二次曲線
- 曲線系方程在求解圓錐曲線定值定點(diǎn)問題中的妙用
．對于一般的二次曲線方程Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,其中有5個(gè)獨(dú)立參數(shù),故一般地5個(gè)獨(dú)立條件能確定二次曲線,從而任意三點(diǎn)不共線的五點(diǎn)確定一條二次曲線．對于給定的五點(diǎn),若其中三點(diǎn)在直線上,另外兩點(diǎn)不在直線上,則通過這五點(diǎn)的二次曲線是唯一的,并且是退縮的二次曲線．我們知道過曲線C1:F1(x,y)=0與曲線C2:F2(x,y)=0交點(diǎn)的曲線系方程為λF1(x,y)+μF2(x,y)=0,同時(shí)若Li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2)表
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年11期2023-11-10
- 一道解析幾何高考題的背景思考與推廣
概念，在揭示二次曲線的性質(zhì)有著強(qiáng)大的威力，二次曲線很多重要的幾何性質(zhì)均與之有關(guān).下面先簡要介紹關(guān)于極點(diǎn)、極線的基本知識(shí)與相關(guān)結(jié)論.極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義若二次曲線Γ的方程為Ax2+2Bxy+cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱點(diǎn)(x0,y0)與直線l:Ax0x+B(x0y+xy0)+cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0為二次曲線Γ的一對極點(diǎn)和極線.如圖1，不在二次曲線Γ上的點(diǎn)A作曲線Γ的兩條割線，依次交曲線Γ于點(diǎn)C,D,E,F，直線CF,DE交于
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年4期2023-04-03
- 過橢圓上任意一點(diǎn)作橢圓切線的兩種尺規(guī)方法
1[4]給定二次曲線C,如果兩點(diǎn)P,Q(P,Q不在曲線C上)連線與二次曲線交于兩點(diǎn)M1,M2,且(M1M2,PQ)=-1,則稱P,Q關(guān)于二次曲線C調(diào)和共軛,或稱點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于二次曲線C互為調(diào)和共軛點(diǎn).對于二次曲線外的一個(gè)定點(diǎn),它關(guān)于這個(gè)二次曲線調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線,這條直線叫做該定點(diǎn)關(guān)于此二階曲線的極線,該定點(diǎn)叫做這條直線關(guān)于此二次曲線的極點(diǎn).如圖1,P為不在二次曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)P作二次曲線的兩條割線依次交二次曲線于點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年3期2023-03-15
- 二次曲線系方法解題賞析
題向大家呈現(xiàn)二次曲線系在解決這些復(fù)雜圓錐曲線問題中的妙處.一、準(zhǔn)備知識(shí)1.二次曲線的一般方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+B2+C20).2.設(shè)l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0 是兩條直線,稱二次曲線:(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 為一條退化的二次曲線.3.二次曲線系的兩條性質(zhì):(1) 若二次曲線C1:f1(x,y)=0 與二次曲線C2:f2(x,y)=0 有四個(gè)不同的交點(diǎn),則過這
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年21期2022-12-02
- 利用不變量化簡二次曲線方程*
002)一、二次曲線的不變量二次曲線在直角坐標(biāo)系下的方程為a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0.①設(shè)在直角坐標(biāo)變換②下,方程①變?yōu)棰蹌t稱關(guān)于方程系數(shù)的非常值函數(shù)I為二次曲線的不變量,如果④引入以下幾個(gè)函數(shù):I1=a11+a22,⑤⑥⑦直接計(jì)算可知I1,I2,I3是二次曲線的不變量[2].二、利用不變量化簡二次曲線方程首先,利用旋轉(zhuǎn)變換⑧可以消去二次曲線方程①中的交叉乘積項(xiàng).事實(shí)上,將⑧代入①得到新方程中的交叉乘積項(xiàng)系數(shù)為
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年18期2022-11-28
- 二次曲線相交弦與切割線定理及其應(yīng)用
吳賽瑛一般的二次曲線可表示為Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中A、B、C不同時(shí)為0.本文主要探討一般二次曲線相交弦與切割線的斜率性質(zhì)及其在高考題、省市質(zhì)檢題的應(yīng)用.定理已知點(diǎn)S不在二次曲線Γ:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0上，過點(diǎn)S的兩條直線l1、l2分別交曲線Γ于P、Q和M、N，其中l(wèi)1、l2的斜率分別為k1、k2(k1≠k2).若|PS||QS|=|MS||NS|，則當(dāng)A=B,C≠0時(shí)，k1k2=1；當(dāng)A≠B,C=0時(shí)，k1+
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2022年11期2022-11-08
- 直線參數(shù)方程及其應(yīng)用淺析
