彭崇梅，張啟偉，李元兵

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

拉索是斜拉橋與吊桿式拱橋等索支承橋梁的重要受力構(gòu)件，由于施工和使用過(guò)程中的磨損、老化、腐蝕、斷絲等原因，相當(dāng)一部分拉索在成橋后不久便出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷，甚至導(dǎo)致橋梁坍塌.高強(qiáng)鋼絲斷絲或鋼絞線(xiàn)斷絲是拉索損傷的重要形式之一，斷絲的發(fā)生對(duì)拉索內(nèi)力重分布及整根拉索的損傷演化起著決定性作用.研究表明，拉索斷絲損傷演化與荷載形式以及鋼絲間的接觸、摩擦、滑移及鋼絲材料本構(gòu)等因素有關(guān).

目前，半平行鋼絲索是實(shí)際工程中拉索的主要應(yīng)用形式，但是，這方面的研究文獻(xiàn)較少.Matteo等［1］基于平行鋼絲假定的延性模型和延-脆性模型，采用Monte-Carlo方法研究了Williamsburg橋主纜的安全系數(shù)，并通過(guò)試驗(yàn)，推薦斷絲拉力影響長(zhǎng)度取3倍主纜絲扣間距.Faber等［2］基于相互平行直鋼絲的并聯(lián)模型，采用概率方法研究了半平行鋼絲索的靜力拉伸強(qiáng)度和疲勞壽命.上述研究是基于平行鋼絲假定的并聯(lián)模型，未考慮鋼絲間接觸、摩擦和滑移等相互作用因素，且未涉及斷絲模型，但與半平行鋼絲索幾何相近的鋼絞線(xiàn)研究則取得了一定的進(jìn)展.Cappa［3］通過(guò)測(cè)試一股鋼絞線(xiàn)（7絲）外層單根鋼絲斷裂后發(fā)現(xiàn)，與斷絲相鄰的兩根鋼絲拉力比原來(lái)增大20%，而斷絲對(duì)稱(chēng)處鋼絲拉力則比原來(lái)減小20%.Raoof等［4-5］基于半連續(xù)模型，發(fā)現(xiàn)在鋼絞線(xiàn)（鋼絲繩）中，外層單根鋼絲斷裂后，在影響長(zhǎng)度內(nèi)，斷絲內(nèi)力隨到斷絲處距離的增加而增大，并且斷絲影響長(zhǎng)度存在一個(gè)上限，約為2.5倍捻距.MacDougall［6］研究了砼構(gòu)件中無(wú)黏結(jié)預(yù)應(yīng)力7絲鋼絞線(xiàn)對(duì)稱(chēng)斷絲后鋼絲內(nèi)力分布，考慮了鋼絲間接觸和摩擦的影響，發(fā)現(xiàn)斷絲拉力的增加與到斷絲處距離成指數(shù)關(guān)系，而未斷鋼絲則呈現(xiàn)指數(shù)衰減.李元兵［7］在 MacDougall［6］的基礎(chǔ)上，采用有限元方法研究了鋼絞線(xiàn)吊桿斷絲后截面內(nèi)鋼絲拉力分布及護(hù)套握裹力、鋼絲間摩擦系數(shù)等對(duì)鋼絲拉力分布的影響.

鑒于半平行鋼絲索具有螺旋外形的特點(diǎn)及本身構(gòu)造的特殊性，內(nèi)部鋼絲接觸復(fù)雜，既不能采用并聯(lián)模型，也不能直接應(yīng)用鋼絞線(xiàn)研究中的現(xiàn)象和規(guī)律，且從以往研究來(lái)看，用以描述鋼絲間接觸、摩擦和滑移的物理量也很難通過(guò)試驗(yàn)方法獲得，從而難以準(zhǔn)確描述多層半平行鋼絲索的受力行為.本文基于Love［8］曲桿理論，忽略鋼絲彎矩、扭矩和剪力，考慮泊松效應(yīng)對(duì)鋼絲螺旋半徑的影響以及鋼絲間的接觸力和摩擦力，推導(dǎo)了多層半平行鋼絲索的對(duì)稱(chēng)斷絲模型；通過(guò)數(shù)值計(jì)算和參數(shù)分析研究了斷絲后索體內(nèi)鋼絲拉力分布規(guī)律，討論了鋼絲間摩擦系數(shù)、護(hù)套握裹力、不同徑向位置斷絲對(duì)鋼絲拉力分布的影響.

