張廣華，于洲春

(國網(wǎng)技術(shù)學(xué)院電氣工程系，山東濟(jì)南250002)

斐波那契(Fibonacci)數(shù)列是數(shù)學(xué)史上一個著名的數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”。1228年，文獻(xiàn)［1] 提出了一個著名而有趣的關(guān)于兔子數(shù)量的問題，得到如下一串?dāng)?shù):1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……，這串?dāng)?shù)里隱含著一個規(guī)律:從第3個數(shù)起，后面的每個數(shù)都是它前面那兩個數(shù)的和。

我們用數(shù)列{Fn}表示這串?dāng)?shù)，它便是斐波那契數(shù)列，具有非常簡單的遞推關(guān)系:

該數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，如果沒有其它方面的應(yīng)用，它就不會有強(qiáng)大的生命力。事實(shí)是，斐波那契數(shù)列確實(shí)在許多問題中出現(xiàn)，例如植物的生長、種子的排列和花瓣的數(shù)目等。而且，在數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列也都有許多應(yīng)用?？梢哉f，斐波那契數(shù)列以他的兔子數(shù)列問題揭示了大自然某些規(guī)律。

斐波納契數(shù)列有許多奇特的的性質(zhì)，本文先列舉兩條與本文有關(guān)的內(nèi)容。然后，介紹斐波那契數(shù)列在電路分析中的應(yīng)用。

1 斐波納契數(shù)列的特性

1.1 與黃金分割率的關(guān)系

因此斐波納契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列。斐波那契數(shù)列使我們對黃金分割的認(rèn)識從靜態(tài)走向動態(tài)。這里用Φ表示黃金分割率。

斐波那契數(shù)列{Fn}中每相鄰兩項(xiàng)的比值也構(gòu)成一新的數(shù)列，我們用{Un}表示:

可以驗(yàn)證:數(shù)列{Un}中相鄰兩項(xiàng)分布于Φ的兩側(cè)，且奇數(shù)項(xiàng)大于Φ，偶數(shù)項(xiàng)小于Φ，但數(shù)列{Un}的極限為Φ。

由{Un}奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為

數(shù)列{On}是一單調(diào)遞減數(shù)列，但各項(xiàng)均大于Φ，其極限為Φ，即數(shù)列{On}從大于Φ的方向趨近于Φ。

而由{Un}偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為

數(shù)列{En}是一單調(diào)遞增數(shù)列，各項(xiàng)均小于Φ，其極限也為Φ，即數(shù)列{En}從小于Φ的方向趨近于Φ。

這樣我們可以得到斐波那契數(shù)列{Fn}的三個派生數(shù)列:{Un}，{On}，{En}。

1.2 與矩陣的關(guān)系

易用數(shù)學(xué)歸納法證明(補(bǔ)充定義:F0=0)

兩邊取行列式，可得斐波那契數(shù)列的鄰項(xiàng)公式

即斐波那契數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的平方比前后項(xiàng)的乘積大1，偶數(shù)項(xiàng)的平方比前后項(xiàng)的乘積小1。若僅考慮偶數(shù)項(xiàng)的情況，有

兩邊取行列式，同樣可得式(4)。其實(shí)式(5)就是式(2)僅考慮偶數(shù)的情況。

這里我們得到斐波那契數(shù)列{Fn}的兩個特性矩陣，二者分別對應(yīng)式(2)和式(5)。

2 多級梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

2.1 多級梯形網(wǎng)絡(luò)的入端電阻

圖1(a)所示電路可稱為Γ型電路。圖1(b)、(c)和(d)電路可看做由2節(jié)、3節(jié)及n節(jié)Γ型電路構(gòu)成。我們稱圖1(d)所示電路為鏈型電路或梯形網(wǎng)絡(luò)。

圖1 多級梯形網(wǎng)絡(luò)(多節(jié)Γ型電路)

若各電阻均為1Ω，下面我們來計(jì)算此類電路從始端看進(jìn)去的等效電阻(又稱為入端電阻)［4]。

我們很容易計(jì)算圖1(a)、(b)和(c)所示1、2和3節(jié)Γ型電路的入端電阻:

我們對比斐波那契數(shù)列{Fn}，發(fā)現(xiàn):R1=F1/F2(Ω)，R2=F3/F4(Ω)，R3=F5/F6(Ω)，可推知

我們用歸納法證明上述推斷:k=1時(shí)，R1=F1/F2顯然成立。假設(shè)k=n－1時(shí)，表達(dá)式也成立，即Rn－1=F2(n－1)－1/F2(n－1)=F2n－3/2n－1。則須證明k=n時(shí)的表達(dá)式也應(yīng)成立?，F(xiàn)證明如下。

圖1(d)所示n節(jié)Γ型電路，可重畫如圖2。

圖2 n節(jié)Γ型電路的入端電阻

我們注意斐波那契數(shù)列{Fn}的遞推特性:Fn=Fn－2+Fn－1，根據(jù)圖2右側(cè)的電阻并聯(lián)關(guān)系得到

由上式推斷可得結(jié)論:圖1所示梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Rn(n=1，2，3…)構(gòu)成的數(shù)列{Rn}就是斐波那契數(shù)列{Fn}的派生數(shù)列{On}。

則無限多級梯形網(wǎng)絡(luò)電路的入端電阻為

2.2 電路的一般分析方法

如圖3所示的無限多級梯形網(wǎng)絡(luò)，若入端電阻存在，不妨設(shè)為R，而去掉前面第一節(jié)后，其入端電阻不變，仍為R。

圖3 無限多級梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻的求解

因此有R=［1/1+1/(1+R)]－1，可解得R=－1)/2(Ω)。

對比上述兩種解法:應(yīng)用斐波那契數(shù)列的性質(zhì)和極限的思想分析此類電路，突出了動態(tài)的漸進(jìn)過程，對理解結(jié)果和結(jié)論很有幫助。常規(guī)分析方法雖然看起來簡潔清晰，但結(jié)果的得出略顯晦澀，不便于我們理解和分析結(jié)論。