引言直線與二次曲線相交、相切、相離等位置關(guān)系的判斷以及由此引出的系列問題是高中解析幾何專題要討論的問題，這些問題是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的重要載體.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，所以在求解解析幾何相關(guān)問題的過程中往往需要大量計(jì)算，這是解析幾何問題的主要難點(diǎn)所在.而突破這一難點(diǎn)，除了需要充分挖掘利用幾何信息簡化計(jì)算外，有時(shí)還需根據(jù)具體問題合理選擇直線或曲線方程的形式.比如，利用直線方程參數(shù)形式，不僅可以在解決二
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年19期2022-10-27
- 用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)*
——兼談二次曲線的另一種分類方法
文獻(xiàn)給出的“二次曲線中點(diǎn)弦所在直線的方程”欠嚴(yán)謹(jǐn)定理1[3][4]設(shè)f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，若P(x0,y0)是二次曲線f(x,y)=0的弦P1P2的中點(diǎn)，則直線P1P2的方程是⑧證法1[3]：設(shè)點(diǎn)P1(X,Y)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中點(diǎn)，可得點(diǎn)P2(2x0-X,2y0-Y).再由兩點(diǎn)P1,P2均在二次曲線f(x,y)=0上，可得AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0，A(2x0-X)2
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年19期2022-10-27
- 二次曲線的對稱性及曲率
[1-4]，二次曲線是初等幾何和高等幾何的重要研究對象，二次曲線一般理論的一個(gè)重要方面是對其進(jìn)行分類[5-7]。然而，分類的一個(gè)關(guān)鍵步驟是對其進(jìn)行化簡，找到各類二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式[8-11]。采用代數(shù)學(xué)的技巧，用不變量對二次曲線進(jìn)行化簡是所有化簡方法中最簡潔的一種，但嚴(yán)重缺乏幾何直觀。容易發(fā)現(xiàn)，二次曲線的圖形都具有高度的對稱性，從幾何上看，以對稱軸為坐標(biāo)軸時(shí)，二次曲線的表達(dá)式最為簡單，為二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，討論二次曲線的對稱中心和對稱軸對化簡二次曲線
隴東學(xué)院學(xué)報(bào) 2022年5期2022-08-31
- 一組有心二次曲線的定值結(jié)論的統(tǒng)一形式及應(yīng)用
介紹一組有心二次曲線（含有對稱中心的二次曲線，如圓、橢圓和雙曲線等）的一個(gè)定值結(jié)論及其推論，并給出其在高考中的一些應(yīng)用.關(guān)鍵詞：二次曲線;圓錐曲線;定值中圖分類號(hào)： G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）19-0002-031 結(jié)論的提出2 結(jié)論的證明3 結(jié)論的應(yīng)用3.1 直接應(yīng)用3.2 獲取思路3.3 推導(dǎo)結(jié)論參考文獻(xiàn)：[1] 葉萌.關(guān)于有心二次曲線的一個(gè)結(jié)論[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（17）：122.[2] 嚴(yán)飛.由一道
數(shù)理化解題研究·高中版 2022年7期2022-05-30
- 直線參數(shù)方程及其應(yīng)用淺析
引言直線與二次曲線相交、相切、相離等位置關(guān)系的判斷以及由此引出的系列問題是高中解析幾何專題要討論的問題，這些問題是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的重要載體.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，所以在求解解析幾何相關(guān)問題的過程中往往需要大量計(jì)算，這是解析幾何問題的主要難點(diǎn)所在.而突破這一難點(diǎn)，除了需要充分挖掘利用幾何信息簡化計(jì)算外，有時(shí)還需根據(jù)具體問題合理選擇直線或曲線方程的形式.比如，利用直線方程參數(shù)形式，不僅可以在解決二
中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期2022-04-16
- 用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)*
——兼談二次曲線的另一種分類方法
文獻(xiàn)給出的“二次曲線中點(diǎn)弦所在直線的方程”欠嚴(yán)謹(jǐn)定理1[3][4]設(shè)f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，若P(x0,y0)是二次曲線f(x,y)=0的弦P1P2的中點(diǎn)，則直線P1P2的方程是⑧證法1[3]：設(shè)點(diǎn)P1(X,Y)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中點(diǎn)，可得點(diǎn)P2(2x0-X,2y0-Y).再由兩點(diǎn)P1,P2均在二次曲線f(x,y)=0上，可得AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0，A(2x0-X)2
中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期2022-04-16
- 二次曲線系在圓錐曲線四點(diǎn)共圓問題中的應(yīng)用
