潘 愷，李 輝，邢 鋼

(西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安 710072)

1 概述

證據(jù)理論作為一種不確定性的推理方法，能夠?yàn)樾畔⑷诤现胁淮_定信息的表達(dá)和合成提供合理而強(qiáng)大的理論支持。但沖突證據(jù)的問(wèn)題制約了證據(jù)理論的進(jìn)一步推廣，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，會(huì)面臨各種不確定的沖突信息，這可能導(dǎo)致組合規(guī)則不能使用或者得出與事實(shí)相悖的結(jié)果。

在證據(jù)不完全可靠的前提下，文獻(xiàn)[1]提出取消正則化過(guò)程，用于解決融合過(guò)程中的沖突問(wèn)題；平均法[2]則將合成規(guī)則變?yōu)楹?jiǎn)單的平均運(yùn)算；文獻(xiàn)[3]對(duì)平均法擴(kuò)展形成了加權(quán)證據(jù)合成法；文獻(xiàn)[4]提出了一種修改模型而不用改變證據(jù)合成規(guī)則的方法。但這些方法都存在某些局限性[5]，有些改變了合成規(guī)則的交換性等特點(diǎn)，有些為了具體需要引入修正因子，缺乏理論證據(jù)，具有一定主觀性，有些只是從理論上對(duì)沖突的產(chǎn)生做了解釋和分析，并沒(méi)有給出具體合成方法。

在現(xiàn)有沖突證據(jù)合成方法的基礎(chǔ)上，本文提出了一種基于證據(jù)置信度的合成方法，通過(guò)與現(xiàn)有合成方法的對(duì)比和分析，指出該方法在解決沖突證據(jù)合成問(wèn)題的同時(shí)也具有更好的合成結(jié)果。

2 證據(jù)理論及合成規(guī)則

在證據(jù)理論中，人們所能認(rèn)識(shí)到的所有可能的結(jié)果，稱為識(shí)別框架，用U表示。識(shí)別框架定義為一個(gè)互不相容事件的完備集合，即結(jié)果為所有可能取值的集合[5]。

定理 設(shè)U是識(shí)別框架，如果函數(shù)集 :2Um →[0,1]滿足以下條件：

則稱m為框架U上的基本可信度分配，?A?U，m( A)稱為A的基本信任分配函數(shù)，它反映了對(duì)A本身的信度大小。

設(shè)BEL1和BEL2是同一識(shí)別框架U上的2個(gè)信任函數(shù)，m1和m2是 2個(gè)分別對(duì)應(yīng)的基本信任分配函數(shù)，它們的焦元分別為 A1, A2,… ,Ak和 B1, B2,…,Br[5]，又設(shè)：

其中，K為不確定因子，以上是證據(jù)理論組合規(guī)則。

3 證據(jù)沖突問(wèn)題的處理方法

證據(jù)理論產(chǎn)生的許多悖論是由證據(jù)間的沖突或不一致性造成的[6]。一般來(lái)說(shuō)有以下3種：

(1)全沖突悖論[5]

框架 U={A, B}，2個(gè)證據(jù)的基本信任分配函數(shù)為m1( A) = 1,m1( B) =0及 m2(A)= 0, m2(B)= 1，這 時(shí)2個(gè)證據(jù)是完全沖突的，即當(dāng)K=1時(shí)，是無(wú)法用組合規(guī)則合成的。

(2)0信任悖論[5]

框架 U={A, B}，基本信任分配函數(shù)分別為m1( A) = 0,m1( B)=1；m2(A)= 0.9, m2(B)=0.1；m3(A) = 0.99, m3( B) = 0.01，合成結(jié)果為m( A) = 0,m( B) = 1。由于第 1個(gè)證據(jù)對(duì)A的概率分配為0，無(wú)論其他證據(jù)對(duì)A的分配有多大，合成結(jié)果均為0，這種現(xiàn)象稱為0信任悖論。

(3)1信任悖論[5]

框架U={A, B, C},m ( A)=0.9, m( B)=0.1,m1( C)=0；m2(A)= 0, m2(B)= 0.1,m2( C)=0.9，合成的結(jié)果是m( B)=1，盡管2個(gè)證據(jù)對(duì)B的支持度很小，但是合成后的結(jié)果卻認(rèn)為命題B為真，這顯然也是有悖常理的，這種現(xiàn)象稱為1信任悖論。

在證據(jù)理論中，沖突證據(jù)的合成方法是解決證據(jù)沖突的關(guān)鍵所在。到目前為止，主要的合成方法分為2 種[5]：

(1)通過(guò)修改 D-S證據(jù)理論，改變合成規(guī)則。有人認(rèn)為分母1?K是識(shí)別框架上所有非沖突命題合成的信任分配值之和，為歸一化而忽略證據(jù)間的矛盾沖突是不合理的做法，因此，許多學(xué)者提出了一種沖突重新分配方法[7-11]。文獻(xiàn)[7]提出在證據(jù)完全可靠的條件下，將沖突部分分配給未知的命題，即空集。文獻(xiàn)[1]提出在證據(jù)不完全可靠的條件下，取消正則化過(guò)程，即在不知道沖突部分的具體情況下，將其分配在識(shí)別框架中。

