劉仁峰，龔俊斌，田金文

(1.華中科技大學(xué)圖像識別與人工智能研究所多譜信息處理技術(shù)重點實驗室，武漢 430074；2.中國艦船研究設(shè)計中心，武漢 430070)

1 概述

線陣相機(jī)由于具有比普通面陣相機(jī)更大的視野和更高的精度，在多領(lǐng)域具有很強(qiáng)的實際意義。此外，線陣相機(jī)所獲取的1D數(shù)據(jù)比面陣相機(jī)獲取的2D圖像數(shù)據(jù)更容易運算，速度更快。在許多應(yīng)用場合，需要對線陣相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定。有些方法需要多條線來進(jìn)行相機(jī)的標(biāo)定，有些方法需要三維立體靶標(biāo)進(jìn)行標(biāo)定[1]，但是立體靶標(biāo)的制作成本較高，而且加工精度受到一定的限制。

對于面陣相機(jī)，目前已經(jīng)有非常成熟的標(biāo)定方法[2-4]。線陣相機(jī)標(biāo)定的難點在于尋找成像點與靶標(biāo)點的對應(yīng)，因為線陣圖像不能提取角點、線段等特征。本文使用包含多個二次曲線的平面作為靶標(biāo)，這種靶標(biāo)制作簡單，而且對圍繞固定軸旋轉(zhuǎn)的線陣相機(jī)具有很好的標(biāo)定效果。由于這種相機(jī)各次成像時光心的相對角度是已知的，因此可以充分利用這些信息設(shè)計標(biāo)定方法。

2 基于二次曲線的線陣相機(jī)標(biāo)定方法

針對繞固定軸旋轉(zhuǎn)的線陣相機(jī)，首先研究如何將多幀線陣圖像排列成面陣圖像；其次，研究如何提取二次曲線并且根據(jù)二次曲線求解單應(yīng)；最后，利用面陣相機(jī)的標(biāo)定方法進(jìn)行標(biāo)定，再從面陣相機(jī)的參數(shù)中提取出線陣相機(jī)的參數(shù)。

2.1 面陣圖像

面陣相機(jī)的成像平面是一個平面，根據(jù)射影幾何，二次曲線在面陣相機(jī)上的圖像仍然是二次曲線[5-6]。本文研究的待標(biāo)定系統(tǒng)是繞固定軸旋轉(zhuǎn)的線陣相機(jī)，通過研究它與面陣相機(jī)之間的聯(lián)系，能夠找到它們所拍攝圖像之間的等效轉(zhuǎn)換。

圖1示意了面陣相機(jī)與繞定軸旋轉(zhuǎn)的線陣相機(jī)。由圖1(b)可見，繞固定軸旋轉(zhuǎn)的線陣相機(jī)的成像面等價于一個圓柱面，因此，二次曲線的成像一般不是二次曲線。但是，通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系轉(zhuǎn)換將線陣圖像上的點轉(zhuǎn)化到虛擬的成像平面，從而可以將線陣相機(jī)的成像變成二次曲線。

圖1 面陣相機(jī)與線陣相機(jī)的示意圖

首先，分析投影后u坐標(biāo)的變換。設(shè)通過線陣相機(jī)拍攝了 N幀線圖像，每次轉(zhuǎn)動的角度為w，w是已知的。從1～N之間任選第p幀作為參考幀，例如選擇 p為中間數(shù) p=(N + 1)/2，然后將第i幀線圖像的u坐標(biāo)定義為：

其中，c為任意正實數(shù)。

其次，分析投影后v坐標(biāo)的變換。需要將各幀線圖像在v0處對齊，并且對各幀進(jìn)行尺度縮放。圖 2示意了線陣圖像向虛擬成像平面上的投影。其中，點O、A、B、C對應(yīng)于圖1(b)中的各點，點E是線圖像上的某個點，點D是點E在虛擬投影面上的對應(yīng)點。