知識(shí)1.1 二次曲線系兩個(gè)二次曲線通常有四個(gè)交點(diǎn)(這些交點(diǎn)中可能有重合的，也可能有虛的).如果這兩個(gè)二次曲線的方程分別為f1(x,y)=0和f2(x,y)=0(fi(x,y)=0是x,y的二次式)，那么過它們交點(diǎn)的二次曲線束可寫成λf1(x,y)+μf2(x,y)=0，其中λ,μ為實(shí)數(shù)且不全為0.當(dāng)二次曲線退化為直線時(shí)，即得到直線束方程.1.2 直線系方程設(shè)直線l1:m1x+n1y+c1=0與直線l2:m2x+n2y+c2=0相交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的直線束方
數(shù)理化解題研究 2022年7期2022-04-01
- 基于建模思想的解析幾何教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)平臺(tái)，以二次曲線的方程化簡為例，從問題背景、建模實(shí)例選擇及信息化技術(shù)選擇等方面創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，并實(shí)踐于課堂教學(xué)。通過數(shù)學(xué)建模，提高學(xué)生運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提高解析幾何課堂的教學(xué)效果。關(guān)鍵詞：建模思想、二次曲線、坐標(biāo)變換解析幾何的主要思想是通過代數(shù)的方法來研究幾何圖形性質(zhì)，通過建立坐標(biāo)系把空間的幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，確定曲線或曲面的方程或解析式，進(jìn)行平面解析幾何和立體解析幾何研究。數(shù)學(xué)建模思想是利用數(shù)學(xué)理論結(jié)合實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解
科學(xué)與生活 2021年14期2021-09-10
- 一般二次曲線中點(diǎn)弦公式及其應(yīng)用
次方程表示的二次曲線的弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，并稱此為中點(diǎn)弦公式．這樣，文[1]中的三個(gè)公式就是一般中點(diǎn)弦公式的簡單推論．同時(shí)，我們還運(yùn)用中點(diǎn)弦公式給出一般二次曲線共點(diǎn)弦族與平行弦族中點(diǎn)軌跡方程的一般形式．1 一般二次曲線的中點(diǎn)弦公式平面上，由關(guān)于x,y的二元二次方程表示的曲線C稱為二次曲線，簡記為C:F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0．以二次曲線C內(nèi)部一點(diǎn)M(x0,y0)為中點(diǎn)的弦稱為以M為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦．由于二次曲線C的中點(diǎn)
中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2021年8期2021-08-16
- 基于組合預(yù)測模型的我國鐵路客運(yùn)量發(fā)展趨勢分析
學(xué)模型，構(gòu)建二次曲線模型、二次曲線指數(shù)平滑預(yù)測模型和灰色預(yù)測模型，并對模型進(jìn)行求解和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，綜合二次曲線預(yù)測模型和二次曲線指數(shù)平滑預(yù)測模型，建立最優(yōu)線性組合預(yù)測模型并檢驗(yàn)合理性，通過曲線擬合的方式對模型進(jìn)行優(yōu)良性分析。結(jié)果表明，所建模型合理有效，組合預(yù)測模型最優(yōu)，較好地描述了我國鐵路客運(yùn)量的發(fā)展趨勢。[關(guān)鍵詞]二次曲線;二次曲線指數(shù)平滑模型 ;灰色模型;組合預(yù)測模型[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2021.18.1621 引言
中國市場 2021年18期2021-07-01
- 例談二次曲線系方程在解析幾何中的應(yīng)用*
主要介紹利用二次曲線系方程來解決解析幾何中的一些問題.1 知識(shí)準(zhǔn)備具有某種共同性質(zhì)的曲線的集合叫做曲線系.一般地,設(shè)兩條二次曲線的方程為C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0,那么過這兩條二次曲線交點(diǎn)的二次曲線系方程為:λf1(x,y)+μf2(x,y)=0,其中λ,μ為參數(shù).如果所求的二次曲線不是C2自身,也可以把曲線系方程表示為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.高中常見的二次曲線有:圓,橢圓,雙曲線和拋物線.已知兩相交直線l1:A1x
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年23期2021-02-25
- 蒙日圓的一組推廣結(jié)論
魏東升有心二次曲線中，任意兩條相互垂直的切線交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是有心二次曲線的中心，半徑由有心二次曲線的二次項(xiàng)系數(shù)決定，這個(gè)圓稱為蒙日圓.關(guān)于該結(jié)論，文[1]中給出了它的一組證明.如果向有心二次曲線引兩條夾角為θ(θ≠90°)的切線，那么它們的交點(diǎn)還有規(guī)律嗎？如果有的話，還會(huì)是圓嗎？帶著這個(gè)疑問，筆者進(jìn)行了以下探究：特別地，當(dāng)θ=90°時(shí)，上述軌跡方程整理為x2+y2=2a2，即為我們所熟悉的圓的蒙日圓．橢圓中有沒有類似的更一般形式？經(jīng)過探究發(fā)
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2021年2期2021-01-28
- 一道二次曲線相切問題的辨析
不能與直線和二次曲線相切等同研究?！娟P(guān)鍵詞】二次曲線 相切高中數(shù)學(xué)中，相切問題主要研究的是直線與二次曲線的相切，解決方法是借助幾何直觀，利用二次方程的判別式為零求解（直線與圓相切直接利用幾何特征——圓心到直線的距離等于半徑）。對于二次曲線與二次曲線相切，沒有給出嚴(yán)格的定義，涉及的問題都是一些比較直觀和簡單的。但學(xué)生會(huì)誤以為相切都是二次方程的判別式為零，從而產(chǎn)生一些難以解釋的疑惑。下面通過一個(gè)課堂中遇到的問題辨析二次曲線相切問題的解法?！颈嫖?】本例的一個(gè)變
