王俊元，常迎香，廖鳴泰

(蘭州交通大學)

0 引言

文獻［1］對n-1中取連續(xù)n-1好系統(tǒng)在故障部件均可以修復如新的假設下，對系統(tǒng)的可靠性進行了分析，得到了系統(tǒng)的瞬時可用度、可靠度、系統(tǒng)首次故障前的平均時間等可靠性指標.文獻［2］研究了n中取n-1好系統(tǒng)在故障部件不可以修復非新，部件壽命和維修時間的分布均是指數(shù)分布，當部件的壽命越來越短，維修時間越來越長時，研究了系統(tǒng)的可靠性.然而在現(xiàn)實生活中，當部件故障后不能立即得到修理，需要等待修理.該文在文獻［2］的基礎上假設修理有延遲，得到了系統(tǒng)在上述假設下的瞬時可用度、可靠度的Laplace變換表達式以及系統(tǒng)首次故障前的平均時間.

定義1［3］設{Xn，n=1，2，…}是相互獨立的非負隨機變量序列，如果Xn的分布函數(shù)是F(an-1t)，n=1，2，…，且 a ＞ 0，則稱{Xn，n=1，2，…}是一個幾何過程.

當 a ＞ 1 時，{Xn，n=1，2，…}是隨機遞減的;當0 ＜ a ＜ 1 時，{Xn，n=1，2，…}是隨機遞增的.

1 模型描述

(1)線性相鄰n中取n-1連續(xù)好系統(tǒng)，由排成直線的n個同型部件和一個修理工組成，當且僅當系統(tǒng)中有相鄰且連續(xù)的n-1個部件正常工作時，系統(tǒng)正常工作，否則系統(tǒng)故障.

(2)每次故障后部件不能修復如新，部件介于第(n-1)次修理完成和第n次修理完成的時間間隔稱為部件的第n個周期.部件i在第k個周期的壽命(i=1，2，…，n)的分布函數(shù)為:當部件i-1在工作時，F(xiàn)0k(t)=P{≤t}=1-exp{-ak-1λ0t};當部件 i-1故障時，F(xiàn)1k(t)=P{≤ t}=1-exp{-ak-1λ1t}，其中 t≥0，i=2，3，…，n，λ1≥ λ0＞ 0.當 i=1 時，規(guī)定:F1k(t)=P{≤ t}=1-exp{-ak-1λ0t}.維修時間(i=1，2，…，n)的分布函數(shù)為:Gk(t)=P{≤t}=1-exp{-bk-1ut}，其中t≥0，i=1，2，…，n，u ＞ 0，a ＞ 1，0 ＜ b ＜ 1.

(3)假設部件發(fā)生故障后不能夠立即得到修復，需要延遲修理，設Wn表示在第n個周期的延遲修理時間，Wn服從指數(shù)分布，用H(t)表示分布函數(shù)，H(t)=1-exp{-θt}.

(4)在t=0時，所有部件都是新的.

(6)系統(tǒng)故障后，未故障的部件不再發(fā)生故障.

2 模型分析

設N(t)表示系統(tǒng)在時刻t的狀態(tài)，則有

{N(t)，t≥0}是一隨機過程，系統(tǒng)的狀態(tài)空間為 E={0，1，2，…，n，-1，-2，…，-n，n+2，n+3，…，n+n，n-1，n-2，…，n-(n-1)，-n+2，-n+3，…，-n+n，-n-1，-n-2，…，-n-(n-1)}，系統(tǒng)的工作狀態(tài)集為W={0，1，n，-1，-n}，系統(tǒng)的故障狀態(tài)集為F=E-W.隨機過程{N(t)，t≥0}不是馬爾科夫過程，但是通過補充變量的方法，使其變成馬爾科夫過程.用Im(t)(m=1，2，…，n)表示部件m在時刻t所處的周期，則{N(t)，I1(t)，I2(t)，…，In(t)，t≥0}是廣義的馬爾科夫過程，時刻t系統(tǒng)的狀態(tài)概率定義為:

其中 k1，k2…，kn=1，2，….

根據(jù)模型假設和增補變量法有:

初始條件為:P011…1(0)=1;Pik1k2…kn(0)=0，i≠0;P0k1k2…kn(0)=0，k1，k2，…，kn不全為 1.

當k1=k2= … =kn=1時有:(s)=

3 系統(tǒng)的可靠性指標

3.1 系統(tǒng)的瞬時可用度A(t)

由A(t)的定義，A(t)表示為:

A(t)的Laplace變換表達式A*(s)為:

實際上，系統(tǒng)是修復非新的，這暗示著系統(tǒng)的可用度隨時間的變化趨于零.

3.2 系統(tǒng)的平均故障次數(shù)Mf(t)

系統(tǒng)在(0，t］內的平均故障次數(shù)為Mf(t)=，其中Wf(t)表示系統(tǒng)的瞬時故障頻度，Wf(t)的Laplace變換表達式(s)為:

3.3 系統(tǒng)的可靠度R(t)

設模型中的故障狀態(tài)集中的狀態(tài)為過程{N(t)，I1(t)，I2(t)，…，In(t)，t≥ 0}的吸收狀態(tài)，定義一個新的隨機過程{^N(t)，^I1(t)，^I2(t)，…，^In(t)，t≥0}.

令 Qik1k2…kn(t)=P{^N(t)=i，^I1(t)=k1，^I2(t)=k2，…，^In(t)=kn}，i∈ E，則有概率分析得:

由R(t)的定義其表示為:

用類似的方法對式(19)到式(23)作Laplace變換得:

系統(tǒng)可靠度的Laplace變換R*(s)的表達式為:

特別的當k2=… =kn-1=1時，

則系統(tǒng)可靠度的Laplace變換R*(s)的表達式為:

以上結果都是修理有延遲，即θ≠0時研究得到的可靠性指標，當θ=0時，系統(tǒng)就變成了部件故障后能夠立即得到修理的情形，類似于文獻［2］中的研究情形.

［1］ 張元林，王太鵬，賈積身.n中取連續(xù)n-1好的可修系統(tǒng)可靠性分析［J］.自動化學報，1997，23(6):807-810.

［2］ 王旭艷，師義民.不可修復如新的線性相鄰n中取連續(xù)n-1好系統(tǒng)的可靠性分析［J］.工程數(shù)學學報，2006，23(1):87-89.

［3］ 張元林.幾何過程與冷儲備系統(tǒng)分析［J］.中央民族大學學報，1995(1):15-20.

［4］ Zhang Yuanlin.A geometrial process repair model for a repairable system with delayed repair.Computer and mathematics with applications，2008，55(3):1630-1635.

［5］ Zhao Bing，Yue Dequan.The Geometric Process Maintenance Moldel of a Series System with a Cold Standby Compontent.Journal of Information ＆ Computational Science，2010，7(14):3085-3090.

［6］ 尚勇，李偉.獨立維修兩部件并聯(lián)系統(tǒng)可靠性的進一步分析［J］.數(shù)理統(tǒng)計與應用概率，1994，9(4):93-100.

［7］ 曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學引論［M］北京:科學出版社，1986.