劉秀蓮,　張校東

(1.黑龍江科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 哈爾濱 150022; 2.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

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旋量理論的變胞機(jī)構(gòu)全構(gòu)態(tài)動力學(xué)模型

劉秀蓮1,2,張校東2

(1.黑龍江科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 哈爾濱 150022; 2.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

為豐富和發(fā)展機(jī)構(gòu)學(xué)理論，通過引入切斷鉸，將空間串并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析問題轉(zhuǎn)化為開鏈機(jī)構(gòu)和局部閉鏈機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析子問題，基于旋量理論建立切斷鉸空間機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型。采用旋量理論和Kane方法對五桿兩自由度閉鏈變胞機(jī)構(gòu)的廣義主動力和廣義慣性力進(jìn)行了計(jì)算，并建立切割變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)動力學(xué)方程。該方法為變胞機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模提供了參考依據(jù)。

旋量理論; kane方程; 變胞機(jī)構(gòu)

0　引　言

1998年,戴建生和J Rees Jones基于生物學(xué)中的細(xì)胞分裂、組合和再生現(xiàn)象，首次提出變胞機(jī)構(gòu)的概念。其定義為在具有多個(gè)不同工作階段的周期中，含有閉環(huán)的多自由度運(yùn)動鏈呈現(xiàn)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式，結(jié)合其機(jī)架和原動件來實(shí)現(xiàn)不同功效的機(jī)構(gòu)。目前,國內(nèi)外已有大量學(xué)者對變胞機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)學(xué)和運(yùn)動學(xué)[1]進(jìn)行了研究，基本上形成了比較系統(tǒng)的理論，但對其動力學(xué)方面的研究較少。筆者通過建立變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)動力學(xué)模型研究其動力學(xué)特性，以期為變胞機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供參考依據(jù)。

1　剛體的運(yùn)動旋量

式中,算子“∧”為反對稱矩陣運(yùn)算,對三維矩陣ω表示叉乘矩陣,即

引入運(yùn)算因子“∨”,并將其作如下定義

對于空間多剛體系統(tǒng),其中每一個(gè)運(yùn)動關(guān)節(jié)都可看成一個(gè)空間旋量運(yùn)動,其運(yùn)動旋量可表示為θiξi,其中θ是關(guān)節(jié)變量大小。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié),運(yùn)動旋量的旋量坐標(biāo)ξ可用Plucker坐標(biāo)形式表示[4]:

式中:ω——運(yùn)動旋量軸線方向的單位矢量;

r——軸線上任一點(diǎn)的位置矢量;

h——運(yùn)動旋量的節(jié)距大小;

v——沿旋量運(yùn)動軸線方向的單位矢量。

對于移動關(guān)節(jié),運(yùn)動旋量的旋量坐標(biāo)ξ可表示為

剛體的運(yùn)動變換可以用李群代數(shù)中的歐氏群SE(3)表示,即

SE(3)={(P,R):P∈R3,R∈SO(3)}=R3×SO(3),

式中:SO(3)——三維旋轉(zhuǎn)群;

P——位移矩陣,實(shí)現(xiàn)不同坐標(biāo)系的坐標(biāo)平移變換;

R——旋轉(zhuǎn)矩陣,實(shí)現(xiàn)不同坐標(biāo)系的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換。

式中:I——3×3單位陣;

e——自然指數(shù)。

若旋量在B坐標(biāo)系下表示為ξB,則其在A坐標(biāo)系的表示ξA為

2　串并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程的推導(dǎo)

式中:ωi、vi——旋量運(yùn)動軸線上的單位矢量, ωi、vi∈R3;

ri——關(guān)節(jié)軸線上的任意一點(diǎn)坐標(biāo),ri∈R3。

選取工具坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系下的初始參考位形為gst(0),則工具坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系的運(yùn)動學(xué)正解映射gst(θ)可由任意分支開鏈機(jī)構(gòu)的指數(shù)積運(yùn)動公式表示:

(1)