中國校外教育(中旬) 2020年11期2020-12-23
- 圓與二次曲線相切問題
何強(qiáng)調(diào)直線與二次曲線相交，圓與其他二次曲線關(guān)系屬于盲點(diǎn)，那么下面筆者將探討幾個(gè)圓與二次曲線相切的問題總結(jié)：圖與二次曲線相切問題題型變化多端，方法涉及知識(shí)面廣，如向量、導(dǎo)數(shù)、不等式等，是一類較靈活的題型，我們需要找到關(guān)鍵，否則難以入手，圓與直線和與二次曲線相切問題本質(zhì)相同，即上文所提到的圓心到曲線的最小距離為圓的半徑。清楚了圓與二次曲線相切問題，可以幫助我們更好地理解圓與直線相切這一類問題（圓與二次曲線相切不等解法可參考論文“與二次曲線相切于頂點(diǎn)的“最大圓”
新教育論壇 2020年2期2020-09-10
- 雙直線系在圓錐曲線中的應(yīng)用
何中，離不開二次曲線系，靈活用好二次曲線系，可以一定程度上減小計(jì)算，同時(shí)直接獲得相關(guān)表達(dá)式，在一定程度上了解二次曲線系是非常有好處的。一、知識(shí)介紹1、二次曲線一般形式為 （ 不同時(shí)為0）。2、圓（ 相等， 為0）、橢圓、拋物線、兩相交直線，兩平行直線（因式分解得）、一條直線（直線一般式平方）等皆可以用上述式子表示。3、過二次曲線 和 交點(diǎn)的二次曲線系，記為 。二、問題研究分析：當(dāng)直線與另兩條解析式已知的直線交于點(diǎn)時(shí)，雙直線的應(yīng)用可以快速找到兩點(diǎn)間存在的關(guān)系
新教育論壇 2020年2期2020-09-10
- 兩次消元巧求直徑方程
要]將直線和二次曲線方程聯(lián)立，消元兩次，就可以得到圓的直徑方程，這種思路清晰，過程看似煩瑣，實(shí)則簡潔.[關(guān)鍵詞]直徑方程：二次曲線：消元：直線[中圖分類號(hào)]G633. 6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)]1674-6058（2020）14-0017-02在解決與以直線和二次曲線相交的弦為直徑的網(wǎng)有關(guān)問題時(shí)，常規(guī)解法是將直線方程和二次曲線方程聯(lián)立，消元一次，即消去x或y，使用根與系數(shù)關(guān)系，求出圓心坐標(biāo)和半徑，但在解題中發(fā)現(xiàn)，可以消元兩次，既消去x，也消去y，將每
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2020年5期2020-07-16
- 蝴蝶定理對合對應(yīng)關(guān)系的統(tǒng)一形式及其應(yīng)用
推廣為一般的二次曲線，用射影幾何對合對應(yīng)方法給出統(tǒng)一的結(jié)論.命題6 如圖2、圖3，過二次曲線弦AB外一點(diǎn)M引二次曲線的兩弦CD，EF分別交弦AB于G、H，CF、ED分別交AB于P、Q，設(shè)點(diǎn)N為GH的中點(diǎn)，記AN=a，BN=b，GN=NH=d，PN=x，QN=y，其中小寫字母均表示有向線段值，則圖2 內(nèi)型蝴蝶定理Fig.2 Inner butterfly theorem圖3 外型蝴蝶定理Fig.3 Exterior butterfly theorem證明 如
河南科學(xué) 2020年5期2020-07-04
- 二次型及其在實(shí)際中的應(yīng)用
詞：二次型;二次曲線;二次曲面;標(biāo)準(zhǔn)型二次型及其理論的建立有著很強(qiáng)的幾何背景，二次型的理論的探討是從18世紀(jì)開始的，它的起源是對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選擇主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡化方程的形狀?？挛髟谒搜芯恐鞯幕A(chǔ)上，探討化簡變數(shù)的二次型等問題，證明了特征方程在直角坐標(biāo)系的任何變化下具有不變性，以及n個(gè)變量的兩個(gè)二次型能用一個(gè)線性變換，同時(shí)化為平方和。在1858年，維爾斯托拉斯給出了對同時(shí)化兩個(gè)二次型成為平
- 關(guān)于二次曲線一般理論教學(xué)的思考
五章主要研究二次曲線的一般理論，這部分內(nèi)容在解析幾何課程中占有很重要的地位，但是由于課時(shí)的關(guān)系，每次講到這里的時(shí)候，所剩的課時(shí)不多，因此如何用比較少的課時(shí)把這一部分內(nèi)容講清楚，是對教師的一個(gè)考驗(yàn)。文章主要以呂林根、許子道主編的《解析幾何》(第四版)[1]為例，結(jié)合本人在教學(xué)過程中的一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勅绾魏侠淼靥幚碓摻滩闹械牡谖逭聝?nèi)容，也即是二次曲線的一般理論。1 刪除二次曲線切線及主直徑內(nèi)容解析幾何二次曲線一般理論的主要內(nèi)容為二次曲線的化簡與分類。在化簡二次曲
安順學(xué)院學(xué)報(bào) 2020年1期2020-04-05
- 金針菇接種過程中環(huán)境微生物含量與污染率的曲線擬合分析
行線性回歸、二次曲線回歸、三次曲線回歸，并對得到的回歸模型進(jìn)行檢驗(yàn)，研究金針菇菌包污染率隨接種環(huán)境中雜菌含量變化的規(guī)律。結(jié)果表明，3種模型的P值均小于0.01，說明3種模型均可以很好地反映環(huán)境中雜菌含量與污染率的關(guān)系，三次曲線模型的R2adj值最大（0.997），接近1，且各回歸系數(shù)達(dá)顯著水平，因此三次曲線模型最適合表征環(huán)境中雜菌含量與污染率的關(guān)系，回歸方程為Y=0.203-0.489x+0.293x2-0.014x3。關(guān)鍵詞??回歸分析法;污染率;線性回
安徽農(nóng)業(yè)科學(xué) 2020年4期2020-03-31
- 關(guān)于二次曲線“中點(diǎn)弦”的幾個(gè)重要結(jié)果
