顏秋容

(華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430074)

0 引言

功率因數(shù)PF(Power Factor)調(diào)整是電氣專業(yè)“電路理論”課程的重要教學(xué)內(nèi)容［1-4］。功率因數(shù)調(diào)整即通過在負(fù)載端并聯(lián)電容來調(diào)整感性負(fù)載的功率因數(shù)，亦稱無功補(bǔ)償。教學(xué)中，計(jì)算此類問題可以采用無功功率平衡、電流補(bǔ)償和導(dǎo)納補(bǔ)償三種思路，但這些思路均在忽略線路阻抗的前提下進(jìn)行計(jì)算?！峨娐防碚摗方滩闹幸话悴粡?qiáng)調(diào)線路阻抗的影響，從而讓學(xué)生形成了通過在負(fù)載端并聯(lián)電容總是可以將線路始端功率因數(shù)調(diào)整到任意要求值(包括PF=1)的深刻印象。

本文研究表明，考慮線路阻抗時(shí)，在線路末端負(fù)載上補(bǔ)償電容，并非總能使始端功率因數(shù)調(diào)整到任意要求值。只有當(dāng)負(fù)載阻抗Z=R+jX和線路阻抗Zl=Rl+jXl滿足一定的條件時(shí)，始端功率因數(shù)才能任意調(diào)整，否則，在始端能夠獲得的最高功率因數(shù)小于1。本文的研究，指出了線路阻抗對(duì)提高始端功率因數(shù)的限制作用，同時(shí)，也想強(qiáng)調(diào)“電路理論”教學(xué)應(yīng)該適當(dāng)與工程實(shí)際相結(jié)合，這樣有利于學(xué)生更為合理地應(yīng)用理論去解決工程問題。

1 并聯(lián)電容調(diào)整負(fù)載功率因數(shù)

在圖1所示電路模型中，該線路阻抗為Zl=Rl+jXl，任意感性負(fù)載阻抗Z=R+jX，并聯(lián)電容導(dǎo)納為YC=jωC=jBC，Zm1和Zin2分別表示不包含和包含線路阻抗的等效阻抗。

圖1 并聯(lián)電容調(diào)整功率因數(shù)

通過選擇BC的值，總可以將Zin1對(duì)應(yīng)的功率因數(shù)調(diào)整到期望值。因?yàn)?/p>

要使負(fù)載側(cè)功率因數(shù)cosφ1可以在0～1之間任意變化，且為感性，只要X－BC|Z|2≥0，即要求

顯然，對(duì)于任何負(fù)載阻抗Z，總可以選擇滿足BC≤X|Z|－2的電容。當(dāng)BC=X|Z|－2時(shí)，cosφ1=1。

2 并聯(lián)電容調(diào)整線路始端功率因數(shù)

考慮負(fù)載通過一定的線路接到電源，線路存在阻抗，通過選擇的值，圖1中的功率因數(shù)是否能在感性范圍內(nèi)任意調(diào)節(jié)且最大值為1呢?

2.1 線路始端的功率因數(shù)

線路始端阻抗為

化簡(jiǎn)后可得到

式中，函數(shù)g(BC)和f(BC)分別為

因此功率因數(shù)為

2.2 線路始端功率因數(shù)任意調(diào)整的條件

由式(3)可知g(BC)＞0，要使 cosφ2在感性范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，則要f(BC)≥0，當(dāng)f(BC)=0，cosφ2=1，f(BC)可以改寫為關(guān)于BC的二項(xiàng)式，即

由式(4)可知，上式中

式中，a，b和c均為非負(fù)數(shù)，且a＞0，所以f(BC)曲線如圖2所示。

圖2 f(BC)曲線的兩種情況

若f(BC)曲線與橫軸BC沒有交點(diǎn)，如圖2(a)所示，即f(BC)=0無解，表明cosφ2只能小于1。因此僅當(dāng)f(BC)=0有正實(shí)數(shù)解時(shí)，才能通過選擇BC獲得cosφ2=1，即功率因數(shù)能在感性范圍內(nèi)任意調(diào)整，如圖2(b)所示。

