劉家保，陳中華，余 蔓

（1.安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部，安徽 合肥 230088；2.安徽新華學(xué)院商學(xué)院，安徽 合肥 230088）

1 問題的基本假設(shè)

一個(gè)實(shí)際問題不經(jīng)過簡(jiǎn)化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問題，即使可能也會(huì)很難求解，不同的假設(shè)會(huì)得到不同的模型，假設(shè)過分簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，假設(shè)過分詳細(xì)，將使問題過分復(fù)雜，可能很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作。在本文中，問題已經(jīng)初步數(shù)學(xué)化，因此不需要很多的假設(shè)過程。為了方便建立數(shù)學(xué)模型，認(rèn)為以下假設(shè)是必要而且是合理的：

（1）假設(shè)問題中的蜘蛛個(gè)體種類和大小均相近相同；

（2）假設(shè)蜘蛛們織網(wǎng)的基本方法和網(wǎng)結(jié)構(gòu)相近相同；

（3）假設(shè)問題中的蜘蛛個(gè)體所處的理想自然環(huán)境相近相同，所處的理想自然環(huán)境不會(huì)有很大的改變，蜘蛛個(gè)體在理想自然環(huán)境下只考慮織網(wǎng)而不考慮其他環(huán)境和生物因素。

2 模型的建立與求解

2.1 數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取及其處理

在實(shí)驗(yàn)室中，稱出蜘蛛的重量后 （研究中用100只相同蜘蛛的平均體重作為蜘蛛的體重），將42只蜘蛛 （其中體重小于200mg的27只，體重大于200mg的15只）置于大的紗布籠內(nèi)，讓其自由結(jié)網(wǎng)。獲取的數(shù)據(jù)有捕食面的上、下半徑 （網(wǎng)垂直線上的半徑）和內(nèi)圈補(bǔ)絲的上、下半徑，網(wǎng)上、下半面捕絲的圈數(shù)和半徑絲的根數(shù)，對(duì)于具有支持帶的網(wǎng)，還收集了各條支持帶的長(zhǎng)度以及寬度 （取支持帶長(zhǎng)度四等分點(diǎn)上寬度的平均值）［1］。在收集蛛網(wǎng)數(shù)據(jù)后，將網(wǎng)收掉，以便蜘蛛在較短的時(shí)間內(nèi)結(jié)新網(wǎng)。對(duì)每只蜘蛛連續(xù)觀測(cè)3張網(wǎng)，并將每只蜘蛛的3張網(wǎng)視為3個(gè)重復(fù)，對(duì)體重0.15mg的蜘蛛采集兩張網(wǎng)的數(shù)據(jù)。在實(shí)驗(yàn)觀測(cè)期間，仍如上述所述進(jìn)行喂食。

將網(wǎng)捕食面近似地看成上下兩個(gè)不同半徑的半圓環(huán)組合，則有：

使用變異系數(shù)來描述各指標(biāo)（捕絲總長(zhǎng)度、捕食面面積和平均捕絲間距）的變化程度：

本研究的數(shù)據(jù)均采用SPSS 11.0軟件進(jìn)行Pearson相關(guān)分析［2－4］（雙尾假設(shè)實(shí)驗(yàn)）。

2.2 模型的分析及其結(jié)果

2.2.1 不同類型蜘蛛網(wǎng)之間的比較

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)觀察可知，蜘蛛的重量對(duì)蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)有不同程度的影響，假設(shè)所取蜘蛛的重量相同并且該蜘蛛能結(jié)不同類型的正多邊形網(wǎng)，為使問題簡(jiǎn)化只研究網(wǎng)的一環(huán)，即一個(gè)正多邊形 （圖1所示），然后進(jìn)行計(jì)算比較，由此假設(shè)可以得到以下結(jié)果：

圖1 正多邊形網(wǎng)和圓網(wǎng)數(shù)學(xué)模型圖

其外接圓的周長(zhǎng)和面積分別為：

2.2.2 圓形蜘蛛網(wǎng)的最優(yōu)說明

由Cyclosa mulmeinensis實(shí)驗(yàn)［5－7］得出的蜘蛛網(wǎng)幾何模型進(jìn)行分析。

（如圖2、圖3所示）

圖2 蜘蛛圓網(wǎng)的模式結(jié)構(gòu)

圖3 蜘蛛圓網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型圖

在實(shí)驗(yàn)室中，搜集了大量資料并觀察了137只蜘蛛和它們所結(jié)的網(wǎng)，并用卡尺和量角器測(cè)出蛛網(wǎng)網(wǎng)格尺寸［8］（其中網(wǎng)格角度測(cè)量線與地面平行），分析數(shù)據(jù)得到如下公式：

