郭 華

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067)

1 全轉(zhuǎn)置矩陣及其性質(zhì)

全轉(zhuǎn)置矩陣有如下一些性質(zhì):

引理 1［1，2］設(shè) A∈Rm×n，則下述結(jié)論成立:

(1)(AO)O=A.

(2)A，B是同型矩陣時(shí)(A+B)O=AO+BO.

(3)λ 為常數(shù)時(shí)，(λA)O=λAO.

(4)A與B可相乘時(shí)，(AB)O=AOBO.

(5)(AO)T=(AT)O.

(6)用AST表示A的次轉(zhuǎn)置矩陣，則AST=(AT)O=(AO)T.

引理 2［3］設(shè) A∈Rn×n，則有:

(1)|AO|=|A|.

(2)A 是可逆矩陣時(shí)，AO也可逆，且(AO)－1=(A－1)O.

(3)用A*表示A的伴隨矩陣，有(A*)O=(AO)*.

(4)A，B 均是 n階可逆矩陣，則(AB)O也可逆，且((AB)O)－1=(B－1)O(A－1)O.

(5)A是可逆矩陣時(shí)，k是不為零的常數(shù)，則(kA)O也可逆，且((kA)O)

(6)A 是可逆矩陣時(shí)，|(AO)－1|=|A－1|.

2 全轉(zhuǎn)置正交矩陣和它的一些性質(zhì)

定義2 對(duì)A∈Rn×n，如AAO=AOA=I，則稱A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

性質(zhì)1 設(shè)A，B∈Rn×n，且均為全轉(zhuǎn)置正交矩陣，則

(1)A 可逆，且 A－1=AO.

(2)|A|= ±1.

(3)AT，A－1，AO，AST，A*也是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

(4)當(dāng)A，B可交換時(shí)，AB也是全轉(zhuǎn)置正交矩陣，從而Ak(k為整數(shù))也是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

證明 (1)顯然成立.

(2)由 AOA=I?|AO||A|=|I|=1，?|A|2=1，?|A|= ±1.

(3)由AOA=I?(AOA)T=IT，?AT(AO)T=I?AT(AT)O=I，所以AT是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

由 AOA=I?(AOA)－1=I－1，?A－1(AO)－1=I?A－1(A－1)O=I，所以 A－1是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

由AOA=I?(AOA)O=IO，?(AO)OAO=I，所以AO是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

由 AOA=I?(AOA)T=IT，?AT(AO)T=I，因?yàn)?AO)T=AST，AT=(AST)O，所以(AST)OAST=I，AST是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

因?yàn)?A 可逆，且 A*=|A|A－1，所以由 A*(A*)O=|A|A－1(|A|A－1)O=|A|2A－1(A－1)O=A－1(AO)－1=(AOA)－1=I，可知A*是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

(4)因?yàn)锳B=BA，所以(AB)O(AB)=AOBOAB=AOBOBA=AOA=I.可知AB是全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

性質(zhì)2 設(shè)A，B可逆，且存在全轉(zhuǎn)置正交矩陣Q，使得A=BQ，且B，Q可交換，則有AOA=BOB.

證明 因?yàn)?A=BQ，QOQ=I，BQ=QB，所以 AOA=(BQ)O(BQ)=BOQOQB=BOB.

性質(zhì)4 設(shè)A，B是n階全轉(zhuǎn)置正交矩陣，若|AB|=－1，則|A+B|=0.

證明 因?yàn)?AOA=I，BOB=I，所以|A+B|=|ABOB+AAOB|=|A(BO+AO)B|=|A||(B+A)O||B|=|A||B+A||B|=|AB||A+B|= － |A+B|，于是|A+B|=0.

性質(zhì)5 設(shè)A，B是n階全轉(zhuǎn)置正交矩陣，若|A|+|B|=0，則|A+B|=0.

證明 由性質(zhì)4的推導(dǎo)過(guò)程有|A+B|=|A||B+A||B|=－|A|2|A+B|=－|A+B|，于是|A+B|=0.

性質(zhì)6 設(shè)A∈Rn×n，A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣，若λ是A的特征值，則是AO的特征值.

證明 因?yàn)?A－1=AO，而是A－1的特征值，即是AO的特征值.

性質(zhì)7 設(shè)A∈Rn×n，A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣，若|A|=－1，則λ=－1一定是A的特征值;若|A|=1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則有λ=1一定是A的特征值.

證明 當(dāng)|A|=－1時(shí)，因?yàn)閨A+I|=|A+AAO|=|A||I+AO|=|A||(I+A)O|=|A||I+A||=－|A+I|，即有|A+I|=0，λ=－1為A的特征值.

若|A|=1，當(dāng)A的階數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，|A－I|=|A－AAO|=|A||I－AO|=|A||(I－A)O|=|I－A|=(－1)n|A－I|= －|A－I|，即有|A－I|=0，λ=1為A的特征值.

性質(zhì)8 設(shè)B∈Rn×n，B為全轉(zhuǎn)置正交矩陣，I+B是可逆矩陣，則存在矩陣A，A滿足 A=－AO，使B=(I－ A)(I+A)－1.

證明 因?yàn)?/p>

用(I+B)－1左乘和右乘式(2)兩端可得(I－B)(I+B)－1=(I+B)－1(I－B)，令

則 A+I=(I+B)－1(I－B)+I=(I+B)－1(I－B)+(I+B)－1(I+B)=(I+B)－12I，可知 A+I可逆.

用I+B左乘式(1)得

因?yàn)?A+I可逆，式(6)兩端右乘(A+I)－1，即得 B=(I－A)(I+A)－1.得證.

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