(2)通過(guò)修改證據(jù)源模型，而不改變證據(jù)合成規(guī)則的方法。文獻(xiàn)[12]指出，證據(jù)的組合仍使用D-S合成規(guī)則，但被組合的證據(jù)可以有不同的證據(jù)框架。

從實(shí)際應(yīng)用和數(shù)學(xué)邏輯等方面來(lái)說(shuō)，D-S組合規(guī)則滿足交換率和結(jié)合率，便于大量數(shù)據(jù)處理。文獻(xiàn)[4]提出的修改模型不用改變證據(jù)合成規(guī)則的方法，可以處理沖突證據(jù)，且收斂速度快，但它只是對(duì)多組證據(jù)的簡(jiǎn)單平均，沒(méi)考慮證據(jù)間的關(guān)聯(lián)性。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[13]提出了用證據(jù)間的距離來(lái)衡量證據(jù)間的相似度，從而得到各個(gè)證據(jù)間的相互支持度和證據(jù)的可信度，以此進(jìn)行證據(jù)模型的修改。

4 基于置信距離的沖突證據(jù)合成方法

當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題是如何描述證據(jù)間的相似程度。本文提出一種基于置信距離的方法來(lái)衡量證據(jù)間的相似程度。

假設(shè)識(shí)別框架U={E1, E2,… ,En}，對(duì)應(yīng)的基本信任分配函數(shù)為mi，其對(duì)應(yīng)的焦元為Ak，定義置信距離dij為證據(jù)mi和mj之間的沖突度函數(shù)，即：

計(jì)算出各個(gè)證據(jù)之間的置信距離，可以得到置信距離矩陣D：

定義證據(jù)之間的相似度pij為：

相應(yīng)的，可得到證據(jù)間相似度矩陣P。

由公式可知，證據(jù)間的距離越小，相似性程度就越大[14]，則對(duì)應(yīng)的每個(gè)證據(jù)的可信度為：

將證據(jù)的可信度進(jìn)行歸一化，可得證據(jù)的權(quán)重：

依次處理后可以得到每個(gè)證據(jù)的可信度及權(quán)重，以此作為證據(jù)的加權(quán)，可對(duì)沖突證據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。為了便于之后的合成，在此引入折扣函數(shù)Si，對(duì)非沖突證據(jù)進(jìn)行加權(quán)。通過(guò)修改證據(jù)源模型，最后用D-S證據(jù)理論進(jìn)行組合。即對(duì)于沖突證據(jù)，其焦元Aj的處理為：

對(duì)于非沖突證據(jù)進(jìn)行加權(quán)：

這樣可以充分利用沖突證據(jù)信息，避免證據(jù)有效信息的損失，并且不改變D-S證據(jù)組合規(guī)則，保留了原有的合成優(yōu)勢(shì)和性質(zhì)。

整個(gè)基于置信度沖突證據(jù)合成步驟可總結(jié)為：

(1)計(jì)算證據(jù)間的沖突量，當(dāng)大于設(shè)定的閾值時(shí)，沖突信息存在，并進(jìn)行以下處理。

(2)由式(1)～式(5)計(jì)算證據(jù)的置信度，并得到對(duì)于每個(gè)焦元的可信度向量。

(3)由式(6)處理沖突證據(jù)，計(jì)算代替證據(jù)，通過(guò)式(7)、式(8)進(jìn)行非沖突證據(jù)源模型的修改。

(4)運(yùn)用修改后的證據(jù)進(jìn)行證據(jù)組合。

5 實(shí)驗(yàn)分析

為說(shuō)明該方法對(duì)于沖突證據(jù)合成的有效性，對(duì)上面提到的3種情況進(jìn)行融合：

(1)全沖突悖論

(2)0信任悖論

(3)1信任悖論

可以看出，該方法在證據(jù)不足的情況下能夠很好地對(duì)沖突證據(jù)進(jìn)行合成，避免了由于沖突信息而產(chǎn)生的不能融合或者融合結(jié)果相悖的情況。

以多傳感器目標(biāo)識(shí)別為例，并以D-S證據(jù)理論、文獻(xiàn)[1]組合法、文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[13]方法為比較，其中后3種都是針對(duì)沖突證據(jù)的合成方法，能夠與本文的方法進(jìn)行比較，對(duì)比其合成效果的好壞。假設(shè)識(shí)別框架為U={轟炸機(jī), 運(yùn)輸機(jī), 預(yù)警機(jī)}，焦元分別為A, B, C，其基本可信度分配函數(shù)分別為[13]：

首先計(jì)算證據(jù)的置信距離矩陣D：

可以看出證據(jù)間的置信距離，假如以0.5為沖突閾值的話，說(shuō)明證據(jù)2與其他證據(jù)的沖突較大。由式(4)和式(5)可計(jì)算出各證據(jù)的權(quán)重為：ω1= 0.217, ω2= 0.114, ω3= ω4= ω5=0.223