潘繼軍?關(guān)于二次曲線“中點(diǎn)弦”的幾個(gè)重要結(jié)果潘繼軍滇西科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 臨滄 677000本文主要研究了一般二次曲線“中點(diǎn)弦”的幾個(gè)相關(guān)問題，并證明了3個(gè)重要定理。作為定理的應(yīng)用，得到了8個(gè)更具有普遍性的推論。二次曲線; “中點(diǎn)弦”關(guān)于二次曲線中點(diǎn)弦的研究，人們已取得了一些研究成果，如：文獻(xiàn)[1-2]研究了中點(diǎn)弦方程的求法；文獻(xiàn)[3]通過偏導(dǎo)數(shù)討論了二次曲線中點(diǎn)弦所在直線方程；文獻(xiàn)[4-5]對二次曲線中點(diǎn)弦存在的性作了探討。在文獻(xiàn)文[6]中的定
山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 2018年5期2018-10-22
- 二次曲線的共形擴(kuò)充
考慮最簡單的二次曲線的共形擴(kuò)充。關(guān)鍵詞：二次曲線；共形擴(kuò)充；圓錐面近年來，物理學(xué)家們利用共形擴(kuò)充的方法將de Sitter不變狹義相對論、愛因斯坦的狹義相對論和anti-de Sitter不變狹義相對論統(tǒng)一起來[1]，狹義相對論是定義在Lorentz空間上的，歐氏空間上能否有共形擴(kuò)充呢？這是一個(gè)很有意思的問題。本文研究了最簡單的歐氏空間——二次曲線。眾所周知，有三種二次曲線，即：橢圓曲線、拋物線和雙曲曲線，我們可以作一個(gè)伸縮變換將這些二次曲線可以變?yōu)槿缦滦?/div>
東方教育 2018年21期2018-08-22
- 平面二次曲線奇點(diǎn)的一種分類
數(shù)的方法，從二次曲線的第三個(gè)不變量出發(fā)，得到了二次曲線奇點(diǎn)的充分條件和必要條件，并進(jìn)一步討論了二次曲線上的奇點(diǎn)，給出了二次曲線奇點(diǎn)的一種分類方法。關(guān)鍵詞：二次曲線；奇點(diǎn)；不變量；分類在二次曲線關(guān)于切線的理論中，提到了奇點(diǎn)這一概念，在此基礎(chǔ)上研究了過奇點(diǎn)的切線的若干問題。因此，曲線奇點(diǎn)的存在將影響曲線的光滑性，同時(shí)也會(huì)影響曲線的不確定性和不可控制性。例如，在機(jī)械制造、船舶、汽車、航空航天等復(fù)雜的外形輪廓中，弄清奇點(diǎn)的情況，對于設(shè)計(jì)符合要求的、光順的外形有著特考試周刊 2018年74期2018-08-20
- 二次曲線漸近線與二次曲面漸近面的探究
個(gè)重要概念，二次曲線的漸近線對于確定曲線的走向有非常重要的意義。如果一條曲線的漸近線存在，求出該曲線的漸近線就能知道曲線無線延伸時(shí)的變化趨勢，進(jìn)而可以更加全面和細(xì)致地研究曲線的形態(tài)。對于二次曲面的漸近面是同樣的道理。本文探討二次曲線的漸近線與二次曲面的漸近面的求法時(shí),涉及到很多知識(shí)，其中提出了利用極限來解決幾何問題的基本思路。[2]極限思想是一種重要的幾何思想,應(yīng)用極限思想探索解題方法,是數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)思想和策略原則之一。同時(shí)，本文探討了共焦二次曲面，給出- 關(guān)于圓錐曲線中的聯(lián)列問題
故知新在進(jìn)行二次曲線聯(lián)列時(shí)我們要牢記約束條件，那么，當(dāng)我們將直線與二次曲線聯(lián)列時(shí)，為什么可以“忽略”約束，直接用判別式呢？整理得(a2k2+b2)x2+2mka2x+m2a2-a2b2=0.Δ=4m2k2a4-4(a2k2+b2)(m2a2-a2b2)>0?b2+a2k2>m2.那么滿足這個(gè)條件的兩根就一定落在定義域內(nèi)嗎？我們不妨算出這兩根.如果要證明其符合定義域，只要證明-a≤x1假設(shè)x2≤a成立,a2k2+b2>0,a2k2+2akm+m2=(ak+m數(shù)理化解題研究 2018年10期2018-06-06
- 偏導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)求切線方程中的應(yīng)用
中數(shù)學(xué)中，求二次曲線的切線方程是一類重要題型.本文將結(jié)合高等數(shù)學(xué)中隱函數(shù)求導(dǎo)的相關(guān)知識(shí)證明一個(gè)公式，并運(yùn)用該公式求解兩個(gè)高考題，以體現(xiàn)該方法過程簡便、快捷，與常規(guī)解題方法相比，更具優(yōu)越性.【關(guān)鍵詞】二次曲線；切線方程；偏導(dǎo)數(shù)圓錐曲線以切線為背景的問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中，這類問題往往運(yùn)算量大而且計(jì)算十分復(fù)雜，最終因?yàn)闀r(shí)間不夠而被考生放棄.為此，本文結(jié)合高考實(shí)例探索圓錐曲線切線方程的求法，以供參考.經(jīng)過二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年4期2018-03-20
- 一次美麗的邂逅
慶【摘要】 二次曲線的交點(diǎn)問題是許多學(xué)生和教師都心存疑惑的地方，本文通過課堂教學(xué)實(shí)錄給大家答疑解惑.【關(guān)鍵詞】 二次曲線;交點(diǎn);判別式;韋達(dá)定理作為一位教師，我們都希望自己的課堂教學(xué)有行云流水的教學(xué)過程，巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生積極主動(dòng)的參與，良好的檢測效果.但是，真正的課堂教學(xué)往往會(huì)有一些意想不到的情況出現(xiàn)，而這些意料之外的情況恰恰真實(shí)地反映了學(xué)生的思維狀態(tài)和學(xué)生在積極主動(dòng)參與時(shí)出現(xiàn)的困惑.在教學(xué)中我們應(yīng)該珍惜這樣的機(jī)會(huì)，如果能夠利用好這些教學(xué)中的“意外”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年23期2018-03-04
- 判別式法判定曲線間位置關(guān)系的原理
