王麗梅，郭宜興

WANG Li-mei,GUO Yi-xing

（沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽 110870）

0 引言

數(shù)控機(jī)床正在向精密、高速和復(fù)合化的方向發(fā)展。輪廓精度和位置跟蹤能力已成為多軸進(jìn)給系統(tǒng)的兩個(gè)重要指標(biāo)[1]。傳統(tǒng)數(shù)控機(jī)床的直線運(yùn)動(dòng)是由電動(dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)通過機(jī)械設(shè)備轉(zhuǎn)化而來，然而由于機(jī)械設(shè)備在傳動(dòng)過程中不可避免的會(huì)產(chǎn)生摩擦和彈性形變等不利因素，因此，直線電機(jī)被應(yīng)用到數(shù)控機(jī)床中[2]。但是，由于直線電機(jī)是一個(gè)多變量和時(shí)變的非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的PID控制器已經(jīng)很難實(shí)現(xiàn)精確控制[3]。雖然自適應(yīng)控制、魯棒控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和滑?？刂频确椒梢垣@得較好的輸出效果，但是它們都要求有精確的模型對(duì)象，當(dāng)模型不準(zhǔn)確，或者參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，就無法實(shí)現(xiàn)精確的位置跟蹤[4～9]。而迭代學(xué)習(xí)控制器不僅不要求有精確的被控對(duì)象模型，而且在模型參數(shù)變化時(shí)，通過學(xué)習(xí)，仍然可以實(shí)現(xiàn)高精度位置跟蹤，文獻(xiàn)[10]實(shí)現(xiàn)了迭代學(xué)習(xí)控制直線電機(jī)的高精度位置跟蹤。文獻(xiàn)[11]在XY平臺(tái)各軸上實(shí)現(xiàn)了迭代學(xué)習(xí)控制的應(yīng)用，但是沒有考慮兩軸的不匹配問題。

針對(duì)系統(tǒng)存在的負(fù)載擾動(dòng)、XY軸動(dòng)態(tài)響應(yīng)不一致，本文采用基于實(shí)時(shí)輪廓誤差模型與迭代學(xué)習(xí)控制相結(jié)合的控制策略對(duì)XY平臺(tái)進(jìn)行輪廓和位置控制。為了提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，使系統(tǒng)具有魯棒性，單軸采用IP與ILC控制器相結(jié)合的方法?，F(xiàn)有的交叉耦合控制器和基于局部任務(wù)坐標(biāo)系的輪廓運(yùn)動(dòng)控制器等都利用各軸的位置誤差來估計(jì)輪廓誤差，這些方法成立的一個(gè)前提是位置誤差遠(yuǎn)小于期望輪廓的曲率半徑[12～14]，而在迭代學(xué)習(xí)初期，各軸位置誤差都比較大，用輪廓誤差來修正控制信號(hào)已經(jīng)沒有意義，因此，本文提出基于混合誤差的迭代學(xué)習(xí)控制，在迭代初期只用位置誤差修正控制信號(hào)，而當(dāng)位置誤差減小到一定程度后，再用輪廓誤差修正控制信號(hào)，最終使系統(tǒng)達(dá)到輪廓加工的高精度要求。

1 雙軸平臺(tái)的實(shí)時(shí)輪廓誤差模型

對(duì)于直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)XY平臺(tái)，由兩臺(tái)永磁直線同步電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)兩軸相互垂直的XY平臺(tái)。其機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，x(t)為動(dòng)子的位移，iq為動(dòng)子q軸電流，Kf為推力系數(shù)，F(xiàn)e為電磁推力，M為動(dòng)子及所帶負(fù)載的總質(zhì)量，B為粘滯摩擦系數(shù)，F(xiàn)為外部擾動(dòng)。

在連續(xù)軌跡控制系統(tǒng)中，XY雙軸平臺(tái)系統(tǒng)不僅對(duì)單個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)速度和精度控制有嚴(yán)格要求，而且在雙軸聯(lián)動(dòng)時(shí)，還要求各移動(dòng)軸有很好的動(dòng)態(tài)配合，因此，系統(tǒng)的單軸位置誤差與輪廓誤差對(duì)輪廓加工精度有較大的影響。而對(duì)于自由形態(tài)的跟蹤任務(wù)中，輪廓誤差模型的精度將直接影響輪廓加工的性能。綜上，建立實(shí)時(shí)輪廓誤差模型如圖1所示。