注意式(1)含有被動關(guān)節(jié)k+1,k+2,…,n的變化量。對于閉鏈機(jī)構(gòu),當(dāng)給定主動關(guān)節(jié)的位置變化量時(shí),即可通過結(jié)構(gòu)方程求出相應(yīng)的被動關(guān)節(jié)變量,其結(jié)構(gòu)方程的指數(shù)坐標(biāo)形式可表示為

(2)

對式(2)進(jìn)行整理,可得閉鏈部分的簡化結(jié)構(gòu)方程:

(3)

對串并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析時(shí),合理選取串并聯(lián)系統(tǒng)中某個(gè)閉鏈關(guān)節(jié)為切斷鉸,將系統(tǒng)變?yōu)榇?lián)機(jī)構(gòu)。式(3)即為機(jī)構(gòu)的閉環(huán)約束方程。

3　Kane動力學(xué)方程

Kane動力學(xué)分析方法于二十世紀(jì)六十年代由美國學(xué)者Kane[5]提出并加以論證。Kane方法不同于其他動力學(xué)建模方法,其基于分析力學(xué)理論,將系統(tǒng)中各個(gè)廣義速率作為構(gòu)件廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變量來描述系統(tǒng)的運(yùn)動,引入偏速度以及偏角速度的概念[6],并將矢量形式的力與達(dá)朗伯慣性力直接向特定的基矢量方向投影進(jìn)而消除約束力,因而Kane方法兼有矢量力學(xué)和分析力學(xué)的特點(diǎn)。

利用物體速度雅克比矩陣和偏速度旋量[7]的關(guān)系,可以將旋量理論和Kane動力學(xué)方程有機(jī)地聯(lián)系起來。為分析方便,現(xiàn)將Kane方程中的主動力、慣性力等均用旋量的形式表示。

對于一個(gè)具有n自由度的空間機(jī)構(gòu),假設(shè)系統(tǒng)構(gòu)件i的質(zhì)心處受到的外界主動力主力矢和主力矩分別用Rc,i和Mc,i表示,則構(gòu)件i受到的外界主動力旋量可表示為

(4)

(5)

構(gòu)件i的偏速度旋量可以由構(gòu)件質(zhì)心的偏速度和偏角速度表示為

將系統(tǒng)中所有構(gòu)件的主動力旋量與其偏速度旋量的點(diǎn)積累加即可得到系統(tǒng)相對于某一偏速度旋量的廣義主動力為

j=1,2,…,n。

(6)

同理,將系統(tǒng)中所有構(gòu)件的慣性力旋量與其偏速度旋量的點(diǎn)積相加求和即可得到系統(tǒng)相對于某一偏速度旋量的廣義慣性力：

j=1,2,…,n。

(7)

根據(jù)式(6)和式(7)廣義主動力和廣義慣性力對于空間n自由度連桿機(jī)構(gòu),可以得到其基于旋量理論的Kane動力學(xué)方程為

具體表達(dá)為

(8)

由動力學(xué)方程(8)可知,方程的數(shù)目等于系統(tǒng)中包含活動構(gòu)件的數(shù)目。

根據(jù)上述建立的開鏈機(jī)構(gòu)的Kane動力學(xué)方程,并結(jié)合各個(gè)構(gòu)態(tài)的閉環(huán)約束方程(3)可得到一般串并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)動力學(xué)方程:

4　變胞機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模

空間復(fù)雜曲面切割機(jī)切割變胞機(jī)構(gòu)的具體結(jié)構(gòu)見文獻(xiàn)[8],切割變胞機(jī)構(gòu)末端為五桿兩自由度閉鏈機(jī)構(gòu),如圖1所示。重新定義各個(gè)桿件以及關(guān)節(jié)編號,并將其中的變胞運(yùn)動副關(guān)節(jié)5作為切斷鉸,形成開鏈五桿機(jī)構(gòu)。將其中一個(gè)不動件看作基座,在切斷鉸處建立絕對坐標(biāo)系xyz,并在各個(gè)桿件質(zhì)心點(diǎn)處建立其連體坐標(biāo)系xiyizi。圖中q1、q2、q3、q4分別為關(guān)節(jié)1、2、3、4軸線上的點(diǎn),各個(gè)連體坐標(biāo)系同絕對坐標(biāo)系的位姿關(guān)系如圖1所示。

