黃旭東

(湖北省黃石市第一中學(xué)，435000)

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談二次曲線束在解析幾何中的應(yīng)用

黃旭東

(湖北省黃石市第一中學(xué)，435000)

在解析幾何中,我們常常利用曲線束解題,如過兩相交直線交點(diǎn)的直線束,過兩圓相交的交點(diǎn)的圓束，等等,其最大的作用是簡化運(yùn)算.下面談?wù)劧吻€束在解幾方面的應(yīng)用.

一、知識梳理

二次曲線方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,根據(jù)參數(shù)的不同值,可表示成橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線.其實(shí)除了上述曲線之外,還可表示成兩條直線．形如

(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=0

的方程也為二元二次方程,可看成退化的二次曲線.

一般地,兩條二次曲線通常有四個(gè)交點(diǎn)(這些交點(diǎn)可能有重合,也可能有虛的)，如果兩條二次曲線的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0(其中f1(x,y),f2(x,y)是關(guān)于x,y的二次式),則過這兩條二次曲線交點(diǎn)的二次曲線束的方程可寫成μf1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ,μ為不全為0的實(shí)數(shù)).

二、應(yīng)用

1.處理四點(diǎn)共圓問題

例2已知拋物線E:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0,4) 到焦點(diǎn)F的距離

(1)求E的方程;

解(1)y2=4x,過程略.

評注對于圓錐曲線中四點(diǎn)共圓的綜合題,用常規(guī)法一般計(jì)算量大,甚至非常繁瑣,而用二次曲線束可表示為圓,其方程xy系數(shù)為0,x2,y2的系數(shù)相等,再組成簡單的方程組解方程,大大化解了設(shè)直線求交點(diǎn)及解復(fù)雜方程組的繁瑣運(yùn)算,同時(shí)也避免了為了運(yùn)用四點(diǎn)共圓中的幾何性質(zhì)而煞費(fèi)心機(jī)地反復(fù)轉(zhuǎn)換,使解題過程變得簡潔而高效!

2.求解定點(diǎn)與定值問題

(1)求橢圓E的方程;

(1) 設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡；

(3) 設(shè)t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān)).

解(1)、(2)略.

例5如圖4,AB,CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦,交點(diǎn)為P,兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2,求證:|PA||PB|=|PC||PD|.

μ(mx+y+s)(-mx+y+t)

+λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0.

①

設(shè)直線BC,DA的方程分別為a1x+b1y+c1=0與a2x+b2y+c2=0,則BC,DA組成的退化二次曲線束的方程為

(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)

=0.

②

設(shè)直線AD與CB分別與x軸交于點(diǎn)E,F,則由上知∠3=∠4,又∠1=∠2,故∠3-∠1=∠4-∠2，即∠BCP=∠DAP,又∠CPB=∠APD,故?BPC∽?APD,故有

也即|PA||PB|=|PC||PD|.

評注例3,例4為證明定點(diǎn)問題,例5本質(zhì)上是證明kBC+kAD=0的定值問題,它們都涉及到兩相交直線與圓錐曲線相交問題,在應(yīng)用雙直線組成的二次曲線束處理此類問題時(shí)，運(yùn)用技巧步驟為:(1)先由相交兩直線AB,CD組成二次曲線束(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=0；(2)雙直線與圓錐曲線相交于四點(diǎn)(可能為重合點(diǎn)或虛點(diǎn))，它們組成過這四點(diǎn)的二次曲線束μ(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)+λf(x,y)=0；(3)變換兩直線與圓錐曲線交點(diǎn)次序組成新的二條相交直線,寫出或設(shè)出其方程,重新組成新的雙直線的二次曲線束(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0；(4)原來的二次曲線束與新組成的雙直線的二次曲線束都過相同四點(diǎn),故方程μ(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)+λf(x,y)=0包含新的二次曲線束(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0,比較系數(shù)列方程求解即可．

綜上所述,靈活運(yùn)用二次曲線束解題,可避免求根的復(fù)雜運(yùn)算,起到優(yōu)化解題的效用．因此在平時(shí)的教學(xué)時(shí),適當(dāng)拓展一些解題技巧與方法,可開拓學(xué)生的視野,提高學(xué)生的技能與能力,從而更好的應(yīng)對高考的要求,不失為一種可行的途徑．當(dāng)然不能舍本求木,走向另一極端,平時(shí)高考復(fù)習(xí)中,還是強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)與通法為主,技巧兼顧,以更好適應(yīng)高校人才挑選的要求．