圖1 實(shí)時(shí)輪廓誤差

其中，R1為指令路徑，P1為實(shí)際路徑，R1(t)為指令位置點(diǎn)，P1(t)為實(shí)際位置點(diǎn)，而R2(t)是指令路徑上距離P1(t)最近的一個(gè)點(diǎn)，L為當(dāng)前跟蹤誤差Ep在點(diǎn)P1(t)處的切向投影，R2(t)點(diǎn)與R1(t)點(diǎn)的長(zhǎng)度約等于L，而輪廓誤差定義為實(shí)際位置與給定指令位置的最短距離，即為E'c，因此，自由形態(tài)軌跡跟蹤任務(wù)中的輪廓誤差可以利用P1(t)與R2(t)之間的距離來計(jì)算，即：

其中，Ex與Ey分別為系統(tǒng)跟蹤誤差Ep在XY軸的分量，j為通過R2(t)與R1(t)的直線與X軸的夾角為：

其中，R2x(t)和R2y(t)分別為R2(t)在XY軸上的分量，R1x(t)和R1y(t)分別為R1(t)在XY軸的分量，R2(t)可計(jì)算為：

式中，V1x(t)，V1y(t)分別為R1(t)點(diǎn)在XY軸的切向分量速度，V2x(t)，V2y(t)分別為R2(t)點(diǎn)在XY軸的切向分量速度，Vx(t)和Vy(t)分別為系統(tǒng)X軸和Y軸的進(jìn)給速度，計(jì)算為：

通常平臺(tái)系統(tǒng)的進(jìn)給速度并不是常值，所以，V2x(t)，V2y(t)的值不能準(zhǔn)確求出。那么假設(shè)R2(t)與P1(t)有相同的切向速度，那么上述方程可以重新給出：

綜上，將式(4)、式(5)、式(8)和式(9)帶入到式(3)中即為輪廓誤差的數(shù)學(xué)模型。

2 單軸控制器設(shè)計(jì)

2.1 位置跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)

圖2為XY平臺(tái)系統(tǒng)單軸位置跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制框圖。其中，Φ為迭代學(xué)習(xí)控制器學(xué)習(xí)增益，yr為y軸的期望位置，yj+1為系統(tǒng)進(jìn)行第j+1次迭代時(shí)的位置輸出，P為被控對(duì)象，uj和uj+1分別為第j次和第j+1迭代的控制信號(hào)。第j次的控制信號(hào)uj存到存儲(chǔ)器里，并在第j+1次迭代時(shí)，構(gòu)造出新的控制信號(hào)uj+1。系統(tǒng)的位置誤差被ILC控制器處理后，得到的新控制信號(hào)，下一次迭代時(shí)，再反饋給系統(tǒng)，通過不斷的學(xué)習(xí)，位置誤差得到不斷的減小。

圖2 位置跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制框圖

定義位置跟蹤迭代學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)律為：

其中，f(z)為學(xué)習(xí)增益，為了突出系統(tǒng)的快速響應(yīng)能力，本文采用PD型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律，φ(z)為：

這里kp、kd和Ts分別是比例增益、微分增益和采樣周期。

誤差ej+1定義為：

將跟蹤誤差和控制信號(hào)動(dòng)態(tài)方程改寫為：

由壓縮原理得出，系統(tǒng)收斂的條件為：

2.2 IP控制器設(shè)計(jì)

迭代學(xué)習(xí)控制器有一定的滯后性，因此，本文在XY平臺(tái)的單軸位置控制器采用帶速度前饋的IP控制器結(jié)構(gòu)來提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，增強(qiáng)系統(tǒng)的抗擾動(dòng)能力，保證閉環(huán)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。設(shè)計(jì)單軸控制器如圖3所示。

圖3 加入IP控制器的單軸控制器框圖

由圖3可知速度環(huán)的傳遞函數(shù)為：

由式(16)可知，增大ki可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，由式（17）可以看出，增大ki相當(dāng)于增強(qiáng)系統(tǒng)抗擾動(dòng)能力。為補(bǔ)償時(shí)間延時(shí)對(duì)XY平臺(tái)系統(tǒng)跟蹤精度的影響，加入速度前饋控制器降低系統(tǒng)的位置誤差，保證了系統(tǒng)響應(yīng)的快速特性。

未加入速度前饋時(shí)，單軸的傳遞函數(shù)為：

加入速度前饋后的傳遞函數(shù)為：

如式(18)和式(19)，加入速度前饋后,系統(tǒng)增加了一個(gè)零點(diǎn),從而增加了系統(tǒng)的頻寬，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

3 輪廓控制器設(shè)計(jì)

輪廓誤差迭代學(xué)習(xí)控制就是將迭代學(xué)習(xí)控制應(yīng)用到輪廓誤差模型中，使系統(tǒng)在前一次的迭代中學(xué)習(xí)糾正系統(tǒng)中存在的負(fù)載擾動(dòng)以及各軸響應(yīng)速度不一致等各種不確定性。圖4為輪廓誤差迭代學(xué)習(xí)控制器。其中，ux,j+1、uy,j+1、ux,j和uy,j分別為X、Y軸在第j+1次和第j次迭代時(shí)的控制信號(hào)；xj+1、yj+1分別為X、Y軸在第j次迭代時(shí)的位置輸出；Exc、Eyc分別為輪廓誤差在X軸和Y軸的分量，可以由式(3)、式(4)、式(5)、式(8)和式(9)得到。輪廓誤差的學(xué)習(xí)律為：