對(duì)于證據(jù)m1和m2，由于存在沖突，因此使用式(6)進(jìn)行融合，具體融合結(jié)果如表1所示。

表1 證據(jù)融合結(jié)果

由融合結(jié)果對(duì)比可以看出，傳統(tǒng)的D-S組合規(guī)則出現(xiàn)了0信任悖論，在有沖突信息的情況下目標(biāo)識(shí)別率為0。文獻(xiàn)[1]組合法把基本概率指派函數(shù)都分配給了識(shí)別框架U，也未能解決沖突問(wèn)題，識(shí)別率為0。文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[13]方法，可以對(duì)沖突證據(jù)進(jìn)行組合，并且能夠識(shí)別出目標(biāo)為轟炸機(jī)A。但文獻(xiàn)[4]方法對(duì)證據(jù)的平均組合，未考慮證據(jù)間的關(guān)系，合理性無(wú)法得知，前2次融合結(jié)果的目標(biāo)識(shí)別率為0，直到第4個(gè)證據(jù)體出現(xiàn)時(shí)才能識(shí)別出目標(biāo)為A。文獻(xiàn)[13]方法過(guò)程較為繁瑣，在收斂速度上不如本文提出的方法。

本文提出的方法用置信距離獲取各個(gè)傳感器之間信息的關(guān)聯(lián)性，在解決沖突證據(jù)融合問(wèn)題的同時(shí)，降低了干擾對(duì)最終融合效果的影響。實(shí)驗(yàn)證明在比較少的證據(jù)下能夠優(yōu)先識(shí)別目標(biāo)，說(shuō)明基于本文的方法組合結(jié)果能夠正確收斂到目標(biāo)的效率較高。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)實(shí)際應(yīng)用中存在的4類證據(jù)沖突問(wèn)題，本文選擇采用不改變組合規(guī)則而修改證據(jù)模型的方法，用距離函數(shù)衡量證據(jù)之間的關(guān)系，并以此作為證據(jù)之間可信度的加權(quán)。針對(duì)傳感器的準(zhǔn)確度提出折扣系數(shù)，進(jìn)而修改證據(jù)體模型，充分利用原有證據(jù)，降低沖突證據(jù)對(duì)融合結(jié)果的影響。仿真結(jié)果表明，本文方法對(duì)于實(shí)際中的3類沖突信息問(wèn)題有較好的融合結(jié)果，并且在應(yīng)用上相對(duì)于其他方法更為便捷，是一種有效的證據(jù)沖突合成方法。

[1]Yager R R.On The Dempster-Shafer Framework and New Combination Rules[J].IEEE Trans.on System, 1987,41(2): 93-137.

[2]Horiuchi T.Decision Rule for Pattern Classification by Integration Interval Feature Values[J].Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1998, 20(4): 440-448.

[3]Matsuyama T.Belief Formation from Observation and Belief Integration Using Virtual Belief Space in Dempster-Shafer Probability Model[C]//Proc.of IEEE International Conference on Multi-sensor Fusion and Integrating for Intelligent Systems.[S.l.]: IEEE Press, 1994: 379-386.

[4]Murphy C K.Combining Belief Functions When Evidence Conflicts[J].Decision Support System, 2000, 29(1): 1-9.

[5]楊風(fēng)暴, 王肖霞.D-S證據(jù)理論的沖突證據(jù)合成方法[M].北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2010.

[6]張山鷹, 潘 泉, 張洪才.證據(jù)沖突問(wèn)題研究[J].航空學(xué)報(bào), 2001, 22(7): 369-372.

[7]Smet P.The Combination of Evidence in The Transferable Belief Model[J].IEEE Trans.on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1990, 12(5): 447-458.

[8]張山鷹, 潘 泉, 張洪才.一種新的證據(jù)推理組合規(guī)則[J].控制與決策, 2000, 15(5): 540-545.

[9]Lefevre E, Colo O.A Generic Framework for Resolving The Conflict in The Combination of Belief Structures[C]//Proc.of the 3rd International Conference on Information Fusion.Paris, France: [s.n.], 1998: 182-188.

[10]王肖霞.沖突證據(jù)合成規(guī)則的研究[D].太原: 中北大學(xué),2007: 39-46.

[11]邢清華, 雷英杰, 劉付顯.一種按比例分配沖突度的證據(jù)推理組合規(guī)則[J].控制與決策, 2004, 19(12): 1378-1390.

[12]曾 成, 趙寶軍, 何佩琨.不完備識(shí)別框架下的證據(jù)組合方法[J].電子與信息學(xué)報(bào), 2005, 27(7): 1043-1046.

[13]鄧 勇, 施文康, 朱振福.一種有效處理沖突證據(jù)的組合方法[J].紅外與毫米波學(xué)報(bào), 2004, 23(1): 27-32.

[14]王 睿, 付 瑩, 王 程.一種有效的加權(quán)沖突證據(jù)組合方法[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 9(6): 58-60.