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(蘭溪市教研室 浙江蘭溪 321102)

從一道高考題談平面向量與復(fù)數(shù)的關(guān)系

●沈聯(lián)暉

(蘭溪市教研室 浙江蘭溪 321102)

在高中數(shù)學(xué)中，“平面向量”和“復(fù)數(shù)”是看似無(wú)關(guān)的2塊知識(shí)，前者出現(xiàn)在必修4，后者在選修2-2中．在平時(shí)教學(xué)中，教師一般不會(huì)將“平面向量”作為“復(fù)數(shù)”的先行組織者組織教學(xué)，更不會(huì)在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)想到為以后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)埋下伏筆,在高三復(fù)習(xí)時(shí)也很少將2塊內(nèi)容放在一起進(jìn)行比較.但2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷的第5題給我們一線教師上了很好的一課，原題如下：

試題對(duì)任意復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是

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(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

當(dāng)年這道題錯(cuò)誤率甚高，主要表現(xiàn)在：有些學(xué)生不會(huì)對(duì)不等式知識(shí)進(jìn)行遷移和應(yīng)用，看不懂|z|≤|x|+|y|；有些學(xué)生將復(fù)數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算混淆，類比|a|2=a2=x2+y2，誤認(rèn)為z2=x2+y2正確；并且很多學(xué)生由于解決該題受阻而影響了考試情緒，使后面的解題方寸大亂，堪稱“最險(xiǎn)惡的容易題”.這暴露出平時(shí)教學(xué)和復(fù)習(xí)的缺失，學(xué)生沒有深刻理解向量和復(fù)數(shù)的意義、計(jì)算法則，也沒有將這2塊知識(shí)點(diǎn)的共性和各自的特性梳理清晰.為此,筆者將自己在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出的2塊知識(shí)之間的關(guān)系以及學(xué)生易混淆的知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)如下，以饗讀者.

1 向量與復(fù)數(shù)的區(qū)別、聯(lián)系

向量有“形”的功能還表現(xiàn)在具有平面內(nèi)2條直線的位置關(guān)系，常用的結(jié)論是：2個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是：a·b=0；2個(gè)非零向量a與b平行(共線)的充要條件是：b=λa，λ∈R(寫成坐標(biāo)形式為：設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a⊥b，則x1x2+y1y2=0；若a∥b，則x1y2-x2y1=0)．這是復(fù)數(shù)所沒有的．

形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a為實(shí)部，b為虛部，i為虛數(shù)單位，常記作復(fù)數(shù)z=a+bi.有些學(xué)生常將復(fù)數(shù)誤寫成z=(a,b)，教師要時(shí)常提醒學(xué)生注意：一般2個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小，具體可參考文獻(xiàn)[1]；2個(gè)復(fù)數(shù)相等充要條件為：a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R).利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，可以得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程(組)，通過(guò)解方程(組)，求出待定系數(shù)的值．

圖1

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具，運(yùn)用向量方法可將幾何性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，使幾何問題通過(guò)向量運(yùn)算得到解決[2]．人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》“2．5．1平面幾何中的向量方法”一節(jié)中的2個(gè)例題讓我們領(lǐng)略到用向量法證明幾何題的風(fēng)采．復(fù)數(shù)的引入是解決實(shí)際需求和數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中產(chǎn)生的．復(fù)數(shù)盡管是數(shù)，它可以用復(fù)平面上的點(diǎn)表示(類比實(shí)數(shù)可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示),也就是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)Z(a,b)表示，它實(shí)際上是一有序?qū)崝?shù)對(duì)．在i和j是單位正交基底的前提下，向量ai+bj可用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(a,b)表示，因此復(fù)數(shù)z也可用向量表示，只要以a+bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)為終點(diǎn)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)畫向量即可，于是有如圖1所示的關(guān)系[3].

因此討論復(fù)數(shù)的運(yùn)算、性質(zhì)和應(yīng)用時(shí)，就可以在復(fù)平面內(nèi)用向量的方法進(jìn)行．如：

復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=2+i，m是實(shí)數(shù)，則|mz1-z2|的最小值為______[4]．

此題固然可用以下方法來(lái)解：

圖2

又如2010年浙江省理科第5小題選項(xiàng)D：

2 相反向量與共軛復(fù)數(shù)

長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫相反向量．如向量a的相反向量為-a，幾何意義是表示2個(gè)向量的有向線段長(zhǎng)度相等,方向相反．有了相反向量，便可以通過(guò)向量加法定義向量減法，如a-b=a+(-b)．長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0(很多學(xué)生易錯(cuò)寫成0，或者不分場(chǎng)合亂用0和0)，有a+(-a)=a-a=0(特別注意：0·a=0，但0·a=0)．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量．長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，記作a=b.

3 運(yùn)算法則和運(yùn)算律的比較

考慮到向量的坐標(biāo)形式和復(fù)數(shù)有相似之處，在此僅研究向量的坐標(biāo)運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算的比較(其中表1是運(yùn)算法則的比較，表2是運(yùn)算律的比較)：

表1 運(yùn)算法則

表2 運(yùn)算律

4 容易混淆的運(yùn)算比較

(2)|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2(在空間向量中解決立體幾何題有廣泛的應(yīng)用)，而|z+1|2≠z2+2z+1.一般設(shè)z=a+bi，a，b∈R,則|z+1|2|=|a+1+bi|2=(a+1)2+b2，或從幾何意義看，表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)Z到-1的距離的平方．

[1] 胡典順．為什么復(fù)數(shù)不能比較大小[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2012(1)：23-24.

[2] 劉紹學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)4教師教學(xué)用書[M]．北京：人民教育出版社，2007：67.

[3] 劉紹學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)選修2-2教師教學(xué)用書[M]．北京：人民教育出版社，2007：93.

[4] 楊蒼洲．善用習(xí)題變式教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊：下半月，2012(11)：10.

[5] 黃小紅．“復(fù)數(shù)的幾何意義”的教學(xué)實(shí)踐與思考[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2010(1/2)：52-53.

[6] 范素杰，郜舒竹．向量為什么不存在除法[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012(4)：11-13.