齊立哲

(北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所，北京100191)

王 偉

(北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所，北京100191)

陳 磊

(上海飛機(jī)制造有限公司，上海200436)

余蕾斌

(上海飛機(jī)制造有限公司，上海200436)

工業(yè)機(jī)器人重復(fù)定位精度很高，但絕對(duì)定位精度很差.為了提高機(jī)器人的性能及拓展工業(yè)機(jī)器人的應(yīng)用范圍，需要對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定來(lái)降低它的絕對(duì)定位誤差.標(biāo)定是建模、測(cè)量、參數(shù)識(shí)別和誤差補(bǔ)償4個(gè)步驟的集成過(guò)程［1］.目前已有很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于矩陣變換、矢量等表達(dá)形式給出了多種機(jī)器人的定位誤差分析與補(bǔ)償方法［2-6］，但由于影響機(jī)器人定位誤差的因素很多，基于理論分析公式對(duì)機(jī)器人定位誤差進(jìn)行實(shí)際標(biāo)定的結(jié)果都不太理想.為了有效實(shí)際標(biāo)定出機(jī)器人的定位誤差，Ting K等人提出了從參數(shù)誤差到末端誤差映射的靈敏性雅可比概念，證明了要提高機(jī)構(gòu)的末端誤差，只需要提高關(guān)鍵因素的精度，可以適當(dāng)放寬次要因素誤差［7］;郭劍鷹等人提出將影響轉(zhuǎn)動(dòng)誤差和位置誤差的因素分離開(kāi)發(fā)，采用兩步線性識(shí)別方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定的方法，在一定程度上簡(jiǎn)化了標(biāo)定過(guò)程［8］;王偉等人采用正交試驗(yàn)法綜合了3R機(jī)器人機(jī)構(gòu)精度，繪制出了某一復(fù)雜曲面任務(wù)下機(jī)器人末端的誤差分布圖和影響末端誤差因素的顯著程度順序圖，計(jì)算出了當(dāng)前目標(biāo)點(diǎn)下誤差因素對(duì)末端誤差的影響顯著程度［9］.

本文針對(duì)因影響定位誤差因素較多而不易對(duì)機(jī)器人定位誤差進(jìn)行準(zhǔn)確標(biāo)定的問(wèn)題，充分考慮了定位誤差測(cè)量環(huán)節(jié)中對(duì)定位誤差有影響的坐標(biāo)系參數(shù)因素及因機(jī)器人末端點(diǎn)分布不同而導(dǎo)致定位誤差也不一樣的情況，首先基于雅克比矩陣建立了包含33個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的6自由度串聯(lián)機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差數(shù)學(xué)模型;然后給出了用于分析各因素單點(diǎn)敏感度的機(jī)器人的單因素微分定位誤差(SFDPE，Single Factor Differential Positioning Error)及相對(duì)單因素微分定位誤差(RSFDPE，Relative Single Factor Differential Positioning Error)公式;接著采用正交實(shí)驗(yàn)法設(shè)計(jì)了能全面反映機(jī)器人定位誤差分布的數(shù)據(jù)采樣空間并基于區(qū)間概率密度概念給出了單因素綜合微分定位誤差(SFCDPE，Single Factor Comprehensive Differential Positioning Error)及相對(duì)單因素綜合微分定位誤差(RSFCDPE，Relative Single Factor Comprehensive Differential Positioning Error)公式;最后基于前面的公式，采用MATLAB分別仿真了影響由FARO ARM和ABB 1410工業(yè)機(jī)器人形成的測(cè)量系統(tǒng)定位誤差的各因素的單點(diǎn)敏感度(SPS，Single Point Sensitivity)及多點(diǎn)綜合敏感度(MPCS，More Points Comprehensive Sensitivity)，為進(jìn)一步進(jìn)行機(jī)器人定位誤差的標(biāo)定打下了基礎(chǔ).

1 機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差數(shù)學(xué)模型

1.1 全閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

為了測(cè)量出機(jī)器人定位誤差，需要建立機(jī)器人定位誤差測(cè)量系統(tǒng).如圖1所示，一般機(jī)器人定位誤差測(cè)量系統(tǒng)由測(cè)量設(shè)備、測(cè)量靶標(biāo)及機(jī)器人組成.

