趙海濱 胡智勇

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧沈陽 110819)

混沌理論在現(xiàn)代科學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛,例如將混沌理論用于微弱信號(hào)檢測、故障診斷、保密通信和圖像加密等[1]。金曉宏等[2]提出了一個(gè)結(jié)構(gòu)簡單的三階混沌系統(tǒng),并對該混沌系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。該混沌為三階嚴(yán)反饋系統(tǒng),但不同于Genesio-Tesi系統(tǒng)和Coullet系統(tǒng)。

本文以該三階混沌系統(tǒng)為研究對象,采用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行建模和數(shù)值仿真。本文采用三種方法分別設(shè)計(jì)反饋控制器,進(jìn)行該混沌系統(tǒng)的平衡控制,并對反饋控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。最后對數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行分析,驗(yàn)證了算法有效性。

1 混沌系統(tǒng)

本文研究的三階混沌系統(tǒng)狀態(tài)方程[2],表示為:

其中,x1、x2和x3為混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a、b和c為常數(shù)。當(dāng)a=1.2,b= 0.62,c=1時(shí),該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

采用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行該混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真,采用變步長的四階-五階龍格庫塔算法(ode45算法),進(jìn)行常微分方程的數(shù)值求解[3]?；煦缦到y(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)定為x1( 0) = 1.5,x2(0) = -2 ,x3(0) = 2.5,最大步長為0.0001s,仿真時(shí)間為400s。該混沌系統(tǒng)仿真后,狀態(tài)變量x1和x2的二維相圖,如圖1所示,狀態(tài)變量x1和x3的二維相圖,如圖2所示。

2 反饋控制器1

反饋控制器的結(jié)構(gòu)簡單,容易實(shí)現(xiàn)[4]。對于該三階混沌系統(tǒng),設(shè)計(jì)反饋控制器進(jìn)行系統(tǒng)的平衡控制,狀態(tài)變量漸進(jìn)收斂到零,即收斂于系統(tǒng)唯一的平衡點(diǎn)O( 0,0,0)。在混沌系統(tǒng)的第一個(gè)狀態(tài)方程添加反饋控制器,進(jìn)行系統(tǒng)的平衡控制。帶有控制輸入的受控混沌系統(tǒng),表示為:

圖1 狀態(tài)變量x1和x2的二維相圖Fig.1 Two-dimensional phase diagram of state variables

圖2 狀態(tài)變量x1和x3的二維相圖Fig.2 Two-dimensional phase diagram of state variables x1 and x3

其中,u1為反饋控制器。反饋控制器u1設(shè)計(jì)為:

其中,k1為常數(shù),且k1＞0。將該控制器帶入到狀態(tài)方程中,在平衡點(diǎn)的雅克比矩陣,表示為:

本文將參數(shù)k1設(shè)定為k1=5。通過計(jì)算,可以得到矩陣A1的特征值分別為λ1=-5.057,λ2,3=- 0.472 ± 0.792i。由于矩陣A1特征值的實(shí)部均小于零,因此狀態(tài)變量x1、x2和x3均漸進(jìn)收斂到零。因此,設(shè)計(jì)的反饋控制器能夠進(jìn)行混沌系統(tǒng)的平衡控制,狀態(tài)變量均漸進(jìn)收斂到零。

圖3 反饋控制器u1作用下狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線Fig.3 The response curve of the state variable under the action of the feedback controller u1

圖4 反饋控制器u1的響應(yīng)曲線Fig.4 Response curve of feedback controller u1

混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)定為x1( 0)= 1.8,x2(0) = -2,x3(0)=2。采用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行系統(tǒng)仿真,采用ode45算法進(jìn)行常微分方程的數(shù)值求解。采用反饋控制器u1進(jìn)行平衡控制,狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線,如圖3所示,反饋控制器u1的響應(yīng)曲線,如圖4所示。仿真結(jié)果表明,該反饋控制器能夠進(jìn)行混沌系統(tǒng)的平衡控制,狀態(tài)變量漸進(jìn)收斂到零。

3 反饋控制器2

在混沌系統(tǒng)的第二個(gè)狀態(tài)方程添加反饋控制器,進(jìn)行系統(tǒng)的平衡控制。帶有控制輸入的受控混沌系統(tǒng),表示為:

其中,u2為反饋控制器。反饋控制器u2設(shè)計(jì)為:

其中,k2為常數(shù),且k2＞0。將該控制器帶入到狀態(tài)方程中,在平衡點(diǎn)的雅克比矩陣為:

參數(shù)k2設(shè)定為k2=3.5,可以得到矩陣A2的特征值分別為λ1,2=- 0.556 ± 0.213i,λ3=-3.389。由于矩陣A2特征值的實(shí)部均小于零,因此混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量均漸進(jìn)收斂到零,該反饋控制器能夠進(jìn)行混沌系統(tǒng)的平衡控制。

采用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行系統(tǒng)仿真后,混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線,如圖5所示,反饋控制器u2的響應(yīng)曲線,如圖6所示。仿真結(jié)果表明,控制器能夠進(jìn)行該混沌系統(tǒng)的平衡控制。

圖5 反饋控制器u2作用下狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線Fig.5 Response curve of state variable under the action of feedback controller u2

圖6 反饋控制器u2的響應(yīng)曲線Fig.6 Response curve of feedback controller u2

4 反饋控制器3

在混沌系統(tǒng)的第三個(gè)狀態(tài)方程添加反饋控制器,進(jìn)行系統(tǒng)的平衡控制。帶有控制輸入的受控混沌系統(tǒng),表示為:

其中,u3為反饋控制器。反饋控制器u3設(shè)計(jì)為:

其中,k3為常數(shù),且k3＞0。將該控制器帶入到狀態(tài)方程中,在平衡點(diǎn)的雅克比矩陣為:

參數(shù)k3設(shè)定為k3=3.3時(shí),矩陣A3的特征值分別為λ1=- 0.324,λ2,3=- 0.338 ± 1.894i。由于矩陣A3特征值的實(shí)部均小于零,因此混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量均漸進(jìn)收斂到零,該反饋控制器能夠進(jìn)行混沌系統(tǒng)的平衡控制。

采用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行系統(tǒng)仿真后,混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線,如圖7所示,反饋控制器u3的響應(yīng)曲線,如圖8所示。仿真結(jié)果表明,該反饋控制器能夠進(jìn)行混沌系統(tǒng)的平衡控制。

5 結(jié)論

圖7 反饋控制器u3作用下狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線Fig.7 The response curve of the state variable under the action of the feedback controller u3

圖8 反饋控制器u3的響應(yīng)曲線Fig.8 Response curve of feedback controller u3

對于一類三階混沌系統(tǒng),本文設(shè)計(jì)了三種反饋控制器進(jìn)行系統(tǒng)的平衡控制,對反饋控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。通過MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行數(shù)值仿真,采用變步長的ode45算法進(jìn)行常微分方程的數(shù)值求解。仿真結(jié)果表明,設(shè)計(jì)的反饋控制器能夠進(jìn)行混沌系統(tǒng)的平衡控制。設(shè)計(jì)的反饋控制器比較簡單,容易實(shí)現(xiàn)。該仿真實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生對混沌控制的理論理解和實(shí)際應(yīng)用。