●孫郁娥 ●呂峰波

(嘉興市秀州中學(xué) 浙江嘉興 314033) (嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314000)

從高考三角問題看正弦、余弦定理的辯證統(tǒng)一

●孫郁娥 ●呂峰波

(嘉興市秀州中學(xué) 浙江嘉興 314033) (嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314000)

解三角形是高考中的常見試題，縱觀2012年全國(guó)各地的高考數(shù)學(xué)卷，其中不乏各類解三角形的題，歸納起來有以下4種類型：

(1)已知兩角和任一邊，解三角形；

(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形；

(3)已知兩邊及其夾角，解三角形；

(4)已知三邊，解三角形.

事實(shí)上，這4類解三角形問題在教科書上已給出了明確的解法，而且很多教學(xué)參考書上把它們的解法歸納為：利用正弦定理可以解決類型(1)和類型(2)；利用余弦定理可以解決類型(3)和類型(4).筆者發(fā)現(xiàn)這樣的歸納很容易把學(xué)生帶入一個(gè)誤區(qū)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為類型(1)和類型(2)必須用正弦定理來做，而類型(3)和類型(4)則只能用余弦定理去解決.

而正弦、余弦定理作為揭示一般三角形邊角關(guān)系的重要定理，它們之間不是相互獨(dú)立的，而是辯證統(tǒng)一的關(guān)系.從證明方法上看，兩者可以有各自獨(dú)立的證明方法，也可以互推，因此用正弦定理能解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然,只是不同的方法計(jì)算繁簡(jiǎn)不一.下面筆者以2012年的數(shù)學(xué)高考題為例，來闡述這一問題.

1 已知兩角和任一邊，解三角形

例1

( )

(2012年廣東省數(shù)學(xué)高考文科試題)

而事實(shí)上，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，也可以用余弦定理得

將a,A,B的值代入解方程組即可得到b，c，C.只是這個(gè)方程組解起來有點(diǎn)麻煩，嘗試后有意外發(fā)現(xiàn).3個(gè)式相加得

0=a2+b2+c2-2bccosA-2accosB-2abcosC,

即 0=a2cos2B+b2cos2A+c2-2bccosA-2accosB+

2abcosBcosA+a2sin2B+b2sin2A-2abcosBcosA+

2abcos(A+B),

亦即0=(acosB+bcosA-c)2+(asinB-bsinA)2，

因此

asinB=bsinA，c=acosB+bcosA，

即csinB=acosBsinB+bcosAsinB=

bsinAcosB+bcosAsinB=bsinC,

評(píng)注由此可見,已知兩角和任一邊時(shí)，用正弦定理求解比用余弦定理求解在計(jì)算上更簡(jiǎn)單，因此我們常說用正弦定理解決此類問題.而用余弦定理去求解也是可行的，只不過求解方程組的過程要復(fù)雜一些，但最后殊途同歸.

2 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形

例2

(2012年北京市數(shù)學(xué)高考文科試題)

而事實(shí)上，也可以用余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA，

將a，b，A的值代入整理，得

解得

但此處涉及到一個(gè)問題就是所得的一元二次方程的根可以有2個(gè)，2個(gè)根是否都滿足條件呢？如果有增根，又該如何取舍？筆者經(jīng)過仔細(xì)推敲，發(fā)現(xiàn)只要是正根，必定均滿足條件，無需檢驗(yàn)?zāi)芊駱?gòu)成三角形.簡(jiǎn)單證明如下：

由余弦定理知

a2=b2+c2-2bccosA，

將a，b，A的值代入整理得關(guān)于c的一元二次方程

c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0,

從而

Δ=(-2bcosA)2-4(b2-a2)=4(a2-b2sin2A).

同理,當(dāng)A為銳角時(shí)，分ab這5種情況討論即可.

評(píng)注由此可見,類型(2)也是2個(gè)定理均可以用.一般來說，求角用正弦定理更快捷，若求第三邊，則用余弦定理只需解一個(gè)方程即可完成，比用正弦定理更直接.

3 已知兩邊及其夾角，解三角形

例3

(2012年重慶市數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析此題一般考慮先用余弦定理求出邊

若不是特殊三角形，則可用余弦定理求出cosB，再求sinB，也可以先求sinC，再用正弦定理求出sinB.不管用哪一種方法，這里都要先用余弦定理求出第三邊c.

同樣來思考一個(gè)問題，可不可以先用正弦定理來計(jì)算呢？

化簡(jiǎn)得

bsinBcosC+bcosBsinC=asinB,

即

解得

于是

評(píng)注由此可見，類型(3)也是既可以用余弦定理也可以用正弦定理來解決.我們發(fā)現(xiàn)先用正弦定理計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，因此大多數(shù)教學(xué)參考書上常將此類問題歸納為用余弦定理可以解決的問題.

4 已知三邊，解三角形

例4如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE=1.聯(lián)結(jié)EC，ED，則

( )

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考文科試題)

那么已知三邊求角是否只能用余弦定理解決呢？當(dāng)然不是，它同樣也可以用正弦定理.不妨設(shè)△ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別是a，b，c,且a

(2)

(3)

根據(jù)式(1)還可以得到

asin(A+B)=csinA，

即

asinAcosB+acosAsinB=csinA.

將式(2),式(3)代入，整理得

即

又因?yàn)锽是銳角，所以

繼續(xù)代入,得

兩邊平方后整理,得

即

b2=c2+a2-2accosB.

從而可得角B的值，同理可得角A的值，最后得到角C.

評(píng)注類型(4)用余弦定理比用正弦定理簡(jiǎn)單很多，因此類型(4)通常采用余弦定理求解，用正弦定理也是可行的，只是路途曲折很多.在用正弦定理求解的過程中，最后推得的結(jié)果剛好就是余弦定理的結(jié)論.

正因?yàn)檎?、余弦定理是互通的、辯證統(tǒng)一的，所以解三角形的4類問題，其實(shí)都既可以用正弦定理去做，又可以用余弦定理去做.只是類型(1)和類型(2)用正弦定理做、類型(3)和類型(4)用余弦定理做，在計(jì)算過程上相對(duì)來說可略勝一籌，計(jì)算更便捷.

[1] 劉清源.構(gòu)建高效教學(xué) 探求數(shù)學(xué)本質(zhì)——如何解好三角形[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2011(36):78-79.

[2] 覃埋基.一類解三角形問題的另一解法[J].數(shù)學(xué)通訊，2003(12)：9.