1 基本方程

考慮一n層半平行鋼絲索（見(jiàn)圖1），鋼絲彈性模量為E，面積為A0，吊桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)，索體中有nb根斷絲，斷絲排列為對(duì)稱(chēng)布置（見(jiàn)圖2）.以鋼絲斷裂處為參考點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)），x軸平行于核心鋼絲軸向，協(xié)同坐標(biāo)s沿鋼絲螺旋方向，兩坐標(biāo)軸之間換算關(guān)系為：s＝x／sinα，索體內(nèi)各鋼絲半徑均為R，螺旋角為α.索體中鋼絲根據(jù)鋼絲螺旋半徑進(jìn)行分層，中心鋼絲為第0層，半徑為R1，其余各層依次由里向外進(jìn)行編號(hào)，各層鋼絲螺旋半徑為各外層鋼絲中心相對(duì)螺旋中心的距離，以ri表示，i表示鋼絲層編號(hào)（見(jiàn)圖2a）.為方便描述，圖中六邊形虛線(xiàn)所圍成的鋼絲環(huán)分別對(duì)應(yīng)第1，2，3，…，k環(huán)鋼絲.斷絲后護(hù)套對(duì)斷裂鋼絲的握裹力沿軸向呈均勻分布，單位長(zhǎng)度護(hù)套握裹力為ws.各鋼絲間摩擦系數(shù)為μ，內(nèi)部接觸力為Xms，i，則鋼絲間單位長(zhǎng)度的摩擦力為f（s）＝μXms，i，斷絲軸力為T(mén)b（s），未斷鋼絲軸力為 Tu，i（s），斷絲拉索總軸向力為Fb，完好拉索總軸向力為F.

圖1 半平行鋼絲索斷絲示意圖Fig.1 Geometry sketch of semi-parallel wire cable with break wires

1.1 平衡方程

假定：所有斷絲均發(fā)生在軸向同一位置，鋼絲間完全接觸，摩擦系數(shù)為一定值，并且忽略鋼絲間接觸變形.根據(jù)Love［8］曲桿理論，單根鋼絲有六個(gè)獨(dú)立平衡方程，受力如圖3所示.圖3中G，G′和H 為彎矩分量和扭矩分量；K，K′和θ為曲率分量和扭率合量；N，N′為剪力分量；T為軸向拉力分量，單位長(zhǎng)度外部荷載分量為X，Y，Z.

對(duì)多層半平行鋼絲索，忽略彎矩、扭矩和剪力的影響，X ＝Xms，i（s）-ΔXms，k，Z＝μ（Xms，i（s）＋ΔXms，k＋2Pms，k），鋼絲平衡方程可簡(jiǎn)化為

式中：Pms，k表示第k 環(huán)鋼絲間環(huán)向接觸力，ΔXms，k為第（k＋1）環(huán)鋼絲作用于第k環(huán)鋼絲的接觸力，計(jì)算外環(huán)鋼絲作用于內(nèi)環(huán)鋼絲的接觸力時(shí)，可取該環(huán)鋼絲接觸力平均值進(jìn)行簡(jiǎn)化.

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，外層未斷鋼絲的軸向應(yīng)變?chǔ)蝘（s）和剪切應(yīng)變?chǔ)觟（s）可表示為

式中：ε（s）表示拉索軸向應(yīng)變.

