徐暖筑 徐 寧

1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610500；2.鴻飛投資集團(tuán)燃?xì)夥止?，四?江油 621700

0 前言

水力壓裂技術(shù)適用于油氣藏增產(chǎn)改造，廣泛應(yīng)用于低、中滲油氣藏。水力壓裂技術(shù)的目標(biāo)是能形成具有高導(dǎo)能力的裂縫，其關(guān)鍵是確保支撐劑在裂縫中可以形成有效的支撐。支撐劑在裂縫中的分布主要受施工排量、施工壓力、砂比、壓裂液及支撐劑性能等因素的影響。通過研究支撐劑在裂縫中的沉降規(guī)律，可以指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)施工排量和砂比的優(yōu)化，還能根據(jù)沉降規(guī)律選擇相匹配的壓裂液和支撐劑體系，使縫高得到有效控制。但目前對(duì)支撐劑在裂縫中沉降規(guī)律的研究還不夠深入，沒能對(duì)現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行有效的指導(dǎo)。Stokes［1］對(duì)圓球固體顆粒的沉降過程進(jìn)行研究，得出了沉降時(shí)的阻力系數(shù)及沉降速度公式。從流體力學(xué)的角度來說，支撐劑在裂縫內(nèi)的輸送沉降屬于液固兩相流。

目前多數(shù)支撐劑在裂縫內(nèi)的輸送沉降模型從兩方面進(jìn)行研究：一是根據(jù)受力平衡方程建立的沉降速度公式［2-3］；二是通過液固兩相間的相對(duì)速度關(guān)系，對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行推導(dǎo)［4］。隨著流體仿真軟件的興起和成熟，基于計(jì)算機(jī)流體力學(xué)CFD（Computational Fluid Dynamics）的相關(guān)軟件開始用于模擬石油工程的實(shí)際問題。本文借助CFD 軟件FLUENT［5］，對(duì)支撐劑在裂縫內(nèi)的輸送沉降問題進(jìn)行了研究。

1 模型的建立

1.1 數(shù)學(xué)模型

液固兩相流中，顆粒受到的作用力可分三種情況：與顆粒和流體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系的力，如慣性力、重力和壓差力等；與顆粒和流體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，并且力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相同的力；與顆粒和流體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，但力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反的力。通過對(duì)顆粒的受力情況進(jìn)行綜合分析，顆粒的沉降速度方程為［6］：

式中：d 為球形顆粒直徑，m；ρp為顆粒密度，kg/m3；upy為顆粒沉降速度，m/s；ρ1為液體密度，kg/m3；g 為重力加速度，m/s2；CD為支撐劑沉降阻力系數(shù)；u1y為壓裂液垂直方向流速，m/s；t*為當(dāng)前注液時(shí)間，min；τ（x）為液體到達(dá)x 處所需時(shí)間，min。

根據(jù)連續(xù)性方程，任意單元時(shí)間內(nèi)流入單元體的質(zhì)量和流出單元體的質(zhì)量相等，可推導(dǎo)出支撐劑在裂縫內(nèi)的二維輸送方程。

支撐劑輸送方程：

裂縫內(nèi)的壓降方程：

式中：C 為支撐劑濃度（砂比）；q 為泵注排量，m3/min；h 為縫高，m；W 為裂縫寬度，m；p 為縫內(nèi)壓力，MPa；upx為支撐劑水平方向流速，m/s；upy為顆粒沉降速度，m/s；μ 為視黏度，K 為稠度系數(shù)，Pa·sn；n 為流性指數(shù)。

邊界條件及初始條件：

當(dāng)發(fā)生穿層時(shí)p｜y=±h=S1；

當(dāng)裂縫在儲(chǔ)層內(nèi)時(shí)p｜y=±h=S2；

泵入流量q=3 m3/min；

液體進(jìn)入裂縫時(shí)的壓力p|x=0，t=0=pwf；

混砂液進(jìn)入裂縫時(shí)的砂比C1|x=0，t=0=25%。

式中：S1、S2為產(chǎn)層應(yīng)力，MPa；pwf為井底壓力，MPa。

支撐劑的沉降速度方程（1）、支撐劑的輸送方程（2）和裂縫內(nèi)壓降方程（3）構(gòu)成了該模型的主體，并且由附加方程及初始、邊界條件一起構(gòu)成了描述裂縫內(nèi)支撐劑輸送沉降數(shù)學(xué)模型的定解問題。

