張炳達(dá)，李銀芝

（天津大學(xué) 智能電網(wǎng)教育部重點實驗室，天津 300072）

0 引言

目前，變電站培訓(xùn)仿真系統(tǒng)已成為一種培訓(xùn)變電工人的有效工具，其中數(shù)字物理混合型變電站培訓(xùn)仿真系統(tǒng)備受關(guān)注［1-4］。這種培訓(xùn)仿真系統(tǒng)對一次系統(tǒng)采用全數(shù)字仿真，對二次系統(tǒng)使用全部真實設(shè)備。為了能使二次系統(tǒng)真實設(shè)備正常運(yùn)行，要求一次系統(tǒng)數(shù)字仿真部分提供的電壓互感器二次側(cè)電壓信號和電流互感器二次側(cè)電流信號具有實時性［5-8］。

變電站一次系統(tǒng)仿真模型不僅涉及斷路器、隔離開關(guān)、母線、變壓器、地線等設(shè)備，而且還要在輸電線路部分插入若干個故障模型。為降低數(shù)字一次系統(tǒng)的建設(shè)成本，本文采用貝瑞隆等值電路描述輸電線路，把一次系統(tǒng)仿真模型分解成1個站內(nèi)仿真模塊、若干個線路仿真模塊和負(fù)荷仿真模塊；用邏輯分析法決定電流互感器中的真實電流，使站內(nèi)仿真模塊僅包含變壓器、母線節(jié)點和饋線端點；采用易于并行化的多項式預(yù)條件共軛梯度（PCG）法進(jìn)行仿真計算，便于用多微處理器系統(tǒng)加以實現(xiàn)。為避免一次系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)突然變化引起的計算風(fēng)暴對實時仿真的干擾，提出了一種計算模塊獨立于輸出模塊的預(yù)仿真策略。

1 變電站仿真模型的分塊

為模擬輸電線路不同位置的故障，將輸電線路分成若干段，且在段間加入如圖1所示的故障模型。

在圖 1 中，Ra、Rb、Rc用于模擬斷線故障，Rae1、Rbe1、Rce1、Re1和 Rae2、Rbe2、Rce2、Re2用于模擬短路故障，其中各電阻的取值因故障性質(zhì)而異。

圖1 故障模型Fig.1 Fault model

若輸電線路采用集中參數(shù)模型且分成3段，負(fù)荷為Y接法，每增加1回輸電線，變電站仿真模型的節(jié)點數(shù)就增加28個，這嚴(yán)重制約了仿真變電站的規(guī)模。

對三相輸電線路采用小損耗模型，并通過相模變換和相模反變換形成貝瑞隆等值電路［9-10］，如圖2所示。

圖2中的相間阻抗、對地阻抗分別為：

其中，L、Cg分別為各相輸電線的自感和對地電容，M、Cm分別為各相輸電線間的互感和電容。

圖2中各相等效電流源與輸電線路首末端（k和m端）電壓、電流之間的關(guān)系為：

圖2 輸電線路的貝瑞隆等值電路Fig.2 Bergeron model of transmission line

其中，Zm1和Zm2分別為時間常數(shù)τm1和τm2對應(yīng)的相間阻抗。

由于很難使仿真步長Δt同時為時間常數(shù)τm1和τm2的整數(shù)倍，采用線性插值法確定等效電流源的數(shù)值。

由圖2可見，線路兩端電氣量的求解過程是解耦的。利用這一性質(zhì)，可以將變電站仿真模型分解為1個站內(nèi)仿真模塊、若干個線路仿真模塊和負(fù)荷仿真模塊。

2 站內(nèi)仿真模塊的簡化

由于二次系統(tǒng)設(shè)備僅需要母線處電壓、變壓器兩側(cè)的電流和饋線電流等，可以對站內(nèi)仿真模塊進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?/p>

圖3給出了1臺雙繞組變壓器在某變電站中與母線的連接關(guān)系。變壓器的各種保護(hù)僅涉及其兩側(cè)的電流 i1a、i1b、i1c、i2a、i2b、i2c，以及母線 1、母線 2、母線 3處的電壓，并不涉及其他設(shè)備的電流。若把變壓器與母線連接部分的等效電路描述成圖4，將圖3中p、q、r、s處可能出現(xiàn)的短路故障轉(zhuǎn)移到母線處或變壓器兩側(cè)，則電流互感器中的實際電流可以用邏輯分析法來決定。

圖3 變壓器與母線連接示意圖Fig.3 Connections between transformer and buses

圖4 變壓器與母線連接部分的等效電路Fig.4 Equivalent circuit of connections between transformer and buses

