崔云安，牛金玲，陳麗麗

(哈爾濱理工大學(xué))

0 引言

1967 年，Thorp E 與 Whitley R［1］首次引入復(fù)端點(diǎn)的概念，1987年，吳從炘、孫慧穎［2-4］討論了矢值Musielak-Orlicz函數(shù)空間的復(fù)端點(diǎn)的刻畫問題，并給出該空間中復(fù)嚴(yán)格凸性和復(fù)一致凸性的充要判據(jù).2008年，崔云安等［5］在Orlicz空間中引入了p-Amemiya范數(shù)的定義，證明了它與經(jīng)典的Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)是等價的，并給出賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間中端點(diǎn)的刻畫.2009年，崔云安，Hudzik H 等［6］繼續(xù)研究了賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間的強(qiáng)端點(diǎn)的充要判據(jù)問題.

1 預(yù)備知識

(X，‖·‖X)表示定義在復(fù)數(shù)域C上的復(fù)Banach空間，B(X)和S(X)分別表示該空間的閉單位球和單位球面.

定義1.1［7］(T，∑，μ)表示非原子完備的測度空間，μ(T)＜∞.Φ是Musielak-Orlicz函數(shù)是指 Φ:T×［0，+∞)→［0，+∞］滿足:

(1)對μ-a.e.t∈T，Φ(t，u)是μ-可測函數(shù)，對任意的u∈［0，+∞);

(3)Φ(t，u)關(guān)于 u是［0，∞)上的凸函數(shù).

令 e(t)=sup{u ≥0:Φ(t，u)=0}，

E(t)=sup{u ≥0;Φ(t，u)＜ ∞}則e(t)和E(t)都是μ-可測函數(shù).

定義1.2［7］(X，‖·‖)表示復(fù)Banach空間，記XT表示所有從T到X的μ-可測函數(shù)的全體，對任意的x∈XT，定義如下模函數(shù):

由它生成相應(yīng)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間

對Musielak-Orlicz函數(shù)空間LΦ賦予如下范數(shù)p-Amemiya范數(shù)

即為一個 Banach 空間，記為 LΦ，p=(LΦ，‖·‖Φ，p).

定義1.3x∈S(X)為B(X)的復(fù)端點(diǎn)是指對?y∈X{0}，有

定義1.4［8］設(shè)(X，‖·‖X)是復(fù)Banach空間，x∈S(X)是B(X)的復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)是指對任意的 ε ＞ 0，Δc(x，ε)＞ 0，其中

引理1.5［7］對任意的 ε ＞ 0，存在 δ∈使得若 u，v∈ C，且

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)1≤ p＜∞，p是奇數(shù)，x∈S(LΦ，p)，則如下結(jié)論等價:

(i)x是 B(LΦ，p)的復(fù)強(qiáng)端點(diǎn);

(ii)x是 B(LΦ，p)的復(fù)端點(diǎn);

(iii)對?k∈Kp(x)，有μ{t∈T:k|x(t)|＜e(t)}=0.

證明 (i)?(ii)是顯然的.

(ii)?(iii)設(shè) x∈S(LΦ，p)是 B(LΦ，P)的復(fù)端點(diǎn)，且存在?k0∈Kp(x)使得μ{t∈T:k0|x(t)|＜e(t)}＞0.易知可找到公共的d＞0及T0∈∑滿足μ(T0)＞0且使得

這與假設(shè)的x是B(LΦ，p)的復(fù)端點(diǎn)矛盾.

(iii)?(i)假設(shè) x0不是B(LΦ，p)的復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)，由定義1.4知存在ε0＞0使得

即存在 λn∈ C，| λn|→ 1，yn∈ LΦ，p，滿足‖yn‖Φ，p≥ ε0使得

‖λnx0± yn‖Φ，p≤1，‖λnx0± iyn‖Φ，p≤1由此可知

對上述的ε0＞0，由引理1.5知，存在，使得若 u，v∈ C，

對每個n∈N，令

由于|λn|→1(n→∞)，可知對充分大的n有下式成立:

這說明An≠?.從而，對任意t∈An，有

為完成證明，考慮如下兩種情形:

(Ⅰ)kn→∞(n→∞)，這里

則對每個n∈N，

注意到

由于kn→∞(n→∞)，可知對充分大的n，有

考慮到p是奇數(shù)，可推出如下矛盾:

(Ⅱ)kn→k0(n→∞)，這里

則對每個n∈N，有

令n→∞，可知

利用(Ⅰ)，知

因?yàn)閗n→k0(n→∞)，故對充分大的n有如下不等式成立：

則

可知

又因p是奇數(shù)，得到如下矛盾:

定理證畢.

3 結(jié)束語

通過該文的研究，得到了賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間中1≤p＜∞且p是奇數(shù)時，該空間中單位球的復(fù)端點(diǎn)和復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)的判別準(zhǔn)則.但是，當(dāng)p為偶數(shù)的情況下，該空間中單位球的復(fù)端點(diǎn)和復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)的判別準(zhǔn)則尚未得出，這部分結(jié)果正在研究當(dāng)中.

［1］ Thorp E，Whitley R.The Strong Maximum Modulus Theorem for Analytic Functions into a Banach Space［J］.Proc Amer Math Soc，1967，18(4):640-646.

［2］ 吳從炘，孫慧穎.關(guān)于Musielak-Orlicz空間的復(fù)端點(diǎn)與復(fù)嚴(yán)格凸［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1987，7:7-13.

［3］ 吳從炘，孫慧穎.Musielak-Orlicz空間的復(fù)一致凸性［J］.東北數(shù)學(xué)，1988，4:389–396.

［4］ Wu C，Sun H.On the Complex Convexity of Musielak-Orlicz Spaces［J］.Comment.Math，1989，28:397-408.

［5］ Cui Y，Duan L，Hudzik H，et al.Basic Theory of p-Amemiya Norm in Orlicz Spaces(1≤p≤∞):Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Equipped with These Norms［J］.Nonlinear Anal，2008，69(5-6):1796-1816.

［6］ Cui Y，Hudzik H，Li J，et al.Strongly Extreme Points in Orlicz Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm［J］.Nonlinear Anal，2009，71(12):6343-6364.

［7］ Chen S T.Geometry of Orlicz spaces，Dissertations Math.Warszawa，1996.

［8］ Chen Lili，Cui Yunan，Hudzik Henrik.Criteria for Complex Strongly Extreme Points of Musielak-Orlicz Function Spaces［J］.Nonlinear Anal，2009，70(6):2270-2276.