鄭仲橋，張燕紅

（1. 常州工學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，常州 213002；2. 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072）

0 引言

由于主動磁懸浮軸承能夠?qū)崿F(xiàn)非接觸支承，具有無機械磨損、無需潤滑、工作溫度范圍大、工作極限轉(zhuǎn)速高等優(yōu)點，在國內(nèi)外得到了迅速的發(fā)展，已經(jīng)在軍工、航天等國防工業(yè)部門中逐步應(yīng)用，并向民用工業(yè)，如航空、機床、化工、能源等工業(yè)領(lǐng)域推廣[1,2]。但是在主動磁懸浮控制系統(tǒng)中，由于電磁鐵磁性材料的非線性及外界干擾信號的影響，使得主動磁懸浮控制系統(tǒng)是一個典型的非線性、參數(shù)不確定的控制系統(tǒng)，以往使用的常規(guī)PID控制算法很難使系統(tǒng)獲得較好的響應(yīng)特性，而且參數(shù)的調(diào)整也比較困難，很難滿足控制系統(tǒng)的高穩(wěn)定性和強抗擾性的要求。而在整個主動磁懸浮控制統(tǒng)中，磁懸浮軸承的動態(tài)特性及轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)精度和設(shè)計的控制器的好壞有直接的關(guān)系，因此，主動磁懸浮系統(tǒng)中的控制器的設(shè)計成了一個研究的熱點問題。本文根據(jù)磁懸浮系統(tǒng)的非線性、參數(shù)不確定的特點，結(jié)合模糊控制和PID控制的特點，設(shè)計了模糊自適應(yīng)PID控制器，來改善主動磁懸浮控制系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)態(tài)特性。

1 主動磁懸浮控制系統(tǒng)模型

單自由度主動磁懸浮支承系統(tǒng)的原理圖如圖1所示，其結(jié)構(gòu)采用差動的連接方式，單自由度主動磁懸浮控制系統(tǒng)由位移傳感器、轉(zhuǎn)子（懸浮體）、控制器、功率放大器和電磁鐵五部分組成。轉(zhuǎn)子的平衡位置為x0，當轉(zhuǎn)子的實際位置發(fā)生偏移量x時，位移傳感器檢測到這一偏移信號并轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的電信號Ux，Ux與轉(zhuǎn)子平衡時的期望電壓Ur進行比較，得到偏差信號Ue，進入控制器進行相應(yīng)的運算，得到控制信號Uc，經(jīng)過功率放大器輸出控制電流信號，從而調(diào)節(jié)了電磁線圈中的電流的大小，改變了電磁鐵產(chǎn)生的電磁力的大小，最終使得轉(zhuǎn)子的位置減小偏移直至穩(wěn)定懸浮。

圖1 單自由度磁懸浮支承系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

在圖1中，Ur為轉(zhuǎn)子處于平衡位置時對應(yīng)的輸入電壓值，Ux為轉(zhuǎn)子實際位置所對應(yīng)的電壓值，Ue=Ur-Ux為偏差信號，Uc為模糊自適應(yīng)PID控制器的輸出信號，U0為上下兩個電磁線圈的偏磁電流所需的電壓值，I0為偏磁電流分量。

當質(zhì)量為m的轉(zhuǎn)軸在兩個磁鐵之間處于平衡時，假設(shè)忽略繞組漏磁、鐵芯和轉(zhuǎn)子中的磁阻及磁性材料的磁滯和渦流，那么上下兩電磁鐵產(chǎn)生的電磁力在轉(zhuǎn)軸上的合力為零。當轉(zhuǎn)軸偏離平衡位置時，偏離位移量為x，為了使轉(zhuǎn)軸能回到原來的平衡位置，必須加一個控制電流i，使電磁鐵I的磁力增加，電磁鐵II的磁力減小。兩個電磁鐵產(chǎn)生的電磁力分別為：

式(1)中：μ0為氣隙磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7H/m，S0為磁極氣隙的截面積(m2)，N為電磁鐵線圈的匝數(shù)，I0為電磁線圈的偏置電流(A)，x0是轉(zhuǎn)子平衡時電磁鐵與轉(zhuǎn)子軸中心線之間的距離；x為轉(zhuǎn)子偏離中心位置在該自由度上的位移(m)，i為控制電流分量。F1和F2分別為兩個電磁鐵產(chǎn)生的電磁力。