圖1 機(jī)器人定位誤差測(cè)量系統(tǒng)組成原理圖

在機(jī)器人定位誤差測(cè)量系統(tǒng)中，測(cè)量設(shè)備可以直接測(cè)量出靶標(biāo)中心P在Measure坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，同時(shí)機(jī)器人本身也可以作為測(cè)量裝置獲得被機(jī)器人抓著的靶標(biāo)中心P在機(jī)器人Base坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，兩者進(jìn)行坐標(biāo)變換便可以統(tǒng)一到同一個(gè)坐標(biāo)系下，進(jìn)而進(jìn)行比較便可獲得機(jī)器人在其工作空間內(nèi)各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的定位誤差.基于機(jī)器人的定位誤差測(cè)量過(guò)程，便形成了一個(gè)包含2個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣的全閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，其表示如下:

其中，PM為測(cè)量點(diǎn)P在Measure坐標(biāo)系下的坐標(biāo);BTM為機(jī)器人Base坐標(biāo)系與Measure坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣;T0TB為工業(yè)機(jī)器人Tool0坐標(biāo)系在機(jī)器人Base坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣;PT0為P點(diǎn)在Tool0坐標(biāo)系下的坐標(biāo).

采用工業(yè)機(jī)器人D-H方法建立的連桿坐標(biāo)系.在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，建立連桿坐標(biāo)系.每個(gè)連桿坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣包含4個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，即θi，αi，ai，di;6自由度工業(yè)機(jī)器人T0TB有24個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù);BTM為一4×4的轉(zhuǎn)換矩陣，可用3個(gè)平移變量PBx，PBy，PBz及3個(gè)用歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)變量RBx，RBy，RBz表示;PT0為一 4×1 的矩陣，根據(jù)其含義可用3個(gè)平移變量PTx，PTy，PTz表示.則機(jī)器人定位誤差測(cè)量系統(tǒng)的全閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型共包含33個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，這33個(gè)參數(shù)誤差也是影響機(jī)器人靜態(tài)定位誤差的主要因素.

1.2 全閉環(huán)定位誤差數(shù)學(xué)模型

根據(jù)公式(1)，機(jī)器人定位誤差測(cè)量系統(tǒng)全閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可變形為

其中，(x，y，z)為被測(cè)量點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系下的絕對(duì)坐標(biāo)值;gi(i=1～33)為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的33個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù);f為以x，y，z為變量，以系統(tǒng)中33個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)為參數(shù)的三元方程組.當(dāng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)無(wú)誤差時(shí)，也不存在機(jī)器人定位誤差;但實(shí)際情況運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)總會(huì)存在一定的誤差，從而帶來(lái)機(jī)器人的定位誤差.

為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，對(duì)式(2)進(jìn)行一階微分，令

從而便獲得基于雅克比矩陣的機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差數(shù)學(xué)模型為

2 定位誤差影響因素敏感度分析

影響機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差的因素有33個(gè)，通過(guò)建立的基于雅可比矩陣的機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差數(shù)學(xué)模型可將這些因素對(duì)定位誤差的影響分離開(kāi)來(lái)，這種分離避免了因這些因素的交叉影響而帶來(lái)的對(duì)敏感度分析的復(fù)雜性.

為了分析出機(jī)器人在某一位姿時(shí)各個(gè)因素對(duì)定位誤差的SPS，令

其中，Θgk被稱(chēng)為第 k個(gè)因素的機(jī)器人SFDPE;R(gi:gj)被稱(chēng)為第i及第j個(gè)因素的RSFDPE;Θgi為機(jī)器人基準(zhǔn)單因素微分定位誤差，對(duì)應(yīng)的因素為基準(zhǔn)因素.

可用各因素間的RSFDPE來(lái)分析機(jī)器人在某個(gè)位姿時(shí)影響定位誤差的各因素的SPS，即機(jī)器人某個(gè)因素相對(duì)于基準(zhǔn)因素的RSFDPE越大，則表明此因素的SPS較高;反之，較低.