圖4中 的 Ra14、Rb14、Rc14、Ra24、Rb24、Rc24、Ra63、Rb63、Rc63分別表示圖3中節(jié)點1-4、節(jié)點2-4、節(jié)點3-6的連通性。連通時電阻取值很小，不連通時電阻取值很大。

短路故障轉(zhuǎn)移的原則為：以電流互感器為分界點，若短路故障點至少與母線或變壓器一方連通，優(yōu)先往同側(cè)方向移動，否則不予考慮。

當(dāng)同一母線或變壓器兩側(cè)的等效短路故障僅來自同側(cè)或異側(cè)，各電流互感器中的實際電流可用邏輯分析法決定。如變壓器高壓側(cè)電流互感器中的電流為：

其中，k1、k2、k4分別為母線 1、母線 2、變壓器高壓側(cè)接受的異側(cè)短路故障點總數(shù)；變壓器高壓側(cè)電流互感器有移動的短路故障點通過時p1=1，否則p1=0。

同樣，采用短路故障轉(zhuǎn)移法和電流邏輯分析法使饋線始端部分的等效電路得到簡化。由此，站內(nèi)仿真模塊僅包含變壓器、母線節(jié)點和饋線端點，其節(jié)點導(dǎo)納矩陣的維數(shù)大幅降低。

3 變電站仿真模型的求解

無論是站內(nèi)仿真模塊、線路仿真模塊，還是負(fù)荷仿真模塊，暫態(tài)解等值電路的節(jié)點電壓方程都有相同的形式，即：

其中，Y 為導(dǎo)納矩陣，u（t）為節(jié)點電壓，i（t）為注入電流源，I為等效電流源。

共軛梯度（CG）法［11］是目前求解方程組最有效的迭代法之一，其基本思想是把共軛性與最速下降方法相結(jié)合，利用已知點處的梯度構(gòu)造一組共軛方向，并沿這組方向進(jìn)行搜索，最終求出目標(biāo)函數(shù)的極小點。用CG法求解式（6）的過程如下：

步驟 1 設(shè) b=i（t）-I，t=t0，u（0）（t）=0，迭代終止常數(shù) ε＞0；

步驟2令迭代次數(shù)k=0；

步驟 3 計算殘差 r（k）=b-Yu（k）（t），梯度 p（k）=r（k）；

步驟 4 當(dāng)‖r（k）‖＞ε 時，轉(zhuǎn)步驟 6；

步驟5計算u（t）近似值的迭代過程結(jié)束，使t=t0+Δt，u（0）（t）=u（t-Δt），計算新的注入電流源i（t）和等效電流源 I，轉(zhuǎn)步驟 2；

步驟 6 計算 u（t）新的近似值 u（k+1）（t）=u（k）（t）+αkp（k）和新的殘差 r（k+1）（t）=r（k）（t） -αkYp（k），其中 αk=-（r（k），r（k）） /（p（k），Yp（k）），（·，·）表示內(nèi)積，后同；

步驟 7 計算新的梯度 p（k+1）=r（k+1）+ βkp（k），其中βk=（r（k+1），r（k+1）） /（r（k），r（k））；

步驟8令k=k+1，轉(zhuǎn)步驟4。

在計算u（t）近似值的迭代過程中，絕大部分是求內(nèi)積運(yùn)算和矩陣與向量乘運(yùn)算，這些運(yùn)算都可以分塊進(jìn)行，且各塊運(yùn)算是完全獨立的。因此，CG法易于并行化。

由于舍入誤差的存在，CG法的收斂速度依賴于系數(shù)矩陣Y的特征值分布情況。如果特征值分布相對集中，那么收斂的速度很快，反之收斂的速度很慢，甚至有可能不收斂。為了加快收斂速度，構(gòu)造一個“近似于”Y的預(yù)條件M，使M-1Yu=M-1b中的M-1Y“近似于”單位矩陣，保證其特征值分布在1的周圍。