若直線方程和二次曲線方程消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則我們可以通過該一元二次方程的判別式來判定直線和二次曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．那么，它的理由是什么？教材和教輔資料上一般是將這個(gè)方法拿來就用．事實(shí)上，不少師生也認(rèn)為這個(gè)方法理所當(dāng)然，大家已經(jīng)達(dá)成共識(shí)．下面看教科書上的例題和解答．例1 (人教A版必修二)已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0.判斷直線l與圓的位置關(guān)系．解析(課本解法一)：由直線l與圓的方程，得①消去y，得x2數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年3期2017-12-25
- 再談在限定條件下非退化二次曲線內(nèi)接梯形的存在性及作法
條件下非退化二次曲線內(nèi)接梯形存在性探究，兩文共給出8個(gè)命題，結(jié)論簡潔，優(yōu)美，十分有趣．筆者認(rèn)為其證明雖然方法獨(dú)特、巧妙但非常繁瑣，8個(gè)命題雖然給出了梯形的存在性，但都沒給出此梯形具體作法，另外文[1]的命題4應(yīng)該添加“直線MA1不平行拋物線的對稱軸”，文[2]的命題2和命題4都應(yīng)該添加“直線MA1不過雙曲線的中心”．文[3]給出了具體作法，但是在已知有心圓錐曲線的中心及拋物線的對稱軸的前提下來完成的，文[3]的條件應(yīng)該加上直線MA1與二次曲線C交另一點(diǎn)A2數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年10期2017-12-24
- 二次曲線系視角下對2017年全國Ⅰ卷理數(shù)20題的反思
9) 張金生二次曲線系視角下對2017年全國Ⅰ卷理數(shù)20題的反思江西省南昌市第三中學(xué) (330049)張金生2017年高考新課標(biāo)全國Ⅰ卷理數(shù)的設(shè)計(jì)遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《高考說明》的要求和闡述，緊密聯(lián)系高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透學(xué)科核心素養(yǎng).本文從二次曲線系的角度去研究該卷20題，請看題：常規(guī)解法略，為巧解該題，我們先看關(guān)于二次曲線系的相關(guān)概念：二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲線叫做二次曲線，它包括圓、橢圓、雙曲中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2017年8期2017-08-28
- 例談二次曲線的類型判斷
是什么類型的二次曲線？x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1）此問題對于高中生來說是比較棘手的，中學(xué)階段接觸到的二次曲線通常是不含交叉項(xiàng)的，如果（1）中去掉4xy，只需分別對x，y配方不難判斷其所對應(yīng)的曲線類型.容易發(fā)現(xiàn)，（7，0）、（-1，0）均為（1）所對應(yīng)的二次曲線上的點(diǎn). 由于二次方程所對應(yīng)的曲線（若存在）有且僅有圓、橢圓、雙曲線、拋物線、一個(gè)點(diǎn)及兩條（相交或平行或重合）直線這幾種類型[1]. 圓與點(diǎn)的情形可排除，為了判斷該曲線是余下哪種中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2017年2期2017-03-28
- MATLAB在二次曲線教學(xué)中的應(yīng)用
ATLAB在二次曲線教學(xué)過程中的作用，并進(jìn)行了案例分析。從而表明，將MATLAB用于二次曲線繪圖，有利于學(xué)生更好的掌握和理解知識(shí)點(diǎn)，有效地提高教學(xué)質(zhì)量。關(guān)鍵詞：MATLAB；二次曲線；教學(xué)案例一、引言在高中數(shù)學(xué)中利用圖形對數(shù)學(xué)教學(xué)具有很重要的地位。隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革，對于一些復(fù)雜的圖形或者教學(xué)任務(wù)，教師很難短時(shí)間內(nèi)通過粉筆在黑板上進(jìn)行作圖、證明和解題。傳統(tǒng)的教學(xué)方式，早已使學(xué)生感到枯燥乏味了。MATLAB的出現(xiàn)，使教師能夠更好地運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件，從多方面東方教育 2016年8期2017-01-17
- 一個(gè)二次曲線定理的再推廣
17)?一個(gè)二次曲線定理的再推廣朱 晶●江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)(212017)在綜合二次曲線的兩個(gè)關(guān)于直線恒過定點(diǎn)的結(jié)論之后，將其進(jìn)一步推廣，得到更一般的結(jié)論.二次曲線;定點(diǎn);定值;斜率文[1]給出了二次曲線的一個(gè)定理如下：文[2]通過對圓的一個(gè)常見結(jié)論進(jìn)行推廣，得到如下受文[1]、文[2]的啟發(fā)，筆者想到：文[1]中的“PM⊥PN”，就是文[2]中的“C=-1”，如果將文[1]中的“PM⊥PN”改為“kPM·kPN=t(t為常數(shù))”，直線MN是否恒過定點(diǎn)？通過研數(shù)理化解題研究 2016年28期2016-12-16
- 雙曲線一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)的簡證與推廣
線;漸近線;二次曲線方程;交點(diǎn)曲線系方程趙忠華老師在貴刊2016年第2期提出如下一個(gè)定理：在雙曲線所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在漸近線和雙曲線上)，過此點(diǎn)作兩條漸近線的平行線，這兩條直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與漸近線交于兩點(diǎn)，則雙曲線上兩點(diǎn)連線平行于漸近線上兩點(diǎn)連線.文[1]利用坐標(biāo)法加以證明，運(yùn)算量略大.這里筆者另辟蹊徑，給出利用二次曲線方程的證法，一方面使得證明過程得到簡化，另一方面在此基礎(chǔ)上對原性質(zhì)作出一些推廣，并試圖從二次曲線的層面深刻揭示其本質(zhì).圖1中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2016年5期2016-11-10