為了分析出機(jī)器人整個(gè)工作空間內(nèi)的各個(gè)因素的 MPCS，令

其中，ΣΘgk為第 k個(gè)因素在機(jī)器人N個(gè)位姿的SFCDPE;ΣR(gi:gj)為第i及第j個(gè)因素在機(jī)器人N個(gè)位姿的RSFCDPE;ΣΘgi為機(jī)器人基準(zhǔn)單因素綜合微分定位誤差，對(duì)應(yīng)的因素為基準(zhǔn)因素;為機(jī)器人第 m個(gè)位姿的第 i個(gè)因素的SFDPE;npim，npjm分別表示機(jī)器人第m個(gè)位姿的第i及第j個(gè)因素的SFDPE所在區(qū)間n的區(qū)間概率密度，可表示為

可用各因素間的RSFCDPE來(lái)分析各因素在機(jī)器人多個(gè)位姿對(duì)機(jī)器人定位誤差影響的MPCS，即機(jī)器人某個(gè)因素相對(duì)于基準(zhǔn)因素的RSFCDPE越大，則表明此因素的MPCS較高;反之，較低.

此外，為充分體現(xiàn)機(jī)器人實(shí)際定位誤差分布情況，可采用正交試驗(yàn)法設(shè)計(jì)原理設(shè)計(jì)機(jī)器人N個(gè)位姿，即設(shè)計(jì)機(jī)器人位姿樣本空間.在此應(yīng)用中可采用6因素、5水平及25實(shí)驗(yàn)次數(shù)的正交表，即L52(56).從而可獲得機(jī)器人位姿樣本空間:

其中，θmn表示樣本空間中第m個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的機(jī)器人第n個(gè)關(guān)節(jié)角值;vmn表示正交表中第m行第 n列對(duì)應(yīng)的值;minθn，maxθn分別表示機(jī)器人第n個(gè)關(guān)節(jié)角的最小值和最大值.

從定位誤差傳遞數(shù)學(xué)模型可知，影響機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差的運(yùn)動(dòng)學(xué)因素可以分為3類(lèi)，下面分別分析各類(lèi)因素的敏感度.

1)關(guān)節(jié)角因素分析:關(guān)節(jié)角因素敏感度反映了機(jī)器人6個(gè)關(guān)節(jié)角誤差對(duì)機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差的影響程度，通過(guò)分析可以得到在機(jī)器人位姿樣本空間內(nèi)關(guān)節(jié)角敏感度分布情況.

2)各結(jié)構(gòu)角度量因素分析:各結(jié)構(gòu)角度量因素敏感度反映了機(jī)器人6個(gè)連桿坐標(biāo)系角度參數(shù)、3個(gè)機(jī)器人Base坐標(biāo)系與Measure坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣的姿態(tài)分量誤差對(duì)機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差的影響程度，通過(guò)分析可以得到在機(jī)器人位姿樣本空間內(nèi)各結(jié)構(gòu)角度量敏感度分布情況.

3)結(jié)構(gòu)平移量因素分析:各結(jié)構(gòu)平移量因素敏感度反映了機(jī)器人12個(gè)連桿坐標(biāo)系平移參數(shù)、3個(gè)機(jī)器人Base坐標(biāo)系與Measure坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣的位置分量及3個(gè)測(cè)量點(diǎn)P在Measure坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分量誤差對(duì)機(jī)器人全閉環(huán)定位誤差的影響程度，通過(guò)分析可以得到在機(jī)器人位姿樣本空間內(nèi)各結(jié)構(gòu)平移量敏感度分布情況.

3 定位誤差影響因素敏感度仿真

建立的工業(yè)機(jī)器人定位誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)見(jiàn)圖2，它包含被標(biāo)定機(jī)器人、FARO ARM及測(cè)量靶標(biāo).工業(yè)機(jī)器人采用ABB IRB 1410機(jī)器人，此機(jī)器人是一種機(jī)身緊湊的機(jī)器人，承受載荷最高可達(dá)5 kg，具有較高的重復(fù)定位精度，通過(guò)對(duì)其絕對(duì)定位誤差進(jìn)行標(biāo)定后，可以大大拓展其應(yīng)用領(lǐng)域;誤差測(cè)量設(shè)備采用USB型FARO ARM，該測(cè)量設(shè)備具有測(cè)量精度高、操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，可以直接測(cè)得機(jī)器人手臂上靶標(biāo)在其坐標(biāo)系下的坐標(biāo).