圖1　復(fù)雜曲面切割機(jī)五桿兩自由度閉鏈機(jī)構(gòu)示意

根據(jù)連桿物體速度雅克比矩陣的計(jì)算公式[9]以及上述q1、q2、q3、q4四點(diǎn)坐標(biāo)和各關(guān)節(jié)軸線方向在各個(gè)連體坐標(biāo)系中的表示,可以計(jì)算得出構(gòu)件1、2、3、4的物體速度雅克比矩陣:

4.1構(gòu)件廣義主動力旋量和廣義慣性力旋量

由空間復(fù)雜曲面切割機(jī)變胞機(jī)構(gòu)的驅(qū)動情況可知,該機(jī)構(gòu)中只有滑塊1和桿件4受到電機(jī)驅(qū)動力和驅(qū)動力矩的作用,其余構(gòu)件受到的主動力只有重力。設(shè)滑塊1和構(gòu)件4受到的電機(jī)驅(qū)動力(矩)分別為f1和τ4,方向分別于關(guān)節(jié)的移動和旋轉(zhuǎn)方向一致,各個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量分別表示為m1、m2、m3、m4。

根據(jù)式(4)可知作用于各個(gè)構(gòu)件質(zhì)心上的主動力旋量Fc,i由主動力主矢Rc,i和主動力矩主矢Mc,i兩部分組成,所以滑塊1受到的主動力旋量在連體基坐標(biāo)系表示為

由于桿件2和3只受到自身重力的作用,所以作用于桿件2上的主動力旋量在坐標(biāo)系x2y2z2表示為

在連體坐標(biāo)系下,桿件3受到的主動力旋量為

考慮到桿件4除了受到重力作用外,還受到變胞自由度電機(jī)轉(zhuǎn)動力矩的作用,可以計(jì)算得出桿件4的主動力旋量為

根據(jù)上述對偏速度,即物體速度雅克比矩陣以及各個(gè)構(gòu)件主動力旋量的計(jì)算,由式(6)可以得出各個(gè)構(gòu)件廣義主動力Fi(i=1,2,3,4)可以表示為

i=1,2,3,4。

(9)

(10)

式中:mi——構(gòu)件i的物體質(zhì)量;

Ic,i——構(gòu)件i在連體坐標(biāo)系中繞軸的轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)式(5)、(7)和(10)可得系統(tǒng)中各個(gè)構(gòu)件的廣義慣性力為

i=1,2,3,4。

(11)

4.2復(fù)雜曲面切割變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)動力學(xué)方程

選取五桿變胞機(jī)構(gòu)中的變胞運(yùn)動副,即圖1中所示的轉(zhuǎn)動副O(jiān)為閉鏈機(jī)構(gòu)切斷鉸。為建立該變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)2的動力學(xué)方程,必須引入不同構(gòu)態(tài)下的切斷鉸的閉環(huán)約束方程。

變胞機(jī)構(gòu)處于構(gòu)態(tài)1時(shí),轉(zhuǎn)動副O(jiān)為驅(qū)動關(guān)節(jié),根據(jù)空間閉鏈的運(yùn)動學(xué)結(jié)構(gòu)方程(3)可得,此時(shí)該機(jī)構(gòu)的閉環(huán)約束方程分別為

(12)

當(dāng)變胞機(jī)構(gòu)處于構(gòu)態(tài)2,轉(zhuǎn)動副O(jiān)鎖死,構(gòu)件4和基座固結(jié),此構(gòu)態(tài)下該閉鏈機(jī)構(gòu)的約束方程分別為C2(θ)=[ξ1][θ1]+[ξ2ξ3-ξ4][θ2θ3-θ4)]T=0,

(13)