- 矩陣的初等變換在幾何學(xué)上的應(yīng)用
換來推斷一類二次曲線和一類二次曲面的大體形狀，并給出了相應(yīng)的定理性結(jié)論。關(guān)鍵詞：初等變換；二次曲線；二次曲面；實(shí)對稱矩陣；二次型DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.029對于一般的二次曲線與二次曲面的形狀的推斷是困難的，用矩陣的初等變換法可以解決這一問題。1求與實(shí)對稱矩陣合同的對角矩陣的初等變換法引入實(shí)對稱矩陣A與向量x、y：A所對應(yīng)的二次型為f(x1,x2,…,xn)=xTAx(1)對于二次型(1)總存在可逆的- 談二次曲線束在解析幾何中的應(yīng)用
000)?談二次曲線束在解析幾何中的應(yīng)用黃旭東(湖北省黃石市第一中學(xué)，435000)在解析幾何中,我們常常利用曲線束解題,如過兩相交直線交點(diǎn)的直線束,過兩圓相交的交點(diǎn)的圓束，等等,其最大的作用是簡化運(yùn)算.下面談?wù)?span id="syggg00" class="hl">二次曲線束在解幾方面的應(yīng)用.一、知識(shí)梳理二次曲線方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,根據(jù)參數(shù)的不同值,可表示成橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線.其實(shí)除了上述曲線之外,還可表示成兩條直線．形如(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年11期2016-07-07
- 二次曲線垂直切線的研究
5104)?二次曲線垂直切線的研究王慶(蘇州市職業(yè)大學(xué)數(shù)理部, 江蘇蘇州215104)[摘要]用解析幾何與射影幾何的方法討論二次曲線垂直切線交點(diǎn)的軌跡,重新證明了:橢圓、雙曲線垂直切線交點(diǎn)的軌跡是圓;拋物線垂直切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上,且切點(diǎn)的連線過焦點(diǎn).[關(guān)鍵詞]二次曲線; 射影幾何; 切線探討平面二次曲線相互垂直切線交點(diǎn)的軌跡是平面解析幾何的一個(gè)經(jīng)典問題.文獻(xiàn)[1] p.169 題291提出橢圓的互成直角的切線的交點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓(Jes.1884).本文首先大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年1期2016-01-28
- 一道二次曲線間交點(diǎn)問題的錯(cuò)解反思
若直線方程和二次曲線方程消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，為何我們可以通過該一元二次方程的判別式來判定直線和二次曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過韋達(dá)定理來研究與交點(diǎn)有關(guān)的問題.而一般情況下，若兩個(gè)二次曲線方程消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，卻不可以通過它的判別式和韋達(dá)定理解決類似問題？記二次曲線C1：f1（x，y）=0，二次曲線C2：f2（x，y）=0，直線l：Ax+By+C=0.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2015年5期2015-10-08
- 宏程序與CAD/CAM在二次曲線加工中的應(yīng)用比較
D/CAM在二次曲線加工中的應(yīng)用比較楊春花 （云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程系, 昆明 650203）摘 要：隨著CAD/CAM軟件的普及應(yīng)用，手工編程逐漸的在被CAD/CAM自動(dòng)編程所代替。其實(shí)自動(dòng)編程和手工編程（特別是利用宏程序進(jìn)行手工編程），它們各自有著各自的優(yōu)缺點(diǎn)。因此充分結(jié)合這兩種編程方法，對提高編程的效率和提高加工的質(zhì)量有著重要的意義。關(guān)鍵詞：宏程序;CAD/CAM;二次曲線本文首先分析了CAD/CAM與宏程序編程各自的特點(diǎn)。然后以二次曲線為研究山東工業(yè)技術(shù) 2015年7期2015-07-26
- 雙參換元，構(gòu)造二次曲線巧解含根式問題
參換元，構(gòu)造二次曲線巧解含根式問題☉江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東一般來說，利用代數(shù)方法解決含根式的問題比較繁瑣，因?yàn)閷Ω蕉?，變形的主要方法是平?由上面的簡單例子可以看出，函數(shù)與方程之間存在著必然的聯(lián)系.本文結(jié)合近幾年來的競賽或高考試題，通過引入兩個(gè)變量，即雙換元的方法，將代數(shù)中的根式問題轉(zhuǎn)化為解析幾何中的二次曲線問題，總結(jié)出幾種常用的轉(zhuǎn)化途徑.途徑1 轉(zhuǎn)化為二次曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離問題點(diǎn)評：引入雙參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離的范圍問題.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2014年2期2014-02-01
- 對一個(gè)二次曲線結(jié)論的深度探究