基于正交實(shí)驗(yàn)法設(shè)計(jì)的ABB IRB1410機(jī)器人的位姿樣本空間的所有子空間中心點(diǎn)分布情況如圖3所示.

圖2 機(jī)器人定位誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖

圖3 樣本子空間中心點(diǎn)分布圖

各因素的初始值都是已知量.根據(jù)這些信息并結(jié)合第3節(jié)的定量計(jì)算公式，便可計(jì)算出各個(gè)因素對(duì)機(jī)器人定位誤差的敏感度分布情況.經(jīng)由仿真結(jié)果看，機(jī)器人各結(jié)構(gòu)平移量因素的SPS和MPCS都一樣.因此，這里只給出機(jī)器人各角度因素SPS及MPCS的仿真結(jié)果，見(jiàn)圖4～圖7.

圖4 關(guān)節(jié)角因素敏感度仿真結(jié)果

圖5 連桿偏角因素敏感度仿真結(jié)果

圖4a為機(jī)器人關(guān)節(jié)角因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的SPS仿真結(jié)果.其中，橫坐標(biāo)表示6個(gè)關(guān)節(jié)角，第1個(gè)關(guān)節(jié)角為基準(zhǔn)因素;縱坐標(biāo)為各因素相對(duì)于基準(zhǔn)因素的RSFDPE;25條線給出了不同樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各因素RSFDPE.圖4b為機(jī)器人關(guān)節(jié)角因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的MPCS仿真結(jié)果.其中，橫坐標(biāo)表示6個(gè)關(guān)節(jié)角，第一個(gè)關(guān)節(jié)角為基準(zhǔn)因素;縱坐標(biāo)為各因素相對(duì)于基準(zhǔn)因素的RSFCDPE.

圖5a為機(jī)器人連桿偏角因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的SPS仿真結(jié)果.其中，第1個(gè)連桿偏角為基準(zhǔn)因素.圖5b為機(jī)器人連桿偏角因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的MPCS仿真結(jié)果.

圖6a為機(jī)器人基坐標(biāo)系姿態(tài)因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的SPS仿真結(jié)果.其中，第1個(gè)基坐標(biāo)系姿態(tài)分量為基準(zhǔn)因素.圖6b為機(jī)器人基坐標(biāo)系姿態(tài)因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的MPCS仿真結(jié)果.

圖7a為機(jī)器人3類(lèi)角度基準(zhǔn)因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的SPS仿真結(jié)果.其中，橫坐標(biāo)表示3個(gè)角度分量(依次為關(guān)節(jié)角-連桿偏角-基坐標(biāo)系姿態(tài))，第1個(gè)角度分量為基準(zhǔn)因素.圖7b為機(jī)器人3類(lèi)角度因素在機(jī)器人位姿樣本空間中的MPCS仿真結(jié)果.

圖6 基坐標(biāo)系姿態(tài)因素敏感度仿真結(jié)果

圖7 3類(lèi)因素敏感度對(duì)比仿真結(jié)果

4 結(jié)論

1)各個(gè)平移因素對(duì)機(jī)器人定位誤差影響的敏感程度是一樣的.

2)從各因素的SPS仿真結(jié)果看，在同一個(gè)機(jī)器人位姿樣本點(diǎn)，各個(gè)角度因素對(duì)機(jī)器人定位誤差影響的敏感程度是不一樣的;同一個(gè)角度因素，在機(jī)器人不同的位姿樣本點(diǎn)對(duì)機(jī)器人定位誤差影響的敏感程度也是不一樣的.

3)從各因素的MPCS仿真結(jié)果看，各關(guān)節(jié)角、各連桿扭角及基坐標(biāo)系姿態(tài)等因素對(duì)機(jī)器人定位誤差影響的敏感程度是不一樣的，且與所選的姿態(tài)樣本空間有關(guān).

這些分析與仿真結(jié)果為進(jìn)一步進(jìn)行機(jī)器人定位誤差的有效標(biāo)定打下了基礎(chǔ).

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