常家文 韓 潔 胡 婷

(揚州大學數學科學學院,225002)

一、二次曲線的不變量

二次曲線在直角坐標系下的方程為

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0.

①

設在直角坐標變換

②

下,方程①變?yōu)?/p>

③

則稱關于方程系數的非常值函數I為二次曲線的不變量,如果

④

引入以下幾個函數:

I1=a11+a22,

⑤

⑥

⑦

直接計算可知I1,I2,I3是二次曲線的不變量[2].

二、利用不變量化簡二次曲線方程

首先,利用旋轉變換

⑧

可以消去二次曲線方程①中的交叉乘積項.事實上,將⑧代入①得到新方程中的交叉乘積項系數為

⑨

⑩

可以化簡一次項和常數項.例如,方程中如果出現某個元的平方項,則可用移軸變換消去相應的一次項;方程中如果出現一次項,則可用移軸變換消去常數項.

于是，經過直角坐標變換,任意二次曲線方程總能化為如下三個簡化方程中的一種:

上述簡化方程中的系數可以用二次曲線的不變量表示出來.這是因為,對于情形1,由于

λ2-I1λ+I2=0

其中λ1,λ2是特征方程的兩個根.

對于情形2,由于

由于情形3是退化二次曲線,這里略去討論.

三、應用舉例

下面給出幾個用不變量化簡二次曲線方程的例子.

例1化簡二次曲線方程

3x2-2xy+3y2+4x+4y-4=0.

解因為

所以特征方程為λ2-6λ+8=0,

所以曲線方程可化為2x′2+4y′2-8=0,

例2化簡二次曲線方程

x2+6xy+y2+6x+2y-1=0.

例3化簡二次曲線方程

x2-4xy+4y2+2x-2y-1=0.

應用不變量化簡二次曲線方程，雖然沒有在中學教材中提出明確要求,但作為教師,在遇到此類問題并且化簡較為繁瑣時,可先行利用這一方法求出正確結果,再去按圖索驥,將會事半功倍．