劉鴻春

1錯(cuò)解呈現(xiàn)

例1拋物線x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，求該雙曲線的離心率.

解答由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，則y1+y2=2a2pb2，由對(duì)稱性知AB垂直于y軸且過(guò)焦點(diǎn)F，因此y1=y2=p2，所以p2+p2=2a2pb2，即b2=2a2，得離心率e=3.2錯(cuò)解剖析

拋物線和雙曲線的交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在x軸上方，因此y1>0且y2>0，而方程b2y2-2a2py-a2b2=0的兩根是一正一負(fù)，因此該方程的兩根并非是y1和y2，由此用韋達(dá)定理解題帶來(lái)錯(cuò)誤.

但可以肯定：y1=y2且y1是該方程的根；上述方程中，y有一個(gè)負(fù)實(shí)根，這負(fù)實(shí)根應(yīng)該舍棄，因?yàn)榘阉霋佄锞€x2=2py（p>0），沒(méi)有意義.

把該解法修改一下可以得到如下正確解法.

正解由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0…①.由題意知拋物線和雙曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為p2，因此p2是方程①的解，則

b2（p2）2-2a2p·p2-a2b2=0……②，

又p2=c…………③

由②，③消去p得

b2c2-4a2c2-a2b2=0，

由此解得e=2+1.

3錯(cuò)解反思

若直線方程和二次曲線方程消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，為何我們可以通過(guò)該一元二次方程的判別式來(lái)判定直線和二次曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)韋達(dá)定理來(lái)研究與交點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題.而一般情況下，若兩個(gè)二次曲線方程消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，卻不可以通過(guò)它的判別式和韋達(dá)定理解決類似問(wèn)題？

記二次曲線C1：f1（x，y）=0，二次曲線C2：f2（x，y）=0，直線l：Ax+By+C=0.