1.2 物理模型

對(duì)經(jīng)典的PKN 模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，由于靠近井筒的裂縫近似于在同一層位上，溫度變化很小，可忽略溫度的變化，PKN 模型的水平剖面為（2n+2）次拋物線形，可簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方形，根據(jù)等比例原則，簡(jiǎn)化的二維物理模型見圖1。本文采用DPM 離散相模型來進(jìn)行計(jì)算［7-9］，對(duì)模型邊界條件的描述見圖2，計(jì)算過程中條件和材料的性質(zhì)見表1。

圖1 裂縫幾何模型

圖2 模型邊界條件的描述

表1 操作條件和材料的性質(zhì)

2 FlUENT 模擬和結(jié)果分析

所有的模擬均在20 s 左右完成，每次模擬時(shí)間略有不同。在DEM（離散相）模擬中，為了更精確地?fù)渥筋w粒間的相互運(yùn)動(dòng)，時(shí)間步數(shù)通常設(shè)置為很小。速度云圖見圖3。

圖3 速度云圖

由圖3 可看出，支撐劑注入裂縫后，由于液體流動(dòng)，在裂縫底部支撐劑速度幾乎為0，此時(shí)支撐劑還未開始沉降，隨著裂縫長(zhǎng)度的延伸，裂縫底部支撐劑速度增加，支撐劑開始沉降。水平方向上支撐劑的初始速度很快，隨著裂縫長(zhǎng)度的延伸，沿程摩阻的增加，動(dòng)能減少，速度下降。沉降過程中初始速度較快使得曲線較陡，同時(shí)裂縫壁面的存在將增大顆粒沉降阻力，隨著時(shí)間的延續(xù)，沉降速度降低，坡度減小，速度逐漸接近平衡狀態(tài)。而且由于受流體的作用，靠近壁面的支撐劑顆粒明顯沒有裂縫中部區(qū)域的顆粒運(yùn)動(dòng)快，顆粒的沉降速度較流體的運(yùn)移速度小。顆粒軌跡圖見圖4。

圖4 顆粒軌跡

由圖4 可看出，初始顆粒主要集中在裂縫端部，使近井眼及裂縫底部的區(qū)域砂濃度較高，隨著裂縫長(zhǎng)度的延伸，支撐劑顆粒在縫內(nèi)輸送過程中不斷沉降。支撐劑在垂向沉降的過程中，在水平方向上是隨機(jī)擴(kuò)散的，因其在裂縫中，所以擴(kuò)散強(qiáng)度不大，幾乎沒有支撐劑顆粒被擴(kuò)散到裂縫頂部。大部分顆粒逐漸沉降了，靠近縫端的支撐劑由于進(jìn)入裂縫時(shí)接近于裂縫頂部，初始速度較大，在沉降過程中被攜帶至裂縫頂部，所以砂濃度很小。有效黏度分布點(diǎn)見圖5。

圖5 有效黏度分布點(diǎn)

由圖5 可看出，在整個(gè)輸送過程中，初始黏度變化較小，隨著裂縫長(zhǎng)度的延伸，黏度明顯降低。由于壁面對(duì)液體具有剪切作用，造成液體攜砂能力下降，所以在垂直方向和水平方向上支撐劑濃度減小。尤其在裂縫寬度較窄、水平流速加快的情形下，剪切稀釋作用更加明顯，使沉降加快，可能造成砂堵，達(dá)不到預(yù)期輸砂效果。

3 結(jié)論

在支撐劑顆粒動(dòng)態(tài)沉降及輸送方程的基礎(chǔ)上，通過FLUENT 軟件模擬研究了支撐劑在裂縫中的輸送，得到了支撐劑的速度、顆粒分布及黏度變化情況，并得出結(jié)論：

a）沉降過程中水平方向上初始速度較快，而隨著時(shí)間的延續(xù)，速度逐漸降低；隨著裂縫長(zhǎng)度的延伸，支撐劑開始沉降，速度逐漸增加，最后趨于平衡；由于裂縫壁面效應(yīng)，靠近壁面的支撐劑顆粒明顯沒有裂縫中部區(qū)域的顆粒運(yùn)動(dòng)快。

b）初始時(shí)刻近井眼及裂縫底部的區(qū)域砂濃度較高，由于顆粒的沉降，隨著裂縫長(zhǎng)度的延伸，支撐劑顆粒在裂縫內(nèi)輸送過程中不斷沉降。

c）整個(gè)輸送過程中，由于壁面對(duì)液體的剪切作用，使得黏度不斷降低，在水平方向上支撐劑黏度明顯減小。

實(shí)際上支撐劑顆粒在裂縫中的輸送沉降過程是復(fù)雜的，為簡(jiǎn)化計(jì)算過程，此模型沒有考慮液體在裂縫中的濾失，如能在模擬中加入濾失模塊，可進(jìn)一步提高模型的準(zhǔn)確性。

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