孟智慧，王 昌

MENG Zhi-hui,WANG Chang

（內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，包頭 014010）

0 引言

滾動(dòng)軸承作為機(jī)械設(shè)備中最常用的零部件之一，其運(yùn)行狀態(tài)直接影響到整臺(tái)機(jī)器的性能。在工程實(shí)踐中，滾動(dòng)軸承的故障缺陷往往都不是單一的，常常同時(shí)發(fā)生幾種故障，形成復(fù)合故障。復(fù)合故障的特征分離和故障識(shí)別是故障診斷領(lǐng)域中一大難點(diǎn)，亦是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題[1]。

奇異值分解[2]（Singular value decomposition,SVD）主要用于信號(hào)降噪處理及周期成分的提取[3]，在機(jī)電設(shè)備振動(dòng)信號(hào)處理和故障診斷領(lǐng)域已有應(yīng)用[4]。對(duì)于一維信號(hào)進(jìn)行SVD處理時(shí)要首先將信號(hào)構(gòu)造為矩陣的形式[5]，一般包括對(duì)信號(hào)連續(xù)截?cái)喾绞綐?gòu)造的矩陣和重構(gòu)吸引子矩陣，為此趙學(xué)智對(duì)不同構(gòu)造形式矩陣的SVD分解進(jìn)行了研究，提出的多分辨SVD[6,7]可以獲得不同分辨率的近似和細(xì)節(jié)信號(hào)，在奇異性檢測(cè)和消噪方面都有一定優(yōu)勢(shì)，此外還有微弱特征提取的能力；同時(shí)利用SVD差分譜[8,9]可以自動(dòng)的判定SVD分解有效分量的個(gè)數(shù)，保留了信號(hào)中有用成分，同時(shí)又最大限度的消除了噪聲。

本文提出基于多分辨SVD分解和SVD差分譜消噪的聯(lián)合SVD的故障診斷方法，首先利用多分辨SVD將復(fù)合故障信號(hào)進(jìn)行分解，然后再利用SVD差分譜對(duì)其進(jìn)行降噪，即可實(shí)現(xiàn)復(fù)合故障的特征信息分離和提取。通過(guò)對(duì)滾動(dòng)軸承內(nèi)外圈復(fù)合故障信號(hào)的分析表明，該方法可以有效地分離和提取故障特征信息。

1 多分辨SVD

實(shí)矩陣A∈Rm×n,不論其行列是否相關(guān)，必定存在一對(duì)正交矩陣U=∈Rm×m和一個(gè)正交矩陣V=∈Rn×n，使得：

其中S=(diag(ó1,ó2,......óq),0)或者其轉(zhuǎn)置，這取決于m＜n還是m＞n，其中，A ∈Sm×n，0代表零矩陣，q=min(m,n),ó1≥ ó2≥......óq≥0,0,它們稱為矩陣A的奇異值。

借鑒小波多分辨分解的研究思想，利用SVD方法來(lái)獲得信號(hào)在不同層次空間、具有不同分辨率的分解結(jié)果，從而實(shí)現(xiàn)類似于小波分析那樣的可將信號(hào)分解到一系列不同層次子空間的多分辨率分解，稱為多分辨SVD分解[7]。

進(jìn)行SVD分解時(shí)首先要將一維信號(hào)序列構(gòu)造成矩陣的形式，欲實(shí)現(xiàn)信號(hào)的多分辨率SVD分解，矩陣的構(gòu)造采用了二分遞推構(gòu)造思想，即對(duì)信號(hào)序列Y=(y (1),y (2),......,y(N))按如下方式構(gòu)造矩陣

矩陣經(jīng)過(guò)SVD處理后，產(chǎn)生兩個(gè)奇異值，第一個(gè)奇異值較大，第二個(gè)奇異值較小，由此得到的信號(hào)分量對(duì)原始信號(hào)的貢獻(xiàn)量也有輕重之分。多分辨SVD的主要思想是先分離出對(duì)原始信號(hào)貢獻(xiàn)較小的分量，類似于小波分解時(shí)的細(xì)節(jié)信號(hào)（稱其為SVD細(xì)節(jié)信號(hào)，記為Dj），對(duì)原始信號(hào)貢獻(xiàn)較大的分量類似小波分解的近似信號(hào)（稱其為SVD近似信號(hào)，記為Aj），再對(duì)Aj繼續(xù)取行數(shù)為2構(gòu)造矩陣進(jìn)行下一層的SVD分解，逐次遞推，將原始信號(hào)分解為一系列SVD細(xì)節(jié)信號(hào)和近似信號(hào)，設(shè)原始信號(hào)為A0，其遞推SVD分解過(guò)程如圖1所示。

