楊 穎

(馬鞍山師范高等專(zhuān)科學(xué)校 軟件與食品工程系, 安徽 馬鞍山 243041)

亞純P葉星象函數(shù)的一個(gè)新子類(lèi)

楊 穎

(馬鞍山師范高等專(zhuān)科學(xué)校 軟件與食品工程系, 安徽 馬鞍山 243041)

應(yīng)用函數(shù)Φp(a,c;z),對(duì)f(z)∈∑p,我們用Hadamard卷積定義∑p上的一個(gè)新的線性算子Lp(a,c):Lp(a,c)f(z)=Φp(a,c;z)*f(z).應(yīng)用這個(gè)新算子去定義∑p中的一個(gè)新的函數(shù)類(lèi)Tp(a,c;α),引入新算子Lp(a,c)研究函數(shù)類(lèi)Tp(a,c;α)的一些性質(zhì).

解析函數(shù); 亞純P葉星象函數(shù); 線性算子; Hadamard卷積

設(shè)∑p表示在去心單位圓盤(pán)E*={z∈C:0lt;|z|lt;1}內(nèi)解析,且形如

(1)

的全體函數(shù)類(lèi)．

定義函數(shù)Φp(a,c;z)為

這里(x)k是Pochhammer符號(hào)．

應(yīng)用函數(shù)Φp(a,c;z),對(duì)f∈∑p,我們用Hadamard卷積定義∑p上的一個(gè)新的線性算子Lp(a,c),

Lp(a,c)f(z)=Φp(a,c;z)*f(z)．

若函數(shù)f(z)∈∑p,且滿(mǎn)足不等式

(2)

則稱(chēng)該函數(shù)屬于Tp(a,c;α)類(lèi)．此處agt;0,0≤αlt;1且滿(mǎn)足

(3)

本文將引入新的算子Lp(a,c)來(lái)證明

Tp(a+1,c;α)?Tp(a,c;α)

(4)

及Tp(a,c;α)的其它一些性質(zhì)．

因T0(a,c;α)是滿(mǎn)足以下條件的函數(shù)類(lèi),

(5)

為了證明我們的主要結(jié)果,需要下面的引理．

引理1[1-2]設(shè)w(z)為E內(nèi)非常數(shù)的解析函數(shù),w(0)=0．若|w(z)|在圓|z|=rlt;1中的z0達(dá)到它的最大值,則有z0w′(z0)=kw(z0),這里的k是一個(gè)實(shí)數(shù)且k≥1．

定理1Tp(a+1,c;α)?Tp(a,c;α)．

證明令f(z)∈Tp(a+1,c;α),則

(6)

我們發(fā)現(xiàn)式(6)中蘊(yùn)含著這樣的一個(gè)不等式

(7)

考慮由下式定義的E中的解析函數(shù)w(z)

(8)

顯然w(0)=0．式(8)可以寫(xiě)成

(9)

將式(9)對(duì)數(shù)微分且用以下恒等式(易證)

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)f(z)

(10)

得到

(11)

我們聲明在E中|w(z)|lt;1．否則由引理1,存在E中一點(diǎn)z0,使得z0w′(z0)=kw(z0),這里|w(z0)|=1且k≥1 ，式(11)可推出

(12)

這與式(6)矛盾．因此在E中當(dāng)|w(z)|lt;1時(shí)f(z)∈Tp(a,c:α)．

定理2 設(shè)ξgt;0,且令f(z)∈∑p滿(mǎn)足條件

(13)

則

(14)

屬于Tp(a,c;α)．

證明由F(z)的定義知

z(Lp(a,c)F(z))′=ξLp(a,c)f(z)-(ξ+p)Lp(a,c)F(z)

(15)

由式(10)和(15),條件(13)可以寫(xiě)成

(16)

我們需要去證式(16)隱含不等式

(17)

我們定義E中的w(z)為

(18)

顯然w(z)是解析的且w(0)=0．等式(18)可以寫(xiě)成

(19)

兩邊對(duì)數(shù)微分,應(yīng)用式(10)我們可以得到

(20)

由式(19)和(20)可得

證明的剩余部分與定理1類(lèi)似,故省略．

根據(jù)定理1,我們立即能得到下面的結(jié)論．

推論1 若f(z)∈Tp(a,c;α),則由式(14)定義的函數(shù)F(z)也屬于Tp(a,c;α)．

定理3f(z)∈Tp(a,c;α)當(dāng)且僅當(dāng)

證明由F(z)的定義知

z(Lp(a,c)F(z))′=aLp(a,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)F(z)

(21)

由式(10)，(21)推出

Lp(a,c)f(z)=Lp(a+1,c)F(z)

所以Lp(a+1,c)f(z)=Lp(a+2,c)F(z),結(jié)論得證．

[1] Jack I S. Functions starlike and convex of order α[J]. London Math Soc, 1971, 3: 469-474.

[2] Miller S S, Mocanu P T. Second order differential inequalities in the complex plane[J]. Math Anal Appl, 1978, 65: 289-305.

ANewClassofMeromorphicP-valentStarlikeFunctions

YANG Ying

(Department of Software and Food Engineering, Maanshan Teachers College, Maanshan Anhui 243041, China)

Corresponding to the functionΦp(a,c;z),we define a new linear operatorLp(a,c) on ∑pby the Hadamard product forf(z)∈∑p,Lp(a,c)f(z)=Φp(a,c;z)*f(z).We use the new linear operator to define the new classTp(a,c;α) on ∑p.The object of this paper is to use the new operatorLp(a,c)to investigate some properties ofTp(a,c;α)

analytic functions; meromorphic p-valent starlike functions; linear operator; hadamard product

2013-01-25

楊穎(1980-), 女, 安徽馬鞍山人, 講師, 碩士, 研究方向?yàn)閺?fù)分析.

O174.5

A

1671-6876(2013)02-0106-04

[責(zé)任編輯李春紅]