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(昌碩高級中學 浙江安吉 313300)

剖析代數(shù)式結(jié)構(gòu)多視角妙解高考題

●吳忠

(昌碩高級中學 浙江安吉 313300)

數(shù)學中有一種美，即結(jié)構(gòu)對稱美，很多代數(shù)結(jié)論具有這樣的對稱美，解決代數(shù)問題總會遇到代數(shù)式結(jié)構(gòu)的變形和轉(zhuǎn)化，然而代數(shù)式的結(jié)構(gòu)變化不可能唯一，總會有很多不同的變形方向，不適當?shù)淖冃螘尳鉀Q問題的思路受到阻礙，適當?shù)拇鷶?shù)變形總能給人以靈感與思維的火花，從而勝利到達成功的彼岸.代數(shù)式的轉(zhuǎn)化方向總是與現(xiàn)有知識基礎聯(lián)系在一起，總會在所學知識的附近搜索類似結(jié)構(gòu)的定理、定義、性質(zhì)及規(guī)律等，因此在課堂上幫助學生分析某些數(shù)學結(jié)論的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征、類型顯得非常重要，應該讓學生從結(jié)構(gòu)變形中去體會數(shù)學思想方法，從而培養(yǎng)學生良好的思維習慣和較強的思辨能力.本文試圖從一道題的代數(shù)結(jié)構(gòu)不同角度的分析找到解決某些代數(shù)問題的基本途徑.

題目若0

( )

A．a(chǎn)1b1+a2b2B．a(chǎn)1a2+b1b2

本題選自2008年江西省數(shù)學高考理科試題第9題，主要考查的知識點為不等式的性質(zhì)，包括比較不等式的大小及不等式結(jié)構(gòu)的認識與理解.本題解法比較開放，思路較寬，但學生不容易切入，看似能解決，但真正要比較出4個代數(shù)式值的大小卻比較難.本題除了考查學生對不等式基礎知識、基本技能的掌握程度外，還考查學生在代數(shù)式的變形、運算等方面的能力，考查學生對數(shù)學問題的觀察、分析及思辨能力.

1 對問題條件與結(jié)論的分析

1.1 分析問題的已知條件

本題已知2組數(shù)各自的大小關系及2組數(shù)的和為定值1，解決的問題是比較2組數(shù)不同對應積之和的大小關系，問題反映出代數(shù)式和積之間的關系、不等與相等之間的關系、相似代數(shù)式結(jié)構(gòu)之間的關系.

1.2 分析問題的隱含條件

本題對于基礎一般的學生來說，最直接有效的辦法是特殊值法，但如果作為教學例題，要排除4個代數(shù)式值的大小關系必須分析原因，難點在于如何構(gòu)造出不同對應積的和式及對這些代數(shù)式的變形.本題隱含條件和潛在信息為2個正數(shù)和為定值且這2個數(shù)有大小關系，就可以比較出2個數(shù)與定值之間的大小關系.2組數(shù)之間即有著相對的獨立關系，又可以相互聯(lián)系在一起.

1.3 分析解決問題的關鍵

本題的主要方法是能運用綜合法及分析法來解決問題，能從選項中觀察到代數(shù)式結(jié)構(gòu)之間的關系，從而找到問題的突破口.能用通性通法(作差、作和法)及代數(shù)式常見變形與構(gòu)造為切入口，不斷尋找到條件與結(jié)論的關系，達到融會貫通的目的.

2 對問題條件與結(jié)論的代數(shù)結(jié)構(gòu)分析

2.1 特殊值法

本題從條件來看a1,a2,b1,b2均為不定值，且a1+a2=b1+b2=1，本題題型又為選擇題，據(jù)上分析可以選擇特殊值法得出答案.

解法1令a1=0.2,則a2=0.8,再令b1=0.4,則b2=0.6,通過計算可知選項A的值為0.56，選項B的值為0.4，選項C的值為0.44，而選項D的值為0.5，故選A.