進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)，用立體顯微鏡測(cè)出被捕食者的長(zhǎng)度，蛛網(wǎng)的捕食數(shù)量用一個(gè)對(duì)數(shù)線性模型來比較 （使用R統(tǒng)計(jì)軟件包統(tǒng)計(jì)分析），公式如下：）

2.2.3 圓形蜘蛛網(wǎng)角度對(duì)圓形蜘蛛網(wǎng)相關(guān)變量的影響

如果將蛛網(wǎng)傾斜與地面成0°（0°，90°分別表示水平和垂直），設(shè)立四個(gè)組討論有支持帶或沒有支持帶的效用：沒有支持帶的水平圓網(wǎng)和有支持帶的水平圓網(wǎng)；沒有支持帶的垂直圓網(wǎng)和有支持帶的垂直圓網(wǎng)。

通過蛛網(wǎng)的捕獲數(shù)據(jù)分析得到，傾斜度是主要的影響，支持帶的影響可以忽略不計(jì)，但它們之間是相互影響的。以上表明不論蛛網(wǎng)水平或垂直放置，有支持帶的蛛網(wǎng)面積大小是差不多的，但是沒有支持帶垂直放置的蛛網(wǎng)面積通常比較大。不論蛛網(wǎng)是怎么放置的，有支持帶的蛛網(wǎng)網(wǎng)格比較狹小，但是對(duì)于蛛網(wǎng)網(wǎng)格的傾斜度和有無支持帶之間沒有相互影響的作用。蛛網(wǎng)有偏離度ABW （即蛛網(wǎng)的下部比上部大）［9，10］對(duì)捕食是不利的。雖然對(duì)于蛛網(wǎng)網(wǎng)格的傾斜度和有無支持帶之間沒有相互影響的關(guān)系，但是有支持帶的蛛網(wǎng)比沒有支持帶的蛛網(wǎng)的偏離度要大。

圖4 蛛網(wǎng)的角度與捕獲面面積之間的關(guān)系

圖5 捕獲面面積CA，網(wǎng)格寬度MW，偏離度ABW

2.2.4 問題模型的相關(guān)結(jié)論

由以上問題建立的數(shù)學(xué)模型可以得到如下主要結(jié)論：

（1）當(dāng)蜘蛛絲的長(zhǎng)度一定時(shí)，圓網(wǎng)的捕食面面積比正n邊形的面積大，所以圓網(wǎng)的捕獲概率大于正n邊形網(wǎng)；

（2）當(dāng)捕食面面積相同時(shí)，圓網(wǎng)的用料比正n邊形網(wǎng)用料要少；

（3）當(dāng)蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)是呈垂直放置時(shí)，蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)最優(yōu)；

（4）蜘蛛網(wǎng)支持帶的量要適度 （影響蛛網(wǎng)的大小和偏離度）。

3 模型優(yōu)缺點(diǎn)及改進(jìn)方向

3.1 問題模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）本文建立的問題模型是在現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立而成的，有一定的合理性和真實(shí)性；

（2）問題模型中的相關(guān)結(jié)論探究也都是建立在問題的實(shí)際模型基礎(chǔ)上，具有一定的科學(xué)合理性；

（3）問題建立的數(shù)學(xué)模型能夠比較直觀地反映出圓形蜘蛛網(wǎng)各個(gè)方面的優(yōu)化因素及其影響比重，通過問題的數(shù)學(xué)模型計(jì)算提供出的圖表能夠充分為本文得出的結(jié)論提供理論支撐。

圖6 改進(jìn)后的圓形蛛網(wǎng)模型結(jié)構(gòu)

3.2 問題模型的缺點(diǎn)

（1）由于時(shí)間、團(tuán)隊(duì)研究能力等方面的原因和限制，本文建立的模型仍然比較模糊，并且只是著重建立了圓形蜘蛛網(wǎng)的相關(guān)數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，沒有對(duì)其他規(guī)則或不規(guī)則蜘蛛網(wǎng)模型進(jìn)行相關(guān)的研究討論，導(dǎo)致論文結(jié)論比較單調(diào)、不全面。

（2）由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不足，無法驗(yàn)證所建立模型的準(zhǔn)確性。又由于本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的取材和處理都比較單一，所得出的結(jié)論具有比較大的地理、個(gè)體等條件的局限性。

3.3 問題模型的改進(jìn)方向

當(dāng)蜘蛛絲的長(zhǎng)度一定時(shí)，改進(jìn)后的圓網(wǎng)的捕食面面積比上述討論的圓網(wǎng)的面積更大；當(dāng)捕食面面積相同時(shí)，改進(jìn)后的圓網(wǎng)的用料比上述討論的圓網(wǎng)用料更少。從以上的相關(guān)結(jié)論中可以推導(dǎo)出上述圓形蛛網(wǎng)的更優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如圖6所示。

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