由于矩陣Y具有對角占優(yōu)的特點，可采用多項式變換法確定預(yù)條件M［12-13］。若采用一階多項式變換法，則預(yù)條件M的逆為：

其中，D為矩陣Y的對角陣。

由于矩陣M-1的每個元素可表示為：

故M-1保持了原矩陣Y中“0”元素的分布。

可以證明，M-1Y中的“0”元素分布與原有矩陣Y的“0”元素分布并不一致。若令G=M-1Y，對Gu=M-1b采用CG法求解，則不能充分利用矩陣Y的稀疏性。本文以殘差 r（k）=M-1（b-Yu（k）（t））為目標(biāo)函數(shù)，求取其極小點，求解過程與求解式（6）的過程略有不同。

a.步驟 3 變?yōu)椋河嬎銡埐?r（k）=b-Yu（k）（t），梯度p（k）=M-1r（k）。

b.步驟 6 變?yōu)椋河嬎?u（t）新的近似值 u（k+1）（t）=u（k）（t）+αkp（k）和新的殘差 r（k+1）（t）=r（k）（t）-αkYp（k），其中αk=-（r（k），M-1r（k）） /（ p（k），Yp（k））。

c. 步驟 7 變?yōu)椋河嬎阈碌奶荻?p（k+1）=M-1r（k+1）+βkp（k），其中 βk= （r（k+1），M-1r（k+1）） /（r（k），M-1r（k））。

可見，PCG法保持了CG法易于并行化和充分利用“0”元素的特點，便于用多微處理器系統(tǒng)加以實現(xiàn)。

4 預(yù)仿真策略

為實現(xiàn)實時仿真，計算模塊、輸出模塊在規(guī)定的時間點上輪流工作，且要求計算模塊的計算時間tc不能超出仿真步長Δt。但是，在這種計算模塊、輸出模塊輪流運(yùn)行的定點仿真模式中，一次系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行時，求解的迭代次數(shù)k較少，計算時間tc較短；而當(dāng)一次系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)發(fā)生變化時，求解的迭代次數(shù)k增多，計算時間Tc較長，出現(xiàn)嚴(yán)重的計算風(fēng)暴。

若仿真步長Δt大于穩(wěn)定運(yùn)行時的最小計算時間Tcmin且小于網(wǎng)絡(luò)參數(shù)變化時的最大計算時間Tcmax，可采用預(yù)仿真策略［14-15］，其基本思想如下：計算模塊完成一次系統(tǒng)仿真模型的求解，將結(jié)果依次放入隊列；當(dāng)隊列處于滿狀態(tài)時，計算模塊暫停工作；輸出模塊以仿真步長Δt為時間間隔從隊列中取出數(shù)據(jù)，用于模擬電壓互感器二次側(cè)的電壓信號和電流互感器二次側(cè)的電流信號。在這種計算模塊、輸出模塊各自獨立運(yùn)行的仿真模式中，當(dāng)一次系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行時，計算模塊向隊列中存數(shù)據(jù)的頻率比輸出模塊從隊列中取數(shù)據(jù)的頻率要高，隊列最終處于滿狀態(tài)；當(dāng)一次系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)發(fā)生變化時，網(wǎng)絡(luò)的過渡過程現(xiàn)象不能立刻反映到電壓互感器二次側(cè)電壓和電流互感器二次側(cè)電流上，隊列越長，延時越嚴(yán)重。但是，如果隊列的長度太短，由于Tcmax＞Δt，有可能造成隊列處于空狀態(tài)。

假設(shè)1個工頻周期T內(nèi)有N個Δt，累計迭代次數(shù)為K，1次迭代過程的機(jī)器周期數(shù)為P，微處理器的時鐘頻率為fclock，則完成1個工頻周期仿真所需的計算總時間為：

如果輸出模塊比計算模塊遲1個工頻周期T啟動，隊列的長度設(shè)為N，且Tc≤T，則隊列永遠(yuǎn)處于滿狀態(tài)。這樣網(wǎng)絡(luò)的過渡過程現(xiàn)象僅遲1個工頻周期T發(fā)生，對培訓(xùn)仿真系統(tǒng)而言是可以接受的。

在仿真中，認(rèn)為開關(guān)分閘在電流過零時才會發(fā)生，存在三相不同時分閘現(xiàn)象。對于中性點接地系統(tǒng)，開關(guān)分閘時發(fā)生3次網(wǎng)絡(luò)參數(shù)變化，而對于中性點不接地系統(tǒng)，僅發(fā)生2次網(wǎng)絡(luò)參數(shù)變化。因此，應(yīng)考慮各種開關(guān)分閘情況，以工頻周期內(nèi)的最大累計迭代次數(shù)Kmax來選擇微處理器。

若微處理器的時鐘頻率fclock已確定，完成工頻周期仿真的最大計算時間為：

在計算模塊、輸出模塊輪流運(yùn)行的定點仿真模式中，工頻周期內(nèi)的最大累計迭代次數(shù)為kmaxN（kmax為1個仿真點上的最大迭代次數(shù)），則完成工頻周期仿真的最大計算時間為：