多分辨SVD可實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的多層次分解，這種分解方法矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量較小，不存在矩陣行數(shù)和列數(shù)選擇的難題。同時(shí)每次分解過(guò)程中分量始終為2個(gè)，不會(huì)造成能量的泄漏，即可將原信號(hào)的細(xì)節(jié)特征和主體信號(hào)以多層次展現(xiàn)出來(lái)，最后通過(guò)逆運(yùn)算將一系列分解所得SVD近似及細(xì)節(jié)信號(hào)重構(gòu)出來(lái)。

圖1 信號(hào)二分遞推SVD分解過(guò)程

2 SVD差分譜

利用SVD對(duì)信號(hào)降噪，往往將信號(hào)構(gòu)造為Hankel矩陣，此時(shí)降噪效果最好[8]，離散數(shù)字信號(hào)構(gòu)造形式為：

式中1＜n＜N。令m=N-n +1，則A∈Rm×n，上述矩陣稱為重構(gòu)吸引子軌道矩陣。為實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)各成分的充分分離，要求Hankel矩陣的行數(shù)和列數(shù)盡可能達(dá)到最大，故n=N/2，m=N/2+1。

對(duì)于SVD分解后的奇異值，按照從大到小的順序形成的序列為：

bi組成的序列稱為奇異值的差分譜，含噪信號(hào)構(gòu)造的Hankel 矩陣奇異值分解后，后面的q-k個(gè)奇異值明顯小于前k個(gè)奇異值，也就是說(shuō)奇異值在第k個(gè)點(diǎn)發(fā)生突變，而前k個(gè)奇異值代表了要提取的理想信號(hào)。由于每一個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)著一個(gè)分量信號(hào)，因此，只要選擇前面k個(gè)分量進(jìn)行簡(jiǎn)單的疊加，就可獲得降低了噪聲的信號(hào)，而差分譜就可以有效的自動(dòng)判斷最大突變點(diǎn)bk。

3 復(fù)合故障試驗(yàn)分析

試驗(yàn)系統(tǒng)由軸承試驗(yàn)臺(tái)、壓電式加速度傳感器（美國(guó)PCB公司生產(chǎn)的627A61型ICP加速度傳感器）、數(shù)據(jù)采集儀（杭州億恒科技有限公司的MI6008型數(shù)據(jù)采集分析儀）、筆記本電腦組成。故障試驗(yàn)臺(tái)如圖2所示，將正常和有故障軸承依次安裝在軸承試驗(yàn)臺(tái)上，進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集，將采集數(shù)據(jù)傳到電腦中，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理分析。

圖2 滾動(dòng)軸承故障試驗(yàn)臺(tái)

該試驗(yàn)的滾動(dòng)軸承型號(hào)為6307，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1496r/min，采樣頻率為15360Hz，采樣點(diǎn)數(shù)是4096。利用線切割技術(shù)在軸承內(nèi)外圈各加工了一條寬為0.5mm，深為0.5mm的槽來(lái)模擬裂紋故障，從而形成復(fù)合故障，將故障軸承安裝在試驗(yàn)臺(tái)末端軸承座上，加速度傳感器垂直安裝在末端軸承座上。經(jīng)計(jì)算，內(nèi)圈特征頻率為122.738Hz，外圈的特征頻率為76.728Hz。

圖3為滾動(dòng)軸承內(nèi)圈裂紋和外圈裂紋復(fù)合故障信號(hào)的原始時(shí)域波形及希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜，從波形圖中可以看出信號(hào)有一定的沖擊，在希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜中，雖然可以找到75Hz和123.8Hz的頻率成分，但有強(qiáng)烈的干擾成分。將原始信號(hào)進(jìn)行4層多分辨SVD分解得到5個(gè)分量的波形如圖4所示。