為簡(jiǎn)化后續(xù)推導(dǎo)過(guò)程，假定加載和斷絲過(guò)程中索體不發(fā)生扭轉(zhuǎn)，即τi（s）＝0，代入式（3）和（4），可得

式中：λi表示第i根鋼絲應(yīng)變系數(shù).

忽略鋼絲間的接觸變形，僅考慮泊松效應(yīng)對(duì)螺旋半徑改變的影響，則螺旋半徑的變分δri可表示為

式中：νj表示第j層鋼絲的泊松比.由于半平行鋼絲排列的特殊性，內(nèi)層鋼絲對(duì)外層鋼絲螺旋半徑的影響取平均值進(jìn)行簡(jiǎn)化.

未斷鋼絲總拉力可表示為

式中：Ac為中心鋼絲面積，mi表示第i層鋼絲數(shù)，Ku為未斷鋼絲總拉力系數(shù)，未斷鋼絲總拉力又可表示為

聯(lián)立（7），（8）兩式，可得

則外層未斷鋼絲拉力可表示為

未斷鋼絲接觸力可表示為

式中等號(hào)右邊第一項(xiàng)為第i層鋼絲的附加接觸力，計(jì)算時(shí)可將外環(huán)鋼絲對(duì)內(nèi)環(huán)鋼絲接觸力取平均值進(jìn)行簡(jiǎn)化，如 ΔXms，2＝（2 Xms，4＋Xms，5）／2，而斷絲所在鋼絲環(huán)對(duì)內(nèi)環(huán)鋼絲的接觸力應(yīng)修正為

式中：ib為斷絲所在鋼絲層，kb為斷絲所在鋼絲環(huán)，ηi和φkb-1為權(quán)系數(shù)，與kb有關(guān)；當(dāng)斷絲處于最外層時(shí)，上式中 ΔXms，kb即為護(hù)套握裹力ws.

由式（11）和（12）可以看出，接觸力表達(dá)式均存在公因子［Fb-nbTb（s）sinα］，即

聯(lián)立式（1），（2）和（13）可得

式中：λΔX，b和λP，b分別為 ΔXms，b和 Pms，b提取公因式［Fb-nbTb（s）sinα］時(shí)的系數(shù).引入邊界條件，斷絲處，Tb（0）＝0，求解上述微分方程，可得

由式（15）可知斷絲拉力的增加與到斷絲處距離成指數(shù)關(guān)系.

1.2 影響長(zhǎng)度La

隨著斷絲拉力的增加，未斷鋼絲中拉力則會(huì)相應(yīng)減少，當(dāng)同一層中斷絲和未斷鋼絲拉力相等時(shí)，對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度定義為影響長(zhǎng)度，以L(fǎng)a表示.

完好拉索外層鋼絲拉力為

當(dāng)x＝La／2時(shí)，式（17）與Tb（La／2）相等

求解，可得影響長(zhǎng)度La為

由式（19）可以看出，影響長(zhǎng)度與拉索破斷力無(wú)關(guān)，與內(nèi)部鋼絲摩擦系數(shù)成反比.

1.3 索力剩余系數(shù)γ

索力剩余系數(shù)γ可定義為斷絲后索力Fb與完好時(shí)索力F的比值

計(jì)算索力剩余系數(shù)時(shí)，引入相容條件：Δb＝Δ.其中，

當(dāng)影響長(zhǎng)度大于索長(zhǎng)，即La＞L時(shí)，積分區(qū)間為［0，L／2］，由式（9），（15）和（16）可求得索體延伸量為

其中，

引入相容條件，相應(yīng)的索力剩余系數(shù)

當(dāng)影響長(zhǎng)度小于等于索長(zhǎng)，即La≤L時(shí)，積分區(qū)間為［0，La／2］，延伸量為影響長(zhǎng)度內(nèi)和影響長(zhǎng)度外延伸量之和，由式（9），（15），（16）和（21）可求得索體延伸量為