12)對一個(gè)二次曲線結(jié)論的深度探究●鄭日鋒(杭州學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)文獻(xiàn)[1]用了較大的篇幅，最后得出了如下的統(tǒng)一結(jié)論：過二次曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+C2≠0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的2條直線與曲線交于點(diǎn)A,B，滿足kPA·kPB=t(t≠0).若此二次曲線方程經(jīng)過x′=x+x0,y′=y+y0換元后的方程為A′x′2+C′y′2+D′x′+E′y′+F′=0(A′2+C′2≠0),1 完善此結(jié)論可以完善為如下定理1.定中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年12期2013-10-26
- 關(guān)于二次曲線切線的研討
+a22y2二次曲線的方程為F(x,y)≡a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0(1)過M0(x0,y0) 點(diǎn)，且具方向X,Y的直線方程為(2)將直線(2) 代入二次曲線(1) 得方程:Φ(X,Y)·t2+2[F1(x0,y0)·X+F2(x0,y0)·Y]t+F(x0,y0)=0(3)2 概念定義1[1]如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個(gè)重合的交點(diǎn)叫做切點(diǎn)；如果直線全部在二次- 歐氏群與二次曲線方程的化簡
4）歐氏群與二次曲線方程的化簡尹彥彬， 王建永， 陳敏茹（河南大學(xué)數(shù)學(xué)院，開封 475004）討論歐氏群E（2）在二次曲線方程化簡理論中的應(yīng)用.在此背景下，給出二次方程化簡的方法；討論了二次曲線方程的若干性質(zhì).歐氏群；反射；二次曲線1 預(yù)備知識(shí)在本文中我們約定coli（A）表示A的第i列向量；At表示A的轉(zhuǎn)置；向量u的單位化記為u0.考慮二次曲線Γ的一般方程為了方便起見，特引進(jìn)一些記號(hào)定義1.1［1］二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線，這條直線稱為二大學(xué)數(shù)學(xué) 2012年4期2012-11-02
- FANUC 0i數(shù)控系統(tǒng)車削二次曲線零件宏程序的應(yīng)用*
數(shù)控系統(tǒng)車削二次曲線零件宏程序的應(yīng)用*赫煥麗 (咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北咸寧437100)在數(shù)控車削加工中，由于現(xiàn)代的數(shù)控系統(tǒng)中只有直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)指令，不適合二次曲線類零件的編程，因此二次類零件的加工是比較困難的，本文較全面總結(jié)了FANUC 0i數(shù)控系統(tǒng)車削加工二次類零件中宏程序的應(yīng)用。采用切槽法使二次曲線的宏程序編程更加簡便。拋物線;宏程序;編程;應(yīng)用引言在實(shí)際機(jī)械加工和各種數(shù)控大賽中，我們常常會(huì)遇到由拋物線、橢圓等構(gòu)成的復(fù)雜二次曲線類零件，但目前的數(shù)湖北科技學(xué)院學(xué)報(bào) 2012年8期2012-09-13
- 由一道考題引出一類二次曲線的等角性質(zhì)
考題引出一類二次曲線的等角性質(zhì)●陳重陽 (溫州中學(xué) 浙江溫州 325100)翻閱2011年浙江省普通高中數(shù)學(xué)會(huì)考試卷，其中第41題第(2)小題引起了筆者的興趣．筆者對該題進(jìn)行探究后，引出了一類二次曲線的等角性質(zhì)，供參考．1 引題如圖1所示，圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)N，M(點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè))，且|MN|=3．(1)求圓C的方程．(2)過點(diǎn)N任作直線與圓O:x2+y2=4相交于點(diǎn) P，Q，連結(jié) PM，QM．求證:∠PMN=∠QMN．中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2011年7期2011-02-02
- 有心相似圓錐曲線中的花蝴蝶定理
迪定理．1 二次曲線中的坎迪定理如圖1，AB是二次曲線Ω的弦，M是AB上的任一點(diǎn)，過M作Ω的兩條弦CD和EF，其中C，E位于AB同一側(cè)，若過 C，F(xiàn)，D，E 的任一二次曲線與直線AB交于P，Q，則圖12 有心相似圓錐曲線中的花蝴蝶定理證明 如圖2，連接KI，GE，JN，F(xiàn)H，依次交 PQ于點(diǎn) U，V，X，Y，記∠PMG=∠QMH=α，∠PME=∠QMF=β．分別在△MKI，△MGE，圖21 郝志剛．花蝴蝶定理．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2010，420110819)中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年19期2011-01-13
- 空間二次曲線射影重建計(jì)算方法研究
物理特征。將二次曲線作為一個(gè)重要的基本要素來實(shí)現(xiàn)對三維場景的理解和識(shí)別是計(jì)算機(jī)視覺研究的一個(gè)重要的領(lǐng)域。近幾年來，研究人員在這方面做了大量的工作，在圍繞著二次曲線計(jì)算方法的研究方面取得了不少的成績[1-6]。文獻(xiàn)[1]通過對多幅圖像中二次曲線上多個(gè)點(diǎn)的檢測來求解二次曲線；文獻(xiàn)[2]中通過對二次曲線上不同直線的檢測來實(shí)現(xiàn)對二次曲線的恢復(fù)；文獻(xiàn)[3]利用幾何代數(shù)來表示二次曲線，通過求解兩個(gè)不同點(diǎn)上線束的對應(yīng)直線交點(diǎn)推導(dǎo)出二次曲線的幾何積的表達(dá)形式；文獻(xiàn)[4]、圖學(xué)學(xué)報(bào) 2010年3期2010-01-01
- 平面二次曲線奇點(diǎn)的一種分類