對于多微處理器系統(tǒng)，完成工頻周期仿真的最大計算時間Tcmax還與微處理器的數(shù)量有關(guān)。因此，無論采用CG法還是PCG法，由于kmaxN?Kmax，預(yù)仿真策略都能降低對微處理器運(yùn)算速度的要求；或可減少微處理器數(shù)量，甚至可僅用1個微處理器；或可擴(kuò)大仿真變電站的規(guī)模。

5 應(yīng)用實例

圖5是一個全部采用單母分段接線的110 kV/35 kV港口仿真變電站，具有2回110 kV饋線、4回35 kV饋線和2臺變壓器。將輸電線路分成3段，且在段間加入故障模型。同時，考慮輸出模塊的輸出量僅涉及電壓互感器二次側(cè)電壓和電流互感器二次側(cè)電流。通過貝瑞隆法和短路故障轉(zhuǎn)移法，把一次系統(tǒng)仿真模型分成1個64節(jié)點的站內(nèi)仿真模塊、12個14節(jié)點的線路仿真模塊和6個12節(jié)點的負(fù)荷仿真模塊。

針對港口仿真變電站的一次系統(tǒng)仿真模型，在Altera的QuartusⅡ仿真平臺上編寫了基于CG法和PCG法的計算程序。其中，仿真步長Δt=10 μs（1個工頻周期2 000個仿真點），迭代收斂精度ε=10-8。為了得到工頻周期內(nèi)的最大累計迭代次數(shù)Kmax或kmaxN，模擬了變壓器故障、線路故障、母線故障。表1給出4種算法的一次迭代過程的機(jī)器周期數(shù)P、工頻周期內(nèi)的最大累計迭代次數(shù)Kmax或kmaxN，并按微處理器的時鐘頻率fclock=100 MHz估計了完成工頻周期仿真的最大計算時間Tcmax。

表1 4種算法的對比Tab.1 Comparison of four algorithms

由表1可以看出，雖然PCG法的一次迭代過程機(jī)器周期數(shù)比CG法有所增加，但無論是定點仿真還是預(yù)仿真，PCG法的工頻周期內(nèi)的最大運(yùn)算量都有所減少，約為CG法的1/4。進(jìn)一步而言，預(yù)仿真下PCG法的工頻周期內(nèi)的最大運(yùn)算量是定點仿真下CG法的1/16。

EP3C80屬于CycloneⅢ的FPGA系列，具有低功耗和大容量的特點。通常，1片EP3C80能較好地模擬8個具有64×64位乘法器的計算單元。由表1可推論，對于PCG法，采用定點仿真需8片EP3C80，而采用預(yù)仿真時僅需要2片。

在仿真步長內(nèi)，站內(nèi)仿真模塊、線路仿真模塊、負(fù)荷仿真模塊之間不需要數(shù)據(jù)通信，且線路仿真模塊是聯(lián)系站內(nèi)仿真模塊與負(fù)荷仿真模塊的橋梁。為減少模塊之間的通信量，將線路仿真模塊、負(fù)荷仿真模塊放置在一片EP3C80中，而站內(nèi)仿真模塊單獨放置在另一片EP3C80中。同時，使用數(shù)模轉(zhuǎn)換器和功率放大器將數(shù)字式一次系統(tǒng)的數(shù)字信號變成互感器二次側(cè)的模擬信號，利用模擬開關(guān)設(shè)備接受真實二次設(shè)備的分合閘信號，并將其狀態(tài)傳輸給數(shù)字式一次系統(tǒng)。

大量的仿真實驗表明，基于預(yù)仿真策略的數(shù)字式一次系統(tǒng)，在二次真實設(shè)備的配合下，不僅能夠模擬變電站的各種正常運(yùn)行方式，而且能模擬各種短路故障、斷路器故障、保護(hù)故障，營造出與真實變電站高度相似的環(huán)境。

圖5 港口仿真變電站主接線Fig.5 Main connections of simulative harbor substation

6 結(jié)論

a.PCG法充分利用了一次系統(tǒng)節(jié)點導(dǎo)納矩陣稀疏性的特點，使仿真模型的求解運(yùn)算量是一般CG法的1/4。

b.基于計算模塊獨立于輸出模塊的預(yù)仿真策略把計算風(fēng)暴分散到1個工頻周期內(nèi)的各個仿真點上，使工頻周期的最大累計迭代次數(shù)是定點仿真模式的1/4。

c.通過貝瑞隆法、短路故障轉(zhuǎn)移法與電流邏輯分析法、PCG法、預(yù)仿真策略，使復(fù)雜的變電站一次系統(tǒng)仿真能在廉價的多微處理器系統(tǒng)中完成。