丁 紅

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東煙臺264025)

0 引言

所有的控制系統(tǒng)都不同程度存在某種非線性特性。當(dāng)非線性因素較弱時，非線性系統(tǒng)可以通過線性化方法按線性系統(tǒng)來處理，當(dāng)非線性因素較強時，只能用非線性代數(shù)方程或非線性微分方程來描述。

在“自動控制原理”課程中，非線性系統(tǒng)的相平面法既能提供穩(wěn)定性信息，又能提供時間響應(yīng)的信息，通過相平面上相軌跡的運動趨勢來確定非線性控制系統(tǒng)的動靜態(tài)性能。但相平面法只適用于一階、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)，對于高階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)則較難實現(xiàn)［1］。繪制一階或二階系統(tǒng)的相平面圖的方法通常用δ法或等傾線法來實現(xiàn)。在有些文獻中也闡述了高階系統(tǒng)用δ法或等傾線法繪制高階系統(tǒng)相平面圖的方法，但還是較復(fù)雜的［2，3］。

本文介紹的繪制非線性系統(tǒng)相平面圖的方法是在Simulink仿真環(huán)境中實現(xiàn)的，不但可以繪制一階、二階系統(tǒng)相平面圖，還可以通過將線性系統(tǒng)部分化成能觀標準形的形式，從而構(gòu)造仿真模型，實現(xiàn)高階系統(tǒng)的相平面圖的繪制。這種方法簡單實用，易于操作。

1 一般非線性系統(tǒng)的相平面圖

對于一般的非線性系統(tǒng)，只要在Simulink中構(gòu)造出仿真結(jié)構(gòu)圖，就可以得到相平面圖。

圖1 范德堡方程仿真結(jié)構(gòu)圖

圖2 輸出的相軌跡圖

2 高階非線性系統(tǒng)相平面圖的繪制

典型的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示，其中線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般形式可以表示為

圖3 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

設(shè)系統(tǒng)的輸入為u，輸出為y，則系統(tǒng)的微分方程形式為

設(shè)狀態(tài)變量為

將x1……xn求導(dǎo)并整理得到能觀標準形如下：

可以看出，能觀標準型的特點是輸出量等于最后一個狀態(tài)變量xn，所以狀態(tài)變量圖中最后一個積分器的輸出就是系統(tǒng)的輸出量y，積分器的輸入端是系統(tǒng)輸出量y的一階導(dǎo)數(shù)。而繪制系統(tǒng)的相平面圖就是要在已知輸出及各階導(dǎo)數(shù)的初始條件下，繪制輸出y和的相平面圖，即(y，)平面的相軌跡。這樣通過將線性系統(tǒng)部分化成能觀標準形后，就可以得到輸出y和，然后將其作為Simulink工具箱中的xy Graph模塊的輸入端，再將系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖構(gòu)造出來進行仿真，相軌跡圖就一目了然的繪制出來了。

其他形式的狀態(tài)空間表達式中的輸出y并不一定是某個狀態(tài)變量，而大多數(shù)情況是等于狀態(tài)變量的組合，所以將系統(tǒng)化成能觀標準型，才能將輸出y表示成狀態(tài)變量xn，從而實現(xiàn)高階系統(tǒng)的相平面圖形的繪制。

3 仿真舉例

下面還以圖3所示的非線性系統(tǒng)為例說明繪制高階系統(tǒng)相平面圖的方法。線性部分的數(shù)學(xué)模型為

非線性部分具有飽和特性，其飽和特性的線性區(qū)域為［-1，1］，飽和值為 m=1，初始條件為

［y(0)(0)(0)］=［0.6，1，0.7］，由式(1)得［x1(0)，x2(0)，x3(0)］=［3.8，2.5，0.6］。

首先，將線性系統(tǒng)部分化成能觀標準型：

在Simulink環(huán)境中構(gòu)造非線性系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。我們?nèi)〔煌膋值進行仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k較小時，系統(tǒng)輸出可以穩(wěn)定于奇點［0，0］點，且k越小穩(wěn)定的時間越短;當(dāng)k大于等于2.5時，系統(tǒng)趨于某一極限環(huán)。