圖2 線陣圖像向虛擬成像平面上的投影

由圖2可得：BD/CE=OC/OB=OA/OB= sec(AOC),BD=CE×sec(AOC)。所以，第i幀線圖像的 v坐標(biāo)縮放尺度為：

式(1)～(3)給出了將線陣圖像的坐標(biāo)(i, v)到虛擬面陣圖像的坐標(biāo)(u′, v′)的轉(zhuǎn)化方法。將N次成像的v坐標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)縮放，并按照相應(yīng)的u坐標(biāo)擺放，結(jié)果等價于面陣相機(jī)。于是線陣相機(jī)的標(biāo)定問題轉(zhuǎn)換為面陣的標(biāo)定問題，可以利用面陣相機(jī)已有的標(biāo)定方法。

2.2 基于二次曲線的面陣相機(jī)標(biāo)定

設(shè)二維空間中的點記作向量 m =[u ,v]T，三維空間中的點記作向量 M=[X ,Y,Z]T，m和M分別是相應(yīng)的齊次坐標(biāo)。攝像機(jī)模型采用針孔模型，那么空間點M與圖像點m之間的關(guān)系為：

其中，s是尺度因子；［R , t ］稱作相機(jī)外參數(shù)；A稱作相機(jī)內(nèi)參數(shù)。A可以寫成如下矩陣：

其中，(u0,v0)為主點的坐標(biāo)，α和β分別為圖像 u坐標(biāo)和v坐標(biāo)的尺度因子。

文獻(xiàn)[2]提出了一種基于平面模板的相機(jī)標(biāo)定方法。該方法使用平面靶標(biāo)，只要進(jìn)行2次或更多次的成像，然后分別計算圖像與靶標(biāo)之間的單應(yīng)，就能夠計算出相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。使用的特征為角點。文獻(xiàn)[7-8]推廣了這種方法，他們使用二次曲線作為特征，根據(jù)二次曲線之間的對應(yīng)關(guān)系求解單應(yīng)。

本文的方法與文獻(xiàn)[7]的方法類似，但做了如下改進(jìn)：(1)橢圓擬合，根據(jù)二次曲線計算單應(yīng)分別采用的是文獻(xiàn)[6, 9]的方法。由于這 2個環(huán)節(jié)都采用了具有閉合解的方法，因此計算效率高。(2)靶標(biāo)包含非同心的二次曲線，這樣可以消除單應(yīng)的歧義，并且使得估計的單應(yīng)更加準(zhǔn)確[10]。

2.3 算法的流程

當(dāng)估計出面陣相機(jī)的參數(shù)后，可以提取出線陣相機(jī)的參數(shù)：β是線陣相機(jī)的尺度因子，v0是通過光軸在線陣圖像上的坐標(biāo)。將多幀線陣圖像排列成面陣圖像時，需要用到v0，而v0在標(biāo)定前是未知的。采用一個梯度下降的方法估計v0?；诙吻€的線陣相機(jī)標(biāo)定流程如下。

預(yù)備工作：

(1)打印一個靶標(biāo)圖案，圖案中包括3個或更多的二次曲線，將它貼在一個平面上。

(2)改變靶標(biāo)(或相機(jī))的位置進(jìn)行 2次或 2次以上成像。每次成像包含N幀線陣圖像，并且相鄰兩幀線陣圖像對應(yīng)的相機(jī)旋轉(zhuǎn)角度為w。