引入相容條件，相應(yīng)的索力剩余系數(shù)γ為

2 方程的求解

對(duì)于給定的半平行鋼絲索，先假定螺旋鋼絲半徑變化量δri為某一量值，代入式（5），可得λi，將新的λi代入式（6），得到新一輪的δri值，再回代式（5），如此循環(huán)迭代，直到相鄰兩次循環(huán)的δri變化值小于給定誤差為止；將計(jì)算得到的λi代入式（7），得未斷鋼絲總拉力系數(shù) Ku，代入式（10）和（11），得外層未斷鋼絲拉力 Tu，i和接觸力Xms，i，對(duì)于給定的坐標(biāo)s，假定 Tb（s），代入式（1），（12）和（13），可得ΔXms，b，將ΔXms，b代入式（14）和（15），可得新一輪的Tb（s）和接觸力 ΔXms，b，如此循環(huán)，直到前后兩輪計(jì)算得到的ΔXms，b差值小于給定誤差，然后進(jìn)入下一坐標(biāo)s＋Δs的計(jì)算，重復(fù)以上過(guò)程，直到整根索長(zhǎng)計(jì)算完為止.將上述計(jì)算結(jié)果代入式（19），可得影響長(zhǎng)度La，代入式（25）或（28），可得索力剩余系數(shù)γ.全部計(jì)算過(guò)程可通過(guò)編程實(shí)現(xiàn).

3 數(shù)值分析與討論

為討論各參數(shù)取值對(duì)對(duì)稱(chēng)斷絲模型的影響，參考橋梁工程中半平行鋼絲纜索（吊桿）構(gòu)造的技術(shù)參數(shù)，如無(wú)特別說(shuō)明，均以Ф5 -127的半平行鋼絲索為例進(jìn)行討論，索長(zhǎng)L為6m，鋼絲直徑為5mm，鋼絲彈性模量E取197.9GPa，泊松比ν取0.3，內(nèi)部鋼絲間摩擦系數(shù)μ取0.12，護(hù)套握裹力ws為2.0×10-6N·mm-1；n等于15，斷絲數(shù)為8根，所有斷絲斷口均位于L／2截面處.

3.1 索內(nèi)鋼絲拉力分布

拉索出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)斷絲時(shí)，索體內(nèi)鋼絲拉力分布如圖4和5所示，圖中Ti表示第i層鋼絲拉力，T0表示拉索平均鋼絲拉力.圖4表示斷絲發(fā)生在第4層時(shí)對(duì)應(yīng)的索內(nèi)鋼絲拉力分布；圖5表示假定斷絲分別發(fā)生在第7層、第9層和第13層時(shí)對(duì)應(yīng)的索內(nèi)鋼絲拉力分布.

結(jié)果表明，對(duì)稱(chēng)斷絲情況下鋼絲拉力分布規(guī)律為：

（1）在斷絲影響長(zhǎng)度范圍內(nèi)，斷絲和未斷鋼絲拉力隨斷絲位置的指數(shù)分布規(guī)律不明顯，基本成線(xiàn)性關(guān)系.

（2）斷絲拉力隨到斷裂處距離的增加近似線(xiàn)性增加，斷絲拉力變化明顯；而未斷鋼絲在斷裂處拉力最大，隨到斷裂處距離的增加近似線(xiàn)性衰減，最大鋼絲拉力位于斷絲處，拉力增長(zhǎng)系數(shù)為6.71%，與斷絲率相等.

（3）斷絲后，在影響長(zhǎng)度內(nèi)，各未斷鋼絲拉力增大，但對(duì)于多層平行鋼絲索，當(dāng)斷絲數(shù)相對(duì)索體內(nèi)總鋼絲數(shù)較小時(shí)，拉力變化不明顯；而在影響長(zhǎng)度外，索體內(nèi)同層各鋼絲拉力相等，斷絲越往外層，斷絲拉力增長(zhǎng)越緩慢.