作用在轉(zhuǎn)子上的合力為：

所以可以得到：

在轉(zhuǎn)子平衡位置(即x=0， 0I= )，將式(1)展開成泰勒級數(shù)，并略去高階小量，得：

對式(4)進行拉式變換，可以得到：

得到主動磁懸浮系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：

從式(6)可以看出，系統(tǒng)有兩個極點，其中一個極點位于S平面的右半平面，造成開環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2 模糊自適應(yīng)PID控制器

2.1 模糊自適應(yīng)PID控制器的組成

主動磁懸浮系統(tǒng)模糊控制器的設(shè)計如圖2所示。

圖2 主動磁懸浮模糊PID控制器

在圖2中，R為給定轉(zhuǎn)子平衡位置，Y為轉(zhuǎn)子的實際位置，e為轉(zhuǎn)子的位移偏差信號，de/dt為轉(zhuǎn)子位置偏差的變化率，u為模糊自適應(yīng)PID控制器的輸出信號，即加在電磁鐵線圈上的電壓信號。當主動磁懸浮系統(tǒng)受到擾動影響時，使得轉(zhuǎn)子偏離平衡位置，下降x時，即轉(zhuǎn)子與電磁鐵上線圈的距離偏大，位移傳感器檢測到轉(zhuǎn)子此時的實際位置并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的電壓信號，與轉(zhuǎn)子平衡位置所對應(yīng)的電壓信號相比較，得到偏差信號e和偏差的變化率信號ec，這兩個信號進入模糊控制器中，經(jīng)過模糊化、模糊規(guī)則推理、模糊決策和解模糊化，在線整定PID控制器的三個參數(shù)Kp，Ki和Kd，使其達到最優(yōu)化，經(jīng)過PID控制器計算，得到控制信號增大，從而使得上線圈中的電流增大，下線圈中的電流減少，使得上線圈的電磁力F1增加，從而調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子慢慢向上移動，直至轉(zhuǎn)子回到平衡位置，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

普通的增量式PID控制算法為：

其中e(k)=r(k)-y(k)，Kp、Ki和Kd為PID控制器的比例、積分和微分系數(shù)，模糊控制就是通過模糊推理在線整定Kp、Ki和Kd，送入PID控制器中進行計算得到控制信號u，從而調(diào)整線圈中的電流信號來實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的位置的調(diào)節(jié)。

2.2 模糊化和隸屬度函數(shù)

從圖2可以看出，模糊推理機構(gòu)的輸入信號為誤差信號e和誤差變化率ec，PID控制器的三個系數(shù)Kp、Ki和Kd為輸出信號[3]。在轉(zhuǎn)子偏離平衡位置較大時，實行大的控制量，粗調(diào)控制量，來增度系數(shù)；被稱為主動磁懸浮系統(tǒng)的電流剛加系統(tǒng)調(diào)整的快速性；在轉(zhuǎn)子偏離平衡位置較近時，實行細調(diào)控制量，來獲得較好的穩(wěn)態(tài)精度。因此選取輸入輸出變量e、ec的論域為{-3,-1.5,-0.5, 0, 0.5,1.5,3}，Kp的論域為{-0.3,-0.2,-0.1, 0,0.1,0.2,0.3}，Ki的論域為{-0.06,-0.04,-0.02, 0,0.02,0.04,0.06}，Kd的論域為{-3,-2,-1, 0,1,2,3}，對應(yīng)的語言變量值分別定義為NB (負大)、NM (負中)、NS(負小)、ZO(零)、PS(正小)、PM (正中)、PB(正大)。e、ec、Kp、Ki和Kd的隸屬度函數(shù)均采用三角波函數(shù)[4]，如圖3～圖6所示。

圖3 輸入量e和ec的隸屬度函數(shù)

圖5 Ki的隸屬度函數(shù)

圖6 Kd的隸屬度函數(shù)