相機(jī)標(biāo)定的步驟：

(1)令k=0。設(shè)置v0的初始值為線陣圖像的中心坐標(biāo)=L /2，其中，L是線陣圖像像素數(shù)目。設(shè)置閾值ε和步長l。

(2)對于每次成像，依次做以下工作：

1)將多幀線陣圖像擺放成面陣圖像，見式(1)～式(3)。

2)從面陣圖像中擬合出二次曲線，估計參數(shù)[1]。

3)根據(jù)二次曲線的參數(shù)，求面陣圖像與靶標(biāo)圖案之間的單應(yīng)矩陣[6]。

(3)根據(jù)步驟(2)求得的多個單應(yīng)矩陣，求解面陣相機(jī)的內(nèi)參數(shù)[2]。

(4) k←k+1。從面陣相機(jī)的參數(shù)中提取線陣相機(jī)的參數(shù) β(k)和v0(k)。

(5)若當(dāng)前標(biāo)定的v0值與前一次的標(biāo)定值相差很小，＜ ε，則結(jié)束。否則，令=+，返回步驟(2)。

3 實驗結(jié)果與分析

為了檢驗相機(jī)標(biāo)定算法的有效性，設(shè)計了仿真實驗。線陣相機(jī)的參數(shù)設(shè)置如下：α=1 200,v0=511，圖像分辨率是1 024×1像素。相機(jī)每次轉(zhuǎn)動的角度為1.5°，轉(zhuǎn)動范圍為 45°，因此，相機(jī)在某個位置可以進(jìn)行31幀成像，選擇第16幀作為參考幀。

平面模板包含4個圓，半徑均為95 mm，圓心分別位于(100, 100)、(100, ?100)、(?100, 100)、(?100,?100)，單位為mm。靶標(biāo)平面的方向用三維向量r表示(單位為°)；位置由三維向量t表示(單位為mm)。實驗中進(jìn)行了3次測量，靶標(biāo)平面的方向與位置分別為：

3.1 線陣圖像的排列

圖3給出了仿真成像的結(jié)果。其中，圖3(a)是靶標(biāo)圖案；圖 3(b)～圖 3(d)是靶標(biāo)位于 3個不同位置得到的多幀線陣圖像。實心點代表原始的成像點，空心點代表坐標(biāo)變換后的成像點?？梢钥闯?，排列后的面陣圖像可以很好地擬合出橢圓。

圖3 靶標(biāo)圖案和仿真成像

3.2 不同隨機(jī)噪聲水平下的誤差比較

圖像上相應(yīng)的投影點位置加上均值為0、均方差為σ的高斯噪聲。將估計的相機(jī)參數(shù)與真實值比較。使用相對誤差評價α的精度，使用絕對誤差評價v0的精度。均方差σ的變化范圍從0.1像素～1.5像素。對于每個噪聲水平，實驗100次然后取平均值，實驗結(jié)果如圖4所示。可以看出，誤差與噪聲水平大致呈線性關(guān)系。當(dāng)均方差σ=0.5時(高于實際中的噪聲水平)，α的相對誤差低于 0.4%，v0的絕對誤差低于1.5個像素。可見，本文的標(biāo)定方法精度較高，且魯棒性較強(qiáng)。

圖4 不同噪聲水平下的誤差

3.3 噪聲條件下的橢圓擬合與單應(yīng)估計

圖5給出了均方差σ為10個像素時，橢圓擬合與單應(yīng)估計的結(jié)果。圖5(b)畫出了將圖像根據(jù)單應(yīng)映射到靶標(biāo)上時的情況，靶標(biāo)圖案和映射后的圖像基本重合，說明單應(yīng)估計得比較精確。

圖5 橢圓擬合與單應(yīng)估計的結(jié)果

4 結(jié)束語

針對繞固定軸旋轉(zhuǎn)的線陣相機(jī)，本文提出了一種基于二次曲線的相機(jī)標(biāo)定方法。靶標(biāo)上的圖案是3個或3個以上的二次曲線。該方法只需要攝像機(jī)在2個或2個以上不同的方位拍攝靶標(biāo)的圖像，相機(jī)和靶標(biāo)平面都可以自由移動。由于二次曲線自身包含有豐富的結(jié)構(gòu)信息，因此二次曲線之間的單應(yīng)不需要利用點的對應(yīng)，特別適合線陣相機(jī)。

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