3.2 摩擦系數(shù)的影響

拉索截面內(nèi)鋼絲受環(huán)境腐蝕等因素影響，摩擦系數(shù)不斷增大，摩擦力對(duì)索內(nèi)各鋼絲拉力分布的影響加劇.根據(jù)文獻(xiàn)［10］，建議鋼絞線(xiàn)摩擦系數(shù)取0.11～0.22，由于半平行鋼絲索中防腐油脂有一定的潤(rùn)滑作用，適當(dāng)放寬，取摩擦系數(shù)μ變化范圍為0.05～0.20，相應(yīng)的斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)變化曲線(xiàn)如圖6和7所示.圖6和7中曲線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)斷絲發(fā)生在索體內(nèi)第4層、第7層和第9層時(shí)，斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)的變化.

由圖6和7可知：

（1）隨著摩擦系數(shù)的增加，斷絲影響長(zhǎng)度逐漸變小，對(duì)于給定的摩擦系數(shù)，斷絲越往外層，影響長(zhǎng)度越大，且隨著摩擦系數(shù)的增大，影響長(zhǎng)度減小的速度變緩.

（2）隨著摩擦系數(shù)的增加，斷絲索力剩余系數(shù)逐漸變大，對(duì)于給定的摩擦系數(shù)，斷絲越往外層，索力剩余系數(shù)減小得越多，索力剩余系數(shù)變化范圍越窄.當(dāng)斷絲位于第4層時(shí)，最小索力剩余系數(shù)為95.22%，變化寬度為3.26%；而當(dāng)斷絲位于第9層時(shí)，最小索力剩余系數(shù)為94.08%，略高于拉索斷絲剩余率93.70%，變化寬度為1.91%.

3.3 護(hù)套握裹力的影響

根據(jù)拉索的制作工藝，索內(nèi)鋼絲在編束、輕度扭絞后，在外層反向繞制纏包帶，再熱擠HDPE護(hù)套，索內(nèi)鋼絲在纏包和護(hù)套冷凝的過(guò)程中均會(huì)對(duì)索內(nèi)鋼絲產(chǎn)生徑向接觸力，稱(chēng)為護(hù)套握裹力，護(hù)套對(duì)索體內(nèi)鋼絲的握裹力難以準(zhǔn)確計(jì)算，此處假定為均勻受壓的圓環(huán)，當(dāng)護(hù)套應(yīng)力為1MPa時(shí)，可得護(hù)套握裹力為1.0×10-5N·mm-1，護(hù)套握裹力變化范圍為1.0×10-6～1.0×10-5N·mm-1，相應(yīng)的影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)變化曲線(xiàn)如圖8和9所示.圖8和9中曲線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)斷絲發(fā)生在索體內(nèi)第4層、第7層和第9層時(shí)，斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)的變化.

由圖8和9可知：

（1）隨著護(hù)套握裹力的增加，斷絲影響長(zhǎng)度逐漸減小，對(duì)于給定的護(hù)套握裹力，斷絲越往外層，影響長(zhǎng)度越大，且隨著護(hù)套握裹力的增大，影響長(zhǎng)度變化趨于穩(wěn)定，總大于1倍捻距，如斷絲位于第4層時(shí)，最小影響長(zhǎng)度為2.047m，大于1倍捻距1.572m.

（2）隨著護(hù)套握裹力的增加，索力剩余系數(shù)逐漸增加，且增加速度趨緩，對(duì)于給定的護(hù)套握裹力，斷絲越往外層，索力剩余系數(shù)越小，索力剩余系數(shù)變化范圍越寬.當(dāng)斷絲位于第4層時(shí)，最小索力剩余系數(shù)為97.10%，變化寬度為1.69%；而當(dāng)斷絲位于第9層時(shí)，最小索力剩余系數(shù)為94.53%，變化寬度為3.21%.

