李瑞瑞

(解放軍信息工程大學(xué) 理學(xué)院，鄭州 450001)

0 引言

共振條件下分數(shù)階微分方程邊值問題得到了一些研究，如文獻[1]利用Mawhin迭合度理論研究分數(shù)階三點邊值共振問題解的存在性，該研究在ker L=1時進行。文獻[2]在ker L=2時研究了分數(shù)階多點邊值共振問題。文中研究共振問題:

其中:2 ＜α≤3，0 ＜ ξ≤1，δ:[0，1]→ ，f:[0，1]×R2→滿足Carathe⌒odory條件。Dα0+是Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)。通常文獻中定義投影算子時，需要限制一代數(shù)表達式不等于0，筆者去掉了這個條件。

1 預(yù)備知識

X，Y是實Banach空間，L:dom L?X→Y零指標的Fredholm算子，P:X→X，Q:Y→Y為投影算子，使得:Im P=ker L，ker Q=Im L，X=ker L⊕ker P，Y=Im L⊕Im Q，則LdomL∩kerP:dom L∩ker P→Im L是可逆的，記其逆映射為Kp，若Ω是X中有界開子集，且 dom L∩≠φ，如果QN()有界，Kp(I-Q)N:→X是緊的，則稱N:X→Y在是L緊的。

定理1 L是零指標的Fredholm算子，N在Ω是L緊的，假設(shè)下面的條件成立:

(1)Lx≠λNx，(x，λ)∈[(dom Lker L)∩?Ω]×(0，1);

(2)Nx?Im L，x∈ker L∩?Ω;

定義1[3]函數(shù) f(x)在 Riemann-Liouville意義下s階分數(shù)積分指

其中 s＞0，Γ(s)是 Gamma函數(shù)。

定義2[4]函數(shù) f(x)，x≥0 在 Riemann-Liouville意義下s階分數(shù)微分指

其中 n=[s]+1。

引理1[5]設(shè)u∈C(0，1)∩L(0，1)，且u∈C(0，1)∩L(0，1)，α ＞0 則

引理2[6]存在p ＞ 1，p∈+，使得e≠0。

引理3 L:dom L?X→Y零指標的Fredholm算子，定義線性投影算子Q:Y→Y為

其中:

線性算子Kp:Im L→dom L∩ker P為

由邊界條件(2)和條件(C):T1y=T2y=0，所以

對 Qy=Q1y+Q2y·tp-1，

同理可證:

所以對y∈Y，Q2y=Qy，即Q:Y→Y連續(xù)線性投影算子。

下證ker Q=Im L。顯然 Im L?ker Q，若 y∈ker Q，則 Q1y=Q2y=0，即:

所以 T1y=T2y=0，即 y∈Im L，故 ker Q?Im L。

對y∈Y，令 y=(y-Qy)+Qy，則 y-Qy∈ker Q=Im L，Qy∈Im Q，故 Y=Im L+Im Q;對 y∈Im L∩Im Q，用反證法易知:y=0，所以Y=Im L⊕Im Q。

定義P:X→X為

易證P是連續(xù)線性投影算子，X=ker L⊕ker P。

定義KP:Im L→dom L∩ker P為

下證KP為的逆映射。

引理4 Kp(I-Q)N全連續(xù)。

證明 類似文獻[1]。

2 主要結(jié)果

定理2

(1)若有函數(shù) ψ，g，h∈L1[0，1]，使得

(3)存在常數(shù) B＞0，使得一切 c1，c2∈ ，只要

證明 (1)令 Ω1={u∈dom Lker L Lu=λNu，λ∈(0，1)}，取 u∈Ω1，則 Nu∈Im L，故有

由定理2(2)存在 t0∈[0，1]，使得

因為

所以

則

所以

又

綜上:

故存在M1＞0，M2＞0，使得M2，故Ω1是有界的。

(3)定義J:ker L→Im Q為

所以

所以

λ=1時，c1=c2=0。

由上討論:

(1)Lu≠λNu，(u，λ)∈ [(dom Lker L)∩?Ω ]×(0，1)，

(2)Nu?Im L，u∈ker L∩?Ω。

只需證定理1中(3)成立。

作同倫方程

故 H(u，λ)≠0，u∈?Ω∩ker L。

由同倫不變性知:

則方程Lu=Nu在dom L∩Ω至少有一個解。即結(jié)論得證。

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