通過對比兩種算法，我們也實(shí)現(xiàn)了從電路角度驗(yàn)證斐波那契數(shù)列{Fn}的重要特性:即斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)系，即式(1)。

3 多級梯形網(wǎng)絡(luò)分析

3.1 二端口網(wǎng)絡(luò)的傳輸參數(shù)方程

圖4所示為無源二端口網(wǎng)絡(luò)，其傳輸參數(shù)方程為［5]

我們將其改寫成矩陣形式:

其中傳輸參數(shù)矩陣:

重畫圖1(a)所示電路，如圖5所示。其傳輸參數(shù)方程為

寫成矩陣形式:

即圖1(a)所示一節(jié)Γ型電路傳輸參數(shù)矩陣為

對比式(5)，矩陣T即為斐波那契數(shù)列{Fn}的特性矩陣。

圖4 二端口網(wǎng)絡(luò)

圖5 二端口網(wǎng)絡(luò)T參數(shù)計(jì)算

而圖1(b)和圖1(c)所示由2節(jié)和3節(jié)Γ型電路組成的級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。由電路理論分析可得，傳輸參數(shù)矩陣分別為

對比斐波那契數(shù)列{Fn}，我們發(fā)現(xiàn)

則對于圖1(d)，由n節(jié)Γ型電路組成的級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，其傳輸參數(shù)矩陣為

式中，T的下標(biāo)1、2、3…n，表示1節(jié)、2節(jié)、3節(jié)…n節(jié)Γ型電路。

對比式(5)，斐波那契數(shù)列{Fn}的特性矩陣式(10)就有了其電路含義。此矩陣為圖1(a)所示一節(jié)Γ型電路的傳輸參數(shù)矩陣T，而Tn即為圖1(d)所示n節(jié)Γ型電路級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳輸參數(shù)矩陣。而斐波那契數(shù)列{Fn}與矩陣的關(guān)系(式5)，這樣一個純數(shù)學(xué)的公式也就具有了電路意義，我們可以從電路角度驗(yàn)證和解釋這個公式。

圖1所示電路為互易電路，根據(jù)電路理論，其傳輸參數(shù)滿足:AD－BC=1［5]，而斐波那契數(shù)列恰好具有F2n－1F2n+1－=1如式(4)所示。

3.2 多級梯形網(wǎng)絡(luò)的入端電阻

二端口網(wǎng)絡(luò)輸出接任意負(fù)載RL，如圖6所示，其入端電阻為

圖6 二端口網(wǎng)絡(luò)的入端電阻

特殊地情況下，若輸出端開路，入端電阻:Rin(oc)=A/C;若輸出端短路，入端電阻:Rin(sc)=B/D。

對于圖1(d)所示n節(jié)Γ型電路，可以得到如下結(jié)果:

(1)輸出端開路，入端電阻:Rin(oc)·n=A/C=F 2n－1/F2n，即:

Rin(oc)1=F1/F2=1(Ω)，Rin(oc)2=F3/F4=2/3(Ω)，Rin(oc)3=F5/F6=5/8(Ω)，…

可見:數(shù)列{Rin(oc)n}就是斐波那契數(shù)列{Fn}的派生數(shù)列{On}，這也與前面的結(jié)論一致。

(2)輸出端短路，入端電阻:Rin(sc)n=B/D=F2n/F2n+1，即:

數(shù)列{Rin(sc)·n}就是斐波那契數(shù)列{Fn}的派生數(shù)列{En}，其極限也為Φ。

3.3 結(jié)論

圖1所示n節(jié)Γ型電路(n=1，2，3…)，輸出開路時(shí)，入端電阻構(gòu)成的數(shù)列即為斐波那契數(shù)列{Fn}的派生數(shù)列{On};輸出短路時(shí)，入端電阻構(gòu)成的數(shù)列即為斐波那契數(shù)列{Fn}的派生數(shù)列{En}，這樣斐波那契數(shù)列{Fn}的派生數(shù)列{On}和{En}便都具有了電路意義。

{On}和{En}的極限都為Φ，也即圖3所示無限多級梯形網(wǎng)絡(luò)(n=∞)，無論輸出開路或是短路，其入端電阻是一樣的，都等于Φ，這是很令人驚奇的。其實(shí)，更進(jìn)一步分析，無論輸出接任何負(fù)載，入端電阻也不變，等于Φ。下面給出證明:

圖1(d)所示n級梯形網(wǎng)絡(luò)，接任意負(fù)載RL時(shí)的入端電阻為:

取極限，則得到無限多級梯形網(wǎng)絡(luò)接任意負(fù)載RL時(shí)的入端電阻為

4 結(jié)語

本文給出了斐波那契數(shù)列與特定矩陣T的關(guān)系，研究了斐波那契數(shù)列的兩個派生數(shù)列{On}和{En}，進(jìn)而從電路角度分析驗(yàn)證斐波那契數(shù)列的相關(guān)特性，并應(yīng)用斐波那契數(shù)列的性質(zhì)和極限思想完成特定電路分析和計(jì)算。

［1] 萊昂納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)·算盤書［M] (Liber Abaci)，1228

［2] 吳振奎·斐波那契數(shù)列欣賞［M] ·哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012

［3] 康士凱·斐波那契數(shù)列［M] ·上海:上海科技教育出版社，1992.05

［4] 鄭金·斐波那契電路［J] ·北京:數(shù)理天地(高中版)，2009.9

［5] 江輯光·電路原理［M] ·北京:清華大學(xué)出版社，1996