圖3 軸承復(fù)合故障時(shí)域波形和希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜

圖4 4層多分辨SVD分解

對(duì)D2分量構(gòu)造Hankel矩陣并進(jìn)行SVD分解，求其差分譜曲線如圖5所示，由于奇異值差分譜曲線的最大突變點(diǎn)在前段部分，后面的都趨于0。故只畫(huà)出前100個(gè)點(diǎn)的曲線?？梢郧宄目吹皆诘?個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)了最大突變，故保留前6個(gè)奇異值，其余的置為0進(jìn)行SVD重構(gòu)，即可得到降噪后的信號(hào)波形如圖6所示，可以看到明顯的周期性沖擊，圖7所示為降噪后的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜，在圖中可以清楚的看到123.8Hz、243.8Hz...等頻率成分，與軸承內(nèi)圈的特征頻率122.738Hz及其倍頻非常接近，故可判斷滾動(dòng)軸承存在內(nèi)圈故障。

圖5 D2分量的奇異值差分譜曲線

圖6 D2分量的奇異值差分譜降噪后的波形

圖7 D2分量降噪后的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜

同樣，圖8所示為A4分量構(gòu)造Hankel矩陣后進(jìn)行SVD分解所求差分譜曲線，最大突變點(diǎn)為4，保留前4個(gè)奇異值進(jìn)行重構(gòu)得到降噪后的波形如圖9所示，對(duì)應(yīng)的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜如圖10所示。同樣圖中可以清楚的看到75Hz、153.8Hz...等頻率成分，這與軸承外圈的特征頻率76.728Hz及其倍頻非常接近，故可判斷該軸承外圈存在故障。上述結(jié)果表明，聯(lián)合SVD的復(fù)合故障診斷方法可以有效地分離和提取復(fù)合故障特征信息。

圖8 A4分量的奇異值差分譜曲線

圖9 A4分量的奇異值差分譜降噪后的波形

圖10 A4分量降噪后的希爾伯特包絡(luò)解調(diào)譜

4 結(jié)論

本文研究了將多分辨SVD分解和SVD差分譜降噪結(jié)合的聯(lián)合SVD復(fù)合故障診斷方法，通過(guò)對(duì)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈、外圈裂紋的復(fù)合故障試驗(yàn)分析表明。該方法可以有效地分離軸承復(fù)合故障的特征頻率。

1）鑒于小波變換的思想，利用多分辨SVD的方法可以將信號(hào)分解為近似信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)，可用來(lái)分離信號(hào)。

2）利用SVD可以對(duì)含噪聲振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行有效降噪，而差分譜在降噪時(shí)可以自動(dòng)確定SVD重構(gòu)時(shí)有效奇異值的個(gè)數(shù)。

3）將多分辨SVD分解和SVD差分譜降噪結(jié)合的聯(lián)合SVD故障診斷方法應(yīng)用于復(fù)合故障診斷中，可以有效地分離和提取滾動(dòng)軸承復(fù)合故障特征信息。

[1] 王曉冬,何正嘉,訾艷陽(yáng).多小波自適應(yīng)構(gòu)造方法及滾動(dòng)軸承復(fù)合故障診斷研究[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2010,23(4):438-443.

[2] AKRITAS A G,MALASCHONOK G I. Applications of singular value decomposition (SVD)[J]. Mathematics and Computers in Simulation,2004,67(1):15-31.

[3] 呂志民,張武軍,徐金梧.基于奇異譜的降噪方法及其在故障診斷技術(shù)中的應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),1999,35(3):85-88.

[4] 李建,劉紅星,屈梁生.探測(cè)信號(hào)中周期性沖擊分量的奇異值分解技術(shù)[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2002,15(4):415- 418.

[5] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅(jiān).矩陣構(gòu)造對(duì)奇異值分解信號(hào)處理效果的影響[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,36(9): 86-93.

[6] Xuezhi Zhao,Bangyan Ye. Similarity of signal processing effect between Hankel matrix-based SVD and wavelet transform and its mechanism analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2009,23(4):1062-1075.

[7] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅(jiān).多分辨奇異值分解理論及其在信號(hào)處理和故障診斷中的應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2010,46(20):64-75.

[8] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅(jiān).基于小波—奇異值分解差分譜的弱故障特征提取方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2012,48(7):37-47.

[9] 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅(jiān).奇異值差分譜理論及其在車床主軸箱故障診斷中的應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2010,46(1):100-108.