吳海燕，張陳陳

(深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 深圳 518060)

0 引言

分形幾何(Fractal Geometry)是由法國數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot開創(chuàng)出的一門新的數(shù)學(xué)分支［1-2］，維數(shù)是分形幾何理論中最重要基本概念之一。對(duì)于某一集合，一般而言，如果它的Hausdorff維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)，則該集合可稱為分形集合?？紤]n維歐氏空間的有界集A，如果集合A表示為自身的Nr個(gè)互不重疊的子集的并集時(shí)，則得出集合A具有自相似性。而此時(shí)，集合A的分形相似維數(shù)D可由關(guān)系式(1)表示［1-2］:

其中，r表示所有坐標(biāo)方向上的尺度因子，Nr表示有界集A的互不覆蓋的子集數(shù)目。然而，自然界的景物并不嚴(yán)格地滿足自相似性，它們僅呈現(xiàn)出某種統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，因此很難直接利用式(1)計(jì)算分維數(shù)。

文獻(xiàn)［3-8］提出了一些計(jì)算圖像分形維的方法。例如，Sarkar等［3］提出了一種差分盒計(jì)數(shù)法(DBC)，該方法給出了較寬的分形維動(dòng)態(tài)范圍和較高的計(jì)算效率，但缺點(diǎn)是對(duì)噪聲非常敏感;此后，Lee等［7］提出了一種魯棒的差分盒計(jì)數(shù)法(RDBC)，該方法對(duì)高斯噪聲具有很好的抗噪性，但不適用于椒鹽噪聲等其他噪聲情況。

本文提出一種基于中值絕對(duì)偏差(MAD)的差分盒計(jì)數(shù)法(MAD-DBC)，該方法針對(duì)椒鹽噪聲具有很好的魯棒性，能對(duì)椒鹽噪聲圖像進(jìn)行可靠的分形維估計(jì)。

1 傳統(tǒng)(魯棒)差分盒計(jì)數(shù)法

差分盒計(jì)數(shù)法(DBC)的基本思想是通過計(jì)算覆蓋圖像灰階表面所需的盒子數(shù)來確定分形維。對(duì)于面積為M×M的圖像，若它被劃分成大小為s×s的網(wǎng)格，其中s是介于1到M/2之間的整數(shù)，則r=s/M。若把灰度圖像的像素看成三維空間的一個(gè)坐標(biāo)(x，y，z)，其中(x，y)為二維圖像的像素點(diǎn)的坐標(biāo)，z為圖像灰度值。則認(rèn)為在每一個(gè)網(wǎng)格上都堆疊了一系列體積為s×s×h的小盒子，其中盒子高h(yuǎn)可通過圖像的總灰度級(jí)G來計(jì)算:［G/h］=［M/s］，通常G表示圖像的最大灰度級(jí)與最小灰度級(jí)之差，［x］代表小于x的最大整數(shù)。若在圖像的第(i，j)個(gè)網(wǎng)格內(nèi)灰度最小值和灰度最大值相對(duì)應(yīng)的分別落在第l個(gè)和第u個(gè)小盒子內(nèi)，則覆蓋第(i，j)區(qū)域所需盒子數(shù)目nr(i，j)為:

統(tǒng)計(jì)圖像的盒子總數(shù)Nr為:

對(duì)不同的尺度r，得到相應(yīng)盒子數(shù)Nr的值。由式(1)的定義，采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)～log(1/r)的斜率，即可得到對(duì)應(yīng)圖像的分維值D。

在DBC基礎(chǔ)上，基于標(biāo)準(zhǔn)差的魯棒差分盒維數(shù)法(RDBC)采用網(wǎng)格中像素的灰階標(biāo)準(zhǔn)差替代最大與最小灰階之差，來計(jì)算此網(wǎng)格中圖像灰階表面所占的盒子個(gè)數(shù)。具體地，若給定尺度縮放的比例為r，設(shè)圖像第(i，j)個(gè)網(wǎng)格中像素的灰階標(biāo)準(zhǔn)差為σr(i，j)，則由下式計(jì)算盒子數(shù)nr(i，j):

然后利用式(3)計(jì)算相應(yīng)的總盒子數(shù)Nr，同DBC一樣利用式(1)的定義，采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)～log(1/r)的斜率，所得斜率即為估計(jì)的圖像分形維D。

基于標(biāo)準(zhǔn)差的魯棒差分盒維數(shù)法證明對(duì)高斯噪聲的敏感性較小，從而使得RDBC對(duì)高斯噪聲具有較好的抗噪性。然而對(duì)于諸如椒鹽噪聲，這種噪聲對(duì)灰階標(biāo)準(zhǔn)差的影響較大，從而將導(dǎo)致利用RDBC對(duì)加有椒鹽噪聲的圖像效果變差。

2 改進(jìn)的MAD魯棒性差分盒計(jì)數(shù)法

在DBC和RDBC算法中，在計(jì)算圖像第(i，j)個(gè)網(wǎng)格中的盒子個(gè)數(shù)nr時(shí)，采用的是此網(wǎng)格中最大與最小灰階之差或像素值標(biāo)準(zhǔn)差，但都易受到椒鹽噪聲的干擾。根據(jù)椒鹽噪聲的特點(diǎn)，它是將圖像的中灰度值變化到一個(gè)比較極端的值，因此會(huì)使得原有的最大最小像素值都變化，圖像加噪以后，在某些網(wǎng)格中最大的灰度值u比原來的最大灰度值更大，最小灰度級(jí)l比原來的最小灰度值更小，一般情況下，在網(wǎng)格尺度不變，即壓縮比例r不改變下，nr(i，j)=u-l+1的計(jì)算值偏大，從而使得Nr的估算值偏大。于是，當(dāng)log(1/r)不變時(shí)，log(Nr)增大，從而使得采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)～log(1/r)的斜率偏大，即分形維數(shù)通常將偏大。類似地，椒鹽噪聲往往使得像素值標(biāo)準(zhǔn)差變大，從而影響RDBC分形維數(shù)估計(jì)。