圖4 非線性系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖

圖5(a)和(b)分別給出了k=1.3時系統(tǒng)在初始條件為［y(0)，(0)，y¨(0)］=［0.6，1，1.7］，即［x1(0)，x2(0)，x3(0)］=［3.8，2.5，0.6］的相軌跡和輸出響應(yīng)。相軌跡的橫軸為輸出y，縱軸為?？梢钥闯觯嘬壽E由初始條件出發(fā)，沿著穩(wěn)定的方向以螺旋線方式最終趨于穩(wěn)定，由圖5(b)的輸出響應(yīng)也可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定于原點。

而圖6(a)和(b)所示為k=4.5時系統(tǒng)在同樣初始條件下的相軌跡和輸出響應(yīng)?？梢钥闯鱿嘬壽E由初始條件出發(fā)，沿著不穩(wěn)定的方向趨于極限環(huán)，并且橫軸輸出呈等幅自振狀態(tài)，其振幅為A=2.5。由圖6(b)也可以看出輸出自振的振幅為2.5，和相平面圖是一致的。

用描述函數(shù)法分析可知，系統(tǒng)出現(xiàn)自激振蕩的的臨界k值為2.5，當(dāng)k＜2.5時。系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。當(dāng)k＞2.5時系統(tǒng)出現(xiàn)自激振蕩。從圖5和圖6可以看出系統(tǒng)的相軌跡與描述函數(shù)法分析的結(jié)果是一致的，說明本文提出的基于Simulink仿真環(huán)境繪制高階非線性系統(tǒng)相平面法是正確的。

另外，在Simulink環(huán)境中的非線性模塊中(discontinuities)非線性環(huán)節(jié)包括很多種，如繼電器特性、死區(qū)特性等等，可以直接調(diào)用及修改參數(shù)。也可以如圖1所示，在Simulink中將非線性環(huán)節(jié)的仿真模塊構(gòu)造出來后，再將線性部分化成能觀標準型，按上述方法構(gòu)造仿真模型即可繪制出任意階次系統(tǒng)輸出的相平面圖。其實，在Simulink仿真環(huán)境中繪制相平面圖可以非常方便地得到任意變量相軌跡圖。如圖4所示，用積分器的輸入和輸出端作為示波器XY graph1和XY graph2的輸入端，仿真就可以得到任意變量的相軌跡圖，同時在輸出加入一個示波器就可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，如圖5和圖6所示。

圖5 k=1.3時仿真結(jié)果

圖6 k=4.5時的仿真結(jié)果

4 結(jié)語

本文介紹了借助Simulink繪制系統(tǒng)的相平面圖形的問題。我們只要將系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖構(gòu)造出來，將積分器的輸入端和輸出端作為示波器的輸入，通過仿真就可以得到系統(tǒng)中任意變量的相平面圖。對于高階系統(tǒng)，采用將非線性系統(tǒng)中的線性部分化成能觀標準型，將非線性部分用Simulink中的非線性模塊或構(gòu)造非線性系統(tǒng)仿真模型的方法，就可以實現(xiàn)高階系統(tǒng)的相平面圖的繪制，使傳統(tǒng)的只適用于一、二階系統(tǒng)分析的相平面法推廣應(yīng)用到高階非線性系統(tǒng)中。該方法簡單實用，易于實現(xiàn)，擴大了相平面法的應(yīng)用范圍。

［1］胡壽松.自動控制原理［M］.北京：科學(xué)出版社，2001

［2］張德祥等.高階非線性控制系統(tǒng)相平面的圖解實現(xiàn)［J］.北京：系統(tǒng)仿真學(xué)報，2005.(17)12

［3］張德祥等.基于δ法高階非線性系統(tǒng)相平面實現(xiàn)［J］.北京：系統(tǒng)仿真學(xué)報，2004.16(4)

［4］薛定宇.基于Matlab/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社2002