下面推導(dǎo)f(BC)=0有正實(shí)數(shù)解的條件。這里給出的f(BC)=0通解為

有實(shí)數(shù)解的條件為b2－4ac≥0。a，b和c均為非負(fù)數(shù)，顯然b2－4ac≥0 成立時(shí)，必有BC1，2≥0，等號(hào)在c=Xl+X=0時(shí)成立。對(duì)應(yīng)于Xl=X=0，此時(shí)不需要調(diào)整功率因數(shù)，表明功率因數(shù)需要調(diào)整的問題必有c＞0。只要f(BC)=0有實(shí)數(shù)解，則解一定為非零正實(shí)數(shù)。將a，b和c的表達(dá)式代入b2－4ac≥0中得到

上述分析表明：只有負(fù)載阻抗Z=R+jX和線路阻抗Zl=Rl+jXl滿足式(9)時(shí)，才可以通過在負(fù)載上并聯(lián)電容，使線路始端功率因數(shù)在小于等于1的范圍內(nèi)任意調(diào)整。在式(9)成立的條件下，假定BC1＞BC2，則當(dāng)BC1=BC2時(shí)，cosφ2=1;BC1＜BC2時(shí)，cosφ2＜1(感性)。

2.3 線路始端功率因數(shù)的調(diào)整范圍

不滿足式(9)條件的問題，通過在負(fù)載上并聯(lián)電容，線路始端存在一個(gè)小于1的極限功率因數(shù)cosφ2m＜1。由式(5)可知現(xiàn)在假設(shè)極限功率因數(shù)cosφ2m出現(xiàn)在BCm處，對(duì)應(yīng)于h(BCm)=|f(BCm)/g(BCm)|的極小點(diǎn)。該點(diǎn)滿足h'(BCm)=|f'g－g'f/g2|=0，即f'g－g'f=0。由式(3)和式(4)得

將f'g－g'f=0化簡(jiǎn)為Rl|Z|4BCm2+2(XlRRlX)|Z|2BCm+(2RlX2－Rl|Z|2－R|Z|2－2RXlX)=0，其解為

由于無論Rl和Xl取何值，必有BCm＞0。故上式取正號(hào)：

始端功率因數(shù)極大值為

3 舉例分析

假定負(fù)載阻抗Z=(1.45+j1.45)Ω，分析線路阻抗ZL取不同值時(shí)的補(bǔ)償情況。

令Zl=Rl(1+jk)Ω，k=Xl/Rl，改變Rl、k的值，分析Zl對(duì)線路始端功率因cosφ2的影響，得到圖3所示曲線。

圖3(a)中，Rl=0.1Ω，k=1、3、6，計(jì)算得到|Z|2=4.205，2XlR=0.29、0.87、1.74，三種情況均滿足式(9)，因此cosφ2最大值均為1。

圖3(b)中，Rl=1Ω，k=1、3、6，計(jì)算得到|Z|2，=4.205，2XlR=2.9、8.7、17.4 。后二種情況不滿足式(9)，對(duì)應(yīng)的cosφ2最大值小于1。

結(jié)果表明，線路電阻增大及線路電抗和電阻比值增大，通過線路末端并聯(lián)電容調(diào)整始端功率因數(shù)的范圍變小。對(duì)于不滿足式(9)的情況，Rl一定時(shí)，k=Xl/Rl越大，始端獲得的最大功率因數(shù)越低。

圖3 不同Rl，k下的功率因數(shù)變化曲線

4 結(jié)語

本文推導(dǎo)出通過末端并聯(lián)電容任意調(diào)整始端功率因數(shù)的限制條件，即|Z|2≥2XlR時(shí)，始端功率因數(shù)可以任意調(diào)整;對(duì)于不滿足始端功率因數(shù)任意調(diào)整限制條件的問題，推導(dǎo)出始端所能獲得的最大功率因數(shù)表達(dá)式，并通過實(shí)例進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，線路電阻增大以及線路電抗和電阻比值增大，通過末端并聯(lián)電容調(diào)整始端功率因數(shù)的范圍變小。對(duì)于不滿足始端功率因數(shù)任意調(diào)整限制條件時(shí)，Rl一定，k=Xl/Rl越大，始端獲得的最大功率因數(shù)越低。

［1］邱關(guān)源，羅先覺主編.電路(第四版)［M］.北京：高等教育出版社，1999年6月

［2］顏秋容，譚丹主編.電路理論［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2009年11月

［3］于歆杰，朱桂萍，陸文娟.電路原理［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2007年3月

［4］Charles K.Alexander，Matthew N.O.Sadiku.Fundamentals of Electric Circuits［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2000