CMV感染是艾滋病患者最常見的皰疹病毒感染，可分為CMV血癥和器官受累的CMV病。CMV可侵犯患者多個(gè)器官系統(tǒng)，包括眼睛、肺、消化系統(tǒng)、中樞神經(jīng)系統(tǒng)等，其中CMV視網(wǎng)膜脈絡(luò)膜炎是艾滋病患者最常見的CMV感染。

由于中值偏差(MAD)具有對(duì)椒鹽噪聲魯棒性特點(diǎn)，本文提出的改進(jìn)差分盒維數(shù)法將魯棒差分盒維數(shù)法中的網(wǎng)格中的灰階標(biāo)準(zhǔn)差σr(i，j)用灰階的中值絕對(duì)偏差(MAD)代替。通常，中值絕對(duì)偏差(MAD)用下列公式計(jì)算［14］:

其中，med(uij)表示計(jì)算第(i，j)個(gè)網(wǎng)格中圖像像素值的中值。若給定尺度縮放的比例為r，設(shè)圖像第(i，j)個(gè)網(wǎng)格中像素的灰階中值絕對(duì)偏差為ρr(i，j)，則由下式計(jì)算盒子數(shù)nr(i，j):

隨后，利用式(3)計(jì)算相應(yīng)的總盒子數(shù)目Nr。同DBC一樣利用式(1)的定義，采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)～log(1/r)的斜率，所得斜率即為估計(jì)的圖像分形維D。綜上討論，改進(jìn)算法如下:

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

3.1 分形維特征矢量

單一的分形維數(shù)并不能完全區(qū)分不同圖像紋理，而基于小波的多分辨率分析的分形特征矢量提取能克服單一分形維數(shù)的缺點(diǎn)。在不同的分辨率下對(duì)圖像求取分形維數(shù)，構(gòu)成特征矢量，即利用小波變換對(duì)圖像進(jìn)行頻域分解［8］，對(duì)分解后的各部分頻域圖像求取它們的分形維數(shù)，作為一類圖片的特征向量。

圖1 小波分解后特征提取

圖2 Brodatz紋理圖像

如圖1所示，設(shè)原始圖像的分形維為D3.0，第一級(jí)分解的 LL1，HL1，LH1和 HH1的分形維分別為D2.1，D2.2，D2.3，D2.4，第二級(jí)分解的 LL2，HL2，LH2，HH2的分形維分別為 D1.1，D1.2，D1.3，D1.4。于是，分形維特征向量為:(D3.0，D2.1，D2.2，D2.3，D2.4，D1.1，D1.2，D1.3，D1.4)

3.2 自然紋理圖像分類

從Brodatz紋理庫［12］中挑選了16種自然紋理圖像，如圖 2所示，(D3，D5，D7，D13，D18，D31，D24，D51，D56，D66，D72，D87，D94，D99，D102，D112)作為數(shù)據(jù)集。在每種紋理圖像中，分割選取30幅大小為256×256像素的樣本圖像，其中20幅用于分類器的訓(xùn)練，另10幅用于測試，組成320幅訓(xùn)練圖像和160幅測試圖像。

表1 噪聲強(qiáng)度

表2 Sarkar DBC法對(duì)不同噪聲強(qiáng)度圖像的分類識(shí)別率%

表3 Lee魯棒差分盒維數(shù)法對(duì)不同噪聲強(qiáng)度圖像的分類識(shí)別率%

表4 本文改進(jìn)差分盒維數(shù)法對(duì)不同噪聲強(qiáng)度圖像的分類識(shí)別率%

通過重復(fù)分類實(shí)驗(yàn)，對(duì)表2、表3分析可知，差分盒維法和魯棒差分盒維法，在椒鹽噪聲強(qiáng)度低時(shí)，受影響不大，但隨著噪聲參數(shù)的增大，分類正確率明顯下降。結(jié)合表4可知，利用本文改進(jìn)的方法計(jì)算的分形維數(shù)，分類正確率總體上比其他幾種方法都要高，特別是在較高噪聲情形下，仍能保持較高的識(shí)別率。上述結(jié)果顯示，對(duì)于椒鹽噪聲，新方法具有更好的噪聲魯棒性，可保持更高更穩(wěn)定的分類識(shí)別能力。

4 結(jié)束語

本文探討一種針對(duì)椒鹽噪聲的魯棒性分形維數(shù)計(jì)算方法，該方法利用MAD進(jìn)行差分盒計(jì)數(shù)，對(duì)椒鹽噪聲具有很好的魯棒性特點(diǎn)。利用多分辨率的DBC、RDBC和本文 MAD-DBC對(duì)椒鹽噪聲的16種Brodatz紋理圖像進(jìn)行分類，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的MAD-DBC對(duì)椒鹽噪聲情形具有更高的識(shí)別率和更好的噪聲魯棒性。

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