式中:ξo、ξ1、ξ2、ξ3、ξ4——各個(gè)軸線的旋量坐標(biāo);

θo、θ1、θ2、θ3、θ4——各個(gè)關(guān)節(jié)變量。

該變胞機(jī)構(gòu)引入切斷鉸后,基座和構(gòu)件1、2、3、4組成了一個(gè)空間開鏈機(jī)構(gòu)。根據(jù)式(9)、(11)建立開鏈機(jī)構(gòu)的Kane動力學(xué)方程,并結(jié)合各個(gè)構(gòu)態(tài)的閉環(huán)約束方程(12)和(13)可得到切割機(jī)變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)動力學(xué)方程:

式中:i——變胞機(jī)構(gòu)中構(gòu)件數(shù)目;

j——變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)。

5　結(jié)束語

對旋量理論在空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析中的應(yīng)用進(jìn)行了介紹,引入切斷鉸將空間串并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析問題,轉(zhuǎn)化為開鏈機(jī)構(gòu)和局部閉鏈機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)子問題,通過指數(shù)積公式和閉鏈機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)方程建立了一般串并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束方程。結(jié)合旋量理論建立了空間機(jī)構(gòu)的Kane動力學(xué)方程,并對曲面切割機(jī)變胞機(jī)構(gòu)的廣義主動力和廣義慣性力進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)合旋量理論和Kane方程,給出了一般串并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)的全構(gòu)態(tài)動力學(xué)方程。并對五桿兩自由度閉鏈變胞機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析,建了其全構(gòu)態(tài)動力學(xué)方程,為變胞機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模方法提供一種參考。

[1]李端玲, 張忠海, 戴建生, 等. 變胞機(jī)構(gòu)的研究綜述與展望[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2010, 46(13): 15-17.

[2]盧宏琴. 基于旋量理論的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)研究及其應(yīng)用[D]. 南京: 南京航空航天大學(xué), 2007: 19.

[3]路立軍. 旋量理論概述[J]. 學(xué)術(shù)交流, 2012(4): 39-41.

[4]于靖軍, 劉辛軍, 丁希侖, 等. 機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2008: 107-108.

[5]KANE T R, LIKENS P W, LEVINSON D A. Spacecraft dynamics[M]. New York:McGraw-Hill Book Company, 1983.

[6]徐軼群, 萬隆君. 基于Kane方法的平面五桿二自由度機(jī)構(gòu)動力特性分析[J]. 機(jī)械, 1997, 25(1): 2-4.

[7]劉武發(fā), 龔振邦, 汪勤愨. 基于旋量理論的開鏈機(jī)器人動力學(xué)Kane方程研究[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2005, 26(5): 578-582.

[8]王宗義, 胡勝海, 趙世軍. 大直徑開孔數(shù)控火焰切割機(jī)的研制[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 24(3): 259-261.

[9]劉芳華, 吳洪濤. 基于旋量理論的空間機(jī)器人動力學(xué)建模研究[J]. 江蘇科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 22(2): 52-55.

(編輯李德根)

Configuration-complete dynamic model of metamorphic mechanism based on screw theory

LIUXiulian1,2,ZHANGXiaodong2

(1.School of Mechanical Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China; 2.School of Mechanical & Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

This paper is an attempt to enrich and develop the theory of mechanism by transforming motion analysis problem of spatial series-parallel mechanism into motion analysis sub-problem of open chain and closed-chain mechanism as a result of cut-off joint and developing kinematics and dynamics models of spatial mechanism based on screw theory. The paper describes the calculation of the inertia main force and the inertia main torque using screw theory and Kane method in the case of the two DOF of five rods closed chain metamorphic mechanism and the development of the configuration-complete dynamic model for metamorphic mechanism. This model provides some reference for dynamics model of metamorphic mechanism.

screw theory; Kane method; metamorphic mechanism

2013-03-25

劉秀蓮(1979-),女,遼寧省葫蘆島人,講師,博士,研究方向:機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué),E-mail:lxl-2002@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.03.006

TH113

1671-0118(2013)03-0241-05

A