張亞飛 馮小華

（中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410012）

圖像去噪問題一直都是圖像處理領(lǐng)域的研究重點(diǎn)， 噪聲的干擾往往會(huì)嚴(yán)重影響圖像的質(zhì)量，給后續(xù)的圖像分析及應(yīng)用帶來(lái)極大的不便，為此研究者們一直在尋求一種既能有效地減小噪聲，又能很好地保留圖像重要特征的去噪方法。 與傳統(tǒng)的小波變換去噪方法相比， 提升小波變換以其獨(dú)特的算法結(jié)構(gòu)，降低了計(jì)算復(fù)雜度, 易實(shí)現(xiàn)整數(shù)到整數(shù)的變換等特點(diǎn)，成為小波研究與應(yīng)用領(lǐng)域新的熱點(diǎn)。

1 小波變換

小波分析是一種信號(hào)的時(shí)頻分析方法，它具有實(shí)時(shí)、多分辨率、自適應(yīng)等特點(diǎn)，在時(shí)頻兩域都具有很強(qiáng)的表征信號(hào)局部特征的能力，因而在圖像去噪領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。

小波一詞由Morlet 和Grossman 在1980 年代早期提出。傳統(tǒng)的小波通常是由定義在L2(R)空間上的容許函數(shù)ψ（t）經(jīng)過伸縮、平移變換生成的，這種小波通常被稱為第一代小波，其基本定義如下：

如果ψ（t）是一滿足條件的基小波或母小波，將其經(jīng)過伸縮和平移變換后，就可得到一簇函數(shù)，形式如下

此函數(shù)被稱之為小波函數(shù)簇， 其中a 為伸縮因子，b 為平移因子。 進(jìn)而定義下式

為關(guān)于基小波ψ 的連續(xù)小波變換。 其中，ψ*（t）表示對(duì)ψ（t）的共軛運(yùn)算。

2 提升小波變換

通過以上分析， 傳統(tǒng)的第一代小波變換是在歐氏空間內(nèi)通過基底的平移和伸縮來(lái)構(gòu)建小波基的，這種變換雖然克服了傅立葉變換所存在的固定分辨率、難以同時(shí)兼具時(shí)頻分解特性等問題，但其本身也存在著算法復(fù)雜度高、占用內(nèi)存大、浮點(diǎn)運(yùn)算誤差大、不利于硬件實(shí)現(xiàn)等缺點(diǎn)。 為此，1995 年Sweldens 提出了一種不依賴于傅里葉變換的新的小波構(gòu)造方法—提升方法，稱為第二代小波變換。

第二代小波提升算法基本思想是通過一個(gè)預(yù)測(cè)算子，確定高頻信息，并初步確定低頻信息；然后通過更新算子，對(duì)初步確定的低頻進(jìn)行修正，從而確定低頻信息。 基于提升方案的第二代小波變換過程可分為三個(gè)階段：分解(Split)、預(yù)測(cè)(Predict)和更新(Update)。

（1）分解：將輸入信號(hào)sj分為2 個(gè)較小的子集sj-1和dj-1。最簡(jiǎn)單的辦法是將輸入信號(hào)sj根據(jù)奇偶性分為2 組，這種分解方法所產(chǎn)生的小波也稱為“懶小波”，數(shù)學(xué)表達(dá)式描述如下：

（2）預(yù)測(cè)：在基于原數(shù)據(jù)相關(guān)性的基礎(chǔ)上，用偶數(shù)序列sj-1的預(yù)測(cè)值P（sj-1）去預(yù)測(cè)奇數(shù)序列dj-1，然后用dj-1與預(yù)測(cè)值P（sj-1）的差來(lái)替換dj-1。 用數(shù)學(xué)公式描述如下

式中為預(yù)測(cè)算子， 一般可以通過差值細(xì)分方法構(gòu)造。 這樣，產(chǎn)生的dj-1比原來(lái)的dj-1包含更少的信息，繼續(xù)用更小的子集sj-1和dj-1來(lái)代替原來(lái)的信號(hào)集sj， 重復(fù)分解和預(yù)測(cè)過程，最終原始信號(hào)集可以用｛sn，dn，……，s1,d1｝來(lái)表示。

（3）更新：更新的思想主要是要構(gòu)造一個(gè)算子U，利用小波子集dj-1對(duì)sj-1進(jìn)行更新， 從而使sj-1繼續(xù)保持原來(lái)數(shù)據(jù)序列的某些特征。 數(shù)學(xué)公式描述如下

此外，小波提升變換過程是可逆的，只需改變式（3）（4）（5）的計(jì)算次序和符號(hào)就可以得到重構(gòu)的數(shù)據(jù)序列。

3 實(shí)例分析

在Matlab（R2010b）環(huán)境下，以woman 為原始圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分別利用傳統(tǒng)小波變換和本文所介紹的提升小波變換對(duì)含噪圖像進(jìn)行處理，仿真結(jié)果如圖1 所示。

圖1 提升小波變換圖像去噪效果圖

4 結(jié)論

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見， 基于提升小波變換的圖像去噪效果與傳統(tǒng)小波變換相當(dāng)， 但考慮到提升小波變換運(yùn)算復(fù)雜度低、實(shí)現(xiàn)過程簡(jiǎn)單快速等優(yōu)點(diǎn)，以較小的代價(jià)實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的處理效果， 這無(wú)疑驗(yàn)證了基于提升小波變換的圖像去噪方法的優(yōu)越性。 同時(shí)，針對(duì)提升小波變換的實(shí)現(xiàn)過程，我們可以看到數(shù)學(xué)理論方法的改進(jìn)對(duì)于提高運(yùn)算效率的重要性，可以預(yù)見在小波分析領(lǐng)域，根據(jù)實(shí)際情況合理選擇先進(jìn)的數(shù)學(xué)變換方法，對(duì)于實(shí)現(xiàn)問題最優(yōu)化解的重要意義。

[1]張德豐，等.MATLAB 小波分析[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2011

[2]趙慶光.基于提升小波變換的圖像去噪算法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009

[3]林祥云.基于提升小波變換的圖像去噪[D].武漢：武漢紡織大學(xué)，2010