由式(21)可以看出，前一次迭代的控制信息和當(dāng)次迭代的輪廓誤差用來更新系統(tǒng)的控制信號(hào)，式中：

如圖4所示為直線電機(jī)XY平臺(tái)的系統(tǒng)框圖。

圖4 混合誤差迭代學(xué)習(xí)控制器框圖

圖中，k1、k2分別為混合誤差迭代系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換開關(guān)；因此，將輪廓-位置誤差迭代學(xué)習(xí)律改寫為如下形式：

式中wc、wt分別為開關(guān)k1、k2的轉(zhuǎn)換因子，其分別代表輪廓誤差轉(zhuǎn)換因子和位置誤差轉(zhuǎn)換因子，其值可選為0或1。當(dāng)轉(zhuǎn)換開關(guān)k1閉合，k2斷開，即wc=0，wt=1時(shí)，用各軸位置誤差更新控制信號(hào)；當(dāng)轉(zhuǎn)換開關(guān)k2閉合，k1斷開，即wc=0，wt=1時(shí)，則用輪廓誤差更新控制信號(hào)。本文用每次迭代的位置誤差來判斷用哪種誤差更新控制信號(hào)，當(dāng)位置誤差小于10μm時(shí)用輪廓誤差更新控制信號(hào)，反之用位置誤差更新控制信號(hào)。

4 仿真與分析

本文仿真采用日本Yokogawa LM110系列直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)XY平臺(tái)進(jìn)行仿真研究，其參數(shù)分別為M1= 4.4kg，M2= 1.4kg，Kf1= 10.9794N/A，Kf2=8.526N/A，B1=244.3192Ns/m，B2=82.0176Ns/m。指令路徑為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a=0.05，短軸長(zhǎng)為b=0.04的橢圓形，即兩軸輸入指令為xr(t)=0.05sinet ，yr(t)=0.04coset 。

前饋控制器系數(shù)kv1、kv2為1；X軸的IP控制器的積分、比例增益分別為125、20.523，迭代學(xué)習(xí)控制學(xué)習(xí)增益Kp、Kd分別為30.21、9.32；Y軸的IP控制器的積分、比例增益分別為100、39.354，迭代學(xué)習(xí)控制學(xué)習(xí)增益Kp、Kd分別為50.698、10.324。為了驗(yàn)證系統(tǒng)的抗干擾能力，在t=2.5s時(shí)突加50N的干擾力，采樣時(shí)間設(shè)為0.001s。通過Mat1ab7.10進(jìn)行仿真，得到仿真曲線如下。

圖5 橢圓指令軌跡與輸出軌跡

圖6 X、Y軸最大位置誤差

圖7 橢圓軌跡的輪廓誤差曲線

圖5為外部擾動(dòng)和系統(tǒng)不確定性均存在時(shí)，XY平臺(tái)的期望輸入與實(shí)際輸出軌跡曲線，可以看出，在本文提出的控制策略作用下，指令軌跡與實(shí)際軌跡基本重合。圖6為X、Y軸的在迭代軸上的位置誤差曲線，隨著迭代次數(shù)的增加，迭代學(xué)習(xí)控制器不斷修正控制信號(hào)，實(shí)際輸出位置不斷接近期望位置，在迭代到第九次的時(shí)候，位置誤差達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。圖7為外加擾動(dòng)作用，跟蹤各軸位置誤差和混合誤差情況下，XY平臺(tái)迭代15次后的輪廓誤差曲線，可以看出，無論在有無擾動(dòng)情況下，跟蹤混合誤差時(shí)的輪廓誤差均小于跟蹤位置誤差情況下的輪廓誤差，跟蹤混合誤差時(shí)，輪廓精度有明顯提高。

5 結(jié)論

本文采用適用多軸輪廓控制的輪廓誤差計(jì)算法則計(jì)算輪廓誤差，對(duì)XY平臺(tái)系統(tǒng)進(jìn)行控制。通過在單軸上結(jié)合IP控制器與跟蹤位置誤差迭代學(xué)習(xí)控制器有效地抑制了負(fù)載擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，保證了系統(tǒng)的魯棒性，速度前饋控制提高了響應(yīng)速度，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。輪廓控制采用基于實(shí)時(shí)輪廓誤差模型的混合誤差迭代學(xué)習(xí)控制器，削弱了由于雙軸速度不匹配對(duì)輪廓精度的影響。仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)有效地提高了XY平臺(tái)的輪廓加工精度。

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