差的3個(gè)比值為判據(jù)［33］。劉安民等提出了一種基于建立的銑削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)實(shí)測(cè)得到的顫振頻率求解出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)與過(guò)程參數(shù)，進(jìn)而得到穩(wěn)定性葉瓣圖［34］。

與獲取顫振穩(wěn)定性葉瓣圖的其他方法相比，一方面，切削試驗(yàn)法大多針對(duì)特定切削條件進(jìn)行，具有成本高、費(fèi)時(shí)和通用性差等缺陷，很少直接被用來(lái)預(yù)測(cè)穩(wěn)定性極限。另一方面，由于它是切削條件的真實(shí)反映，故被常用來(lái)確定其他穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)方法是否有效。

4 結(jié)論與展望

本文結(jié)合國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀對(duì)頻域法、時(shí)域法和試驗(yàn)法等3類銑削顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法進(jìn)行分析對(duì)比，總結(jié)了其各自特點(diǎn)和適用場(chǎng)合。頻域法尤其是ZOA法計(jì)算速度快，其預(yù)測(cè)精度能滿足大部分應(yīng)用場(chǎng)合;時(shí)域法能揭示銑削過(guò)程中蘊(yùn)含的各種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象、預(yù)測(cè)精度較高，但計(jì)算量大;試驗(yàn)法是切削條件的真實(shí)反應(yīng)，但成本高，主要用于驗(yàn)證其他仿真方法的有效性。該領(lǐng)域尚未解決的問(wèn)題主要存在以下兩方面:①時(shí)變、非線性、遲滯銑削系統(tǒng)的建模與準(zhǔn)確求解;②中低速下過(guò)程阻尼建模及考慮非線性阻尼特性的銑削顫振模型。

［1］Tobias S A.Machine tool vibration［M］.Glasgow:Blackie and Sons Ltd，1965.

［2］Koenigsbenger F，Tlusty J.Machine tool structures－ Vol.1:Stability against chatter［M］.New York:Pergamon Press，1967.

［3］Merrit H E.Theory of self－ excited machine tool chatter［J］.ASME Journal of Engineering for Industry，1965，87:447 －454.

［4］Minis I，Yanushevsky T.A new theoretical approach for the prediction of machine tool chatter in milling［J］.ASME Journal of Engineering for Industry，1993，115:1－8.

［5］Budak E.The mechanics and dynamics of milling thin－walled structures［D］.University of British Columbia，1994.

［6］Budak E，Altintas Y.Analytical prediction of chatter stability in milling－part I:general formulation;part II:application to common milling systems［J］.Transactions of ASME，Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，1998，120:22 －36.

［7］Altintas Y，Shamoto E，Lee P，et al.Analytical prediction of stability lobes in ball－ end － milling，transactions of ASME［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，1999，121:586 －592.

［8］Altintas Y.Analytical prediction of three dimensional chatter stability in milling［J］.Japan Society of Mechanical Engineers，International Journal Series:Mechanical Systems，Machine Elements and Manufacturing，2001，44(3):717 －723.

［9］Merdol S D，Altintas Y.Multi frequency solution of chatter stability for low immersion milling［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2004，126:459 －466.

［10］Engin S，Altintas Y.Mechanics and dynamics of general milling cutters Part II:inserted cutters［J］.International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2001，41(15):2213 －2231.

［11］Li Z Q，Liu Q.Modeling and analytical solution of chatter stability for t－ slot milling［J］.Chinese Journal of Mechanics Engineering，2010，23(1):88－93.

［12］Slavicek J.The effect of irregular tooth pitch on stability of milling［C］.Proceedings of the Sixth MTDR Conference，Pergamon Press，London，1965，1:15 －22.

［13］Altintas Y，Engin S，Budak E.Analytical stability prediction and design of variable pitch cutters［J］.Transactions of ASME，Journal of Manufacturing Science and Engineering，1999，121(2):173 －178.

［14］Budak E.An analytical design method for milling cutters with nonconstant pitch to increase stability.Part I:Theory.Part II:application［J］.Transactions of ASME，Journal of Manufacturing Science and Engineering，2003，125(1):29 －38.

［15］Kardes N，Altintas Y.Mechanics and dynamics of the circular milling process［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2007，129:21－31.

［16］李忠群，劉強(qiáng).圓角銑削顫振穩(wěn)定域建模與仿真研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(7):181 －186.

［17］Bravo U，Altuzarra O，Lopez de Lacalle L N，et al.Stability limits of milling considering the flexibility of the work－piece and the machine［J］.International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2005，45(15):1669－1680.

［18］Vincent T，Lionel A，Gilles D，et al.Integration of dynamic behavior variation in the stability lobes method 3D lobes construction and application to thin － walled structure milling［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2006，27(7 －8):638 －644.

［19］李忠群.復(fù)雜切削條件高速銑削動(dòng)力學(xué)建模、仿真與切削參數(shù)優(yōu)化研究［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，2008.

［20］Li Z Q，Liu Q.Impact of modal parameters on milling process chatter stability lobes［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2006，28(1):190－195.

［21］Tlusty J，Ismail F.Basic nonlinearity in machine chatter［J］.Annals CIRP，1981，30:21 －25.

［22］Smith S，Tlusty J.Efficient simulation programs for chatter in milling［J］.Annals CIRP，1993，42(1):463 －466.

［23］Ko J H，Altintas Y.Time domain model of plunge milling operation［J］.International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2007，47:1351－1361.

［24］Campomanes M L，Altintas Y.An improved time domain simulation for dynamic milling at small radial immersions［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2003，125:417 －422.

［25］Li Z Q，Liu Q.Solution and analysis of chatter stability for end milling in the time － domain［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21(2):169－178.

［26］Schmitz T L.Chatter recognition by a statistical evaluation of the synchronously sampled audio signal［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，262(3):721 －730.

［27］李忠群，劉強(qiáng).數(shù)控銑削加工過(guò)程仿真與優(yōu)化——建模、算法與工程應(yīng)用［M］.北京:航空工業(yè)出版社，2011.

［28］Insperger T，Stepan G.Updated semi－discretization method for periodic delay － differentilal equations with discrete delay［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2004，61:117 －141.

［29］Ding Y，Zhu L M，Ding H，et al.A full－discretization method for prediction of milling stability［J］.International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2010，50(5):502－509.

［30］Quintana G，Ciurana J，Teixidor D.A new experimental methodology for identification of stability lobes diagram in milling operations［J］.International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2008，48:1637－1645.

［31］Yoon M C，Chin D H.Cutting force monitoring in the endmilling operation for chatter detection［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part B:Journal of Engineering Manufacture，2005，219(6):455 －466.

［32］Walter L W，Rolf B S，Milton L P，et.al.Evaluation of high － speed end － milling dynamic stability through audio signal measurements［J］.Journal of Materials Processing Technology，2006，179(1 －3):133 －138.

［33］Somkiat T，Narongsak P.Development of chatter detection in milling processes［J］.International Journal of Advanced Manufacuring Technology，2013，65(5 －8):919 －927.

［34］劉安民，彭程，劉吉兆，等.高速銑削時(shí)顫振的診斷和穩(wěn)定加工區(qū)域的預(yù)報(bào)［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào).2007，43(1):164－169.