3.4 斷絲徑向位置的影響

當(dāng)斷絲位于不同鋼絲層時(shí)，斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)的變化如圖10和11所示.圖10和11中斷絲徑向位置分別對(duì)應(yīng)斷絲發(fā)生在索體內(nèi)第4層、第7層、第9層和第13層（最外層）.

由圖10和11可以看出：

（1）影響長(zhǎng)度隨斷絲徑向位置的增加而快速增加；對(duì)于給定的斷絲徑向位置，隨著摩擦系數(shù)的減小，影響長(zhǎng)度增加，且斷絲越往外層，影響長(zhǎng)度增加的速度越快，影響長(zhǎng)度大于1倍捻距，小于25倍捻距.

（2）索力剩余系數(shù)隨斷絲徑向位置的增加而下降，且斷絲越往外層，索力剩余系數(shù)減小的速度變緩；對(duì)于給定的斷絲徑向位置，隨著摩擦系數(shù)的減小，索力剩余系數(shù)相應(yīng)減少，索力剩余系數(shù)變化范圍越窄.當(dāng)摩擦系數(shù)為0.08時(shí)，最小索力剩余系數(shù)為93.95%，高于拉索斷絲剩余率93.70%，變化寬度為2.36%；當(dāng)摩擦系數(shù)為0.20時(shí)，最小索力剩余系數(shù)為94.69%，變化寬度為3.79%.

3.5 斷絲數(shù)目的影響

拉索由于施工或使用過(guò)程中的磨損、腐蝕等原因，索體鋼絲會(huì)發(fā)生斷裂，且隨著腐蝕的加劇或車(chē)輛、溫度等外荷載作用，會(huì)使截面內(nèi)其他鋼絲進(jìn)一步斷裂.為研究斷絲數(shù)目對(duì)索體鋼絲拉力分布的影響，假定斷絲所在鋼絲層為第7層，變化斷裂鋼絲數(shù)目nb（3～9根），相應(yīng)的斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)變化曲線(xiàn)如圖12和13所示.

由圖12和13可知：隨著索內(nèi)斷絲數(shù)目的增加，斷絲影響長(zhǎng)度逐漸變小，但影響長(zhǎng)度總大于1倍捻距；索力剩余系數(shù)隨索內(nèi)斷絲數(shù)目的增加而減小，且兩者基本成線(xiàn)性關(guān)系，索力剩余系數(shù)變化范圍不大.最小索力剩余系數(shù)為95.57%，變化寬度為2.80%.

4 結(jié)論

（1）斷絲拉力隨到斷裂處距離的增加成線(xiàn)性增加；未斷鋼絲在斷裂處拉力最大，隨到斷裂處距離的增加呈現(xiàn)線(xiàn)性衰減.在影響長(zhǎng)度外，各鋼絲拉力分布又變?yōu)榫鶆?

（2）通過(guò)參數(shù)敏感性分析，探討了各參數(shù)對(duì)影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)的影響.結(jié)果表明摩擦系數(shù)越大，護(hù)套握裹力越大，斷絲越靠里層，影響長(zhǎng)度越小.影響長(zhǎng)度變化范圍較大，在常用參數(shù)范圍內(nèi)，為1～25倍捻距；索力剩余系數(shù)受摩擦系數(shù)和斷絲徑向位置影響最大.當(dāng)斷絲位于第13層時(shí)，索力剩余系數(shù)最小，為93.95%，高于拉索斷絲剩余率93.70%，各參數(shù)變化時(shí)，索力剩余系數(shù)最大變化寬度可達(dá)3.79%.

實(shí)際工程中，拉索由于腐蝕、磨損等因素引起的斷絲多為多層斷絲或非對(duì)稱(chēng)斷絲，斷絲形式、鋼絲間接觸變形、鋼絲斷口處的滑移等均會(huì)改變索內(nèi)鋼絲的拉力分布，這些因素的影響值得進(jìn)一步研究.

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