2.2 作差(和)法

從選項中可以看出，選項A，B，C的結(jié)構(gòu)相似，聯(lián)想運用比較大小的常用方法——作差法，作差后可以分解因式，通過因式正負性的判斷可確定A，B，C的大小關系.

解法2因為

A-C= (a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=

(a1-a2)(b1-b2)>0,

所以

A>C.

又因為 A+C= (a1b1+a2b2)+(a1b2+a2b1)=

(a1+a2)(b1+b2)=1,

所以

又

B-C= (a1a2+b1b2)-(a1b2-a2b1)=

(a1-b1)(a2-b2),

因為

a1+a2=b1+b2=1，

所以若a1≥b1，則a2≤b2;若a1b2，從而

B≤C,

因此

故選A.

2.3 排序不等式法

注意到選項代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，有2組數(shù)并且2組數(shù)有一定的大小關系，結(jié)論又是2組數(shù)的積之和的大小關系，故可以聯(lián)想運用排序不等式來解決問題，只要能找到2組大小順序排定的數(shù)組即可用排序不等式構(gòu)造結(jié)論所需要的代數(shù)式.

解法3因為0

a1b1+a2b2>a1b2+a2b1，

所以

A>C.

又因為

a1+a2=b1+b2=1,

所以

從而

由排序不等式得

a2b1+a1b2≥a1a2+b1b2,

而

于是

故選A.

2.4 直接代入消元法

本題4個數(shù)之間既有相等關系，又有不等關系，條件與結(jié)論都涉及到4個字母參數(shù)，因此想到應用代入消元法，通過代入運算后再進行比較,可以讓代數(shù)式所涉及的字母減少，有利于對代數(shù)式值的大小進行判別.在代數(shù)式變形過程中通過換元、消元、變元等方法減少字母參數(shù)也是解決數(shù)學問題的常用方法.

解法4令a1=1-a2,b1=1-b2，則

A-B= (1-a2)(1-b2)+a2b2-(1-a2)a2-

(1-b2)b2=

(a2+b2)2+1>0,

從而

A>B.

又A-C= (1-a2)(1-b2)+a2b2-(1-a2)b2-

(1-b2)a2=

1-a2-b2+a2b2+a2b2-a2+a2b2-b2+a2b2=

1-2(a2+b2)+4a2b2=(1-2a2)(1-2b2)，

因為

0

且

a1+a2=b1+b2=1,

所以

從而

(1-2a2)(1-2b2)>0,

故

A>C.

又B-C= (a1a2+b1b2)-(a1b2-a2b1)=

(a1-b1)(a2-b2)=-(a2-b2)2≤0,

從而

B≤C,

即A>C≥B.故選A.

2.5 中值換元法

消元的方法除直接代入消元法、作差消元法外，還可以采用換元消元法，即通過計算比較2個代數(shù)式的大小.注意到已知條件中2個數(shù)和為定值1，故可以采用中值換元來達到減元、計算、比較的目的.

又s2+t2≥2st，顯然代數(shù)式中的最大值為A.

2.6 構(gòu)圖法

注意到選項結(jié)論中代數(shù)式結(jié)構(gòu)是正數(shù)積之和，因此聯(lián)想到初中教材中平方和公式的面積證法，構(gòu)造適當?shù)膱D形，運用面積來解決問題.

圖1

解法6如圖1構(gòu)造邊長為1的正方形，可知

因為

a2>a1>0,b2>b1>0,

所以

SⅠ>SⅢ,SⅡ>SⅣ,

即

通過畫以正方形邊為直徑的半圓可知

同理

故

故代數(shù)式中的最大值為A.

2.7 向量法

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，選項所給結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征正是向量內(nèi)積的坐標形式，因此可以通過建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，通過設定符合條件的向量坐標來構(gòu)造結(jié)論所需的結(jié)構(gòu)形式，運用向量內(nèi)積的性質(zhì)解決問題.