2.3 模糊推理

在主動磁懸浮模糊自適應(yīng)PID控制器中，模糊控制器輸出的三個參數(shù)Kp、Ki和Kd對系統(tǒng)的輸出影響較大，比例系數(shù)Kp能減小轉(zhuǎn)子與平衡位置的距離，加快轉(zhuǎn)子回復(fù)到平衡位置的速度，Kp越大，主動磁懸浮的轉(zhuǎn)子回復(fù)到平衡位置的速度越快，但是過大的Kp會使得磁懸浮系統(tǒng)變得不穩(wěn)定；積分系數(shù)Ki可以消除轉(zhuǎn)子實際位置與平衡位置之間的距離，Ki越大，轉(zhuǎn)子和平衡位置之間的誤差消除的就越快，但如果Ki過大,會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，使控制系統(tǒng)產(chǎn)生大的超調(diào)；Ki過小，使轉(zhuǎn)子很難精確地回復(fù)到平衡位置，影響系統(tǒng)的控制精度。微分系數(shù)Kd可以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，但是Kd過大，會延長轉(zhuǎn)子回復(fù)到平衡位置的時間，而且會降低系統(tǒng)的抗干擾性能。根據(jù)以上分析，同時考慮三個參數(shù)之間的相互影響，建立模糊推理語言規(guī)則。表1～表3分別為Kp、Ki和Kd的模糊控制規(guī)則。

表1 Kd的模糊規(guī)則表

表2 Ki的模糊規(guī)則表

表3 Kd的模糊規(guī)則表

模糊控制器的輸入輸出之間的關(guān)系如圖7所示。

2.4 解模糊化

采用工業(yè)控制中廣泛使用的去模糊化方法-加權(quán)平均法[5]，求得最終的△Kp、△Ki和△Kd，通過下面計算公式計算出Kp、Ki和Kd。

圖7 模糊控制器的輸入輸出之間的關(guān)系

3 主動磁懸浮系統(tǒng)仿真及分析

在主動磁懸浮控制系統(tǒng)中，涉及的參數(shù)為：m= 12kg，x0=0.5×10-3m，I0= 3.0A，μ0= 4π×10-7Vs/Am，s0= 340mm2，N = 190，把這些參數(shù)代入到方程(6)，可以得到主動磁懸浮控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

在MATLAB下進行編程仿真[6,7]，當系統(tǒng)不存在擾動信號時，系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍信號，系統(tǒng)的輸出如圖8所示，Kp、Ki和Kd的整定曲線如圖9～圖11所示。

模糊控制自適應(yīng)PID控制器中的三個參數(shù)為：Kp= 0.41，Ki= 0.001，Kd= 0.31，可以看出，Kp在初始階段，有大幅度的上升，用來加快系統(tǒng)的響應(yīng)，此時Ki明顯增大, 改善了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)慢慢趨于穩(wěn)定，相應(yīng)的Kd也明顯加大，用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，縮短調(diào)整時間。從輸出曲線上來看，系統(tǒng)的超調(diào)量為2%，調(diào)節(jié)時間ts=0.13s，系統(tǒng)在t=0.2s時，輸出能準確地跟蹤輸入信號，即經(jīng)過0.2s，轉(zhuǎn)子能準確回復(fù)到平衡位置。

圖8 不加擾動時的系統(tǒng)輸出

圖9 Kp的整定曲線

圖10 Ki的整定曲線

圖11 Kd的整定曲線

在t = 0.4s時，給系統(tǒng)加一幅值為0.5的擾動信號，系統(tǒng)的輸出如圖12所示。

從圖12可以看出，當系統(tǒng)受到擾動時，模糊控制器能迅速做出反應(yīng)，并在線調(diào)整PID控制器的三個參數(shù) Kp、Ki和Kd，使其達到最優(yōu)，系統(tǒng)經(jīng)過0.04s就可以抑制干擾信號的影響，使轉(zhuǎn)子快速的回復(fù)到平衡位置。主動磁懸浮控制系統(tǒng)的抗干擾能力明顯增強，系統(tǒng)具有較好的動靜態(tài)特性。

圖12 加入擾動后的系統(tǒng)輸出

4 結(jié)束語

以主動磁懸浮控制系統(tǒng)為控制對象，根據(jù)主動磁懸浮系統(tǒng)的非線性、參數(shù)不確定等特點，針對普遍應(yīng)用的PID控制器中參數(shù)難整定的問題，設(shè)計了模糊自適應(yīng)PID控制器，并進行實時控制及結(jié)果分析。首先，對主動磁懸浮控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及工作原理進行了介紹并建立了主動磁懸浮控制系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)的模型；然后設(shè)計了模糊自適應(yīng)PID控制器；最后，在模糊PID自適應(yīng)控制器的實時控制下，對主動磁懸浮控制系統(tǒng)進行仿真和分析，設(shè)計的模糊自適應(yīng)PID控制器能使得主動磁懸浮控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。

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