圖2

解法7如圖2建立直角坐標系，在線段PM上取2個點并設A(a1,a2)，B(b1,b2),由圖可知點A,B關于OP對稱的點坐標為A′(a2,a1),B′(b2,b1)，則

點B在點A的上方時也成立，因此

a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.

從而

故這4個代數(shù)式中A的值最大.

以上方法抓住了問題條件及結(jié)論中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征而采取相應的解題策略.本題雖然可以用特值法尋找問題的答案，但在教學過程中需要教師對其進行有理有據(jù)的分析，對本題的剖析應定位于對式的結(jié)構(gòu)分析，從而聯(lián)想正確的解題方法.選項中的代數(shù)式無論是通過代數(shù)構(gòu)造還是幾何構(gòu)造，其靈感都來源于原有較扎實的基礎知識和對于代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的聯(lián)想.

3 問題的變式

3.1 變結(jié)論

變式1若0

( )

分析對選項的結(jié)論平方后可以轉(zhuǎn)化成與原題相仿的題，代數(shù)式中值最大為A.

3.2 變條件

( )

A．a(chǎn)1b1+a2b2B．a(chǎn)1a2+b1b2

分析可以利用上述的向量法，構(gòu)造單位圓，在直線y=x上方部分取任意2個點A(a1,a2)，B(b1,b2),可知點A,B的坐標滿足條件，將選項結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量式的運算，可比較出大小，最大值為A.

3.3 變維度

變式3若0

( )

A．a(chǎn)1b1c1+a2b2c2B．a(chǎn)1b2c1+a2b1c2

分析可以利用排序不等式解決問題，代數(shù)式中值最大值為A.

3.4 變特殊為一般

關于變式還可以從其他角度進行變化，在此不一一闡述.

本題從擬題的角度來看，可以從2個層面來揣測出題者的意圖：一方面如果學生認為比較難，便可以運用特殊值法來猜想答案，雖然沒有百分之百的正確率，但也可以看出學生是否具有觀察、猜想、應變的能力；另一方面如果學生想百分之百解決此題，那必需要有較扎實的不等式的基礎知識、較熟練的運算技巧、較強的思維能力和較深的數(shù)學思想為支撐，這也是高考考查的重點.本題既可以用通性通法(作差法、代入消元法)，也可以用特性特技法(中值換元法、排序不等式、向量法、構(gòu)圖法)等，因此入口比較寬，但都不是一步能到達預期目標.本題的關鍵點是能挖掘出題目中隱含的信息，切入點是觀察代數(shù)式相似結(jié)構(gòu)之間的關系，在已學相應知識的最近區(qū)聯(lián)想類似解決問題的方法，從代數(shù)結(jié)構(gòu)上突破難點.本題的變式主要對選項的代數(shù)結(jié)構(gòu)做了變形，意在通過訓練達到熟練剖析代數(shù)結(jié)構(gòu)類型的目的，包括對式的構(gòu)造和轉(zhuǎn)化.

總之，在數(shù)學教學的過程中，不能盲目地追求數(shù)量不顧質(zhì)量，采用題海戰(zhàn)術(shù)，而應該去教會學生思考，培養(yǎng)學生善于思考.通過對代數(shù)式結(jié)構(gòu)的分析，聯(lián)系已學過的知識，從不同的視角入手解決問題，更能讓學生的思維遷移、發(fā)散、開拓和活躍，提高學生思維的敏捷性和靈活性，從而提高分析與解答數(shù)學題的能力.通過變式訓練，既能促使學生溝通知識點間的聯(lián)系，又能培養(yǎng)學生的思維能力，從中學到轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等基本的數(shù)學思想.同時學生可以通過對比、小結(jié)，得出自己的體會，充分發(fā)掘自身的潛能，從而提高學生的解題能力.

[1] 李歆．2008年江西高考數(shù)學第9題的規(guī)律探究[J]．數(shù)學通訊,2009(Z1):封三.