黃禮鏗，高正紅，張德虎

（西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動力學(xué)國家重點試驗室，陜西 西安 710072）

0 引 言

隨著飛行器性能要求的不斷提高，氣動外形設(shè)計面臨更大的挑戰(zhàn)，出現(xiàn)了越來越多的高可信度氣動分析方法。高可信度方法通常需要很大的計算量，雖然在過去的幾十年間計算能力發(fā)生了巨大的變化，但高可信度模型仍然無法直接應(yīng)用于優(yōu)化設(shè)計。為了提高優(yōu)化過程的效率，一種有效的方法是構(gòu)造基于代理模型的優(yōu)化方法［1－2］。

代理模型方法最基本的思路是通過構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的近似模型即代理模型，替代優(yōu)化設(shè)計中復(fù)雜的氣動特性分析方法，從而減少優(yōu)化問題求解的計算量。目前可行的代理模型技術(shù)包括數(shù)據(jù)擬合模型、降階模型、以及啟發(fā)式模型，數(shù)據(jù)擬合模型，通常通過對高可信度模型的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合或者退化得到高可信度模型輸入與輸出之間的關(guān)系，構(gòu)造簡化的近似模型，常用的方法有BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Backpropogation Neural Net，BPNN）［3］、徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）［4］、Kriging 模型［5］、高斯過程（Gaussian Process，GP）［6］、多項式響應(yīng)面（Polynomial Response Surface Method，PRSM）［7］等等；降階模型，降階模型的構(gòu)建依賴于控制方程信息，通常由偏微分方程或者常微分方程描述的系統(tǒng)可以構(gòu)建降階模型，降階模型不適合于控制方程未知或基于經(jīng)驗關(guān)系的情形，如使用正規(guī)正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）［8］和模型分析一類的方法得到的降階模型；啟發(fā)式模型，也被稱為多可信度、變可信度、變復(fù)雜度模型，變可信度模型利用兩個不同可信度的計算工具對相同的物理過程進(jìn)行數(shù)值模擬，一般高可信度的方法精度較高，但需要更大的計算代價，低可信度的方法精度較低，但是需要的計算代價很低，利用大量低可信度數(shù)據(jù)來提高少量高可信度數(shù)據(jù)構(gòu)造的代理模型精度，減少得到合理精度代理模型所需要的計算代價［9］。

對于復(fù)雜的多設(shè)計變量氣動外形優(yōu)化問題，構(gòu)造精確的代理模型需要大量的樣本計算量。如何在確保預(yù)測精度的前提下，降低代理模型樣本計算量是代理模型研究的重要方向。變可信度代理模型因引入兩種不同可信度目標(biāo)函數(shù)計算模型的樣本，通過利用計算量較少的低可信度模型樣本，減少計算量較大的高可信度樣本的計算，得到了廣泛的關(guān)注［10］。本文采用Co－Kriging方法［11－12］開展變可信度代理模型研究，傳統(tǒng)的變可信度代理模型簡單的使用不同可信度模型的差值或比值實現(xiàn)，但是Co－Kriging方法使用兩組獨(dú)立的樣本數(shù)據(jù)，能夠處理更為復(fù)雜的關(guān)系，因此用其構(gòu)建代理模型具有更大的靈活性，并且可以提供預(yù)測結(jié)果的誤差估計，給樣本補(bǔ)充提供了依據(jù)。文中通過典型函數(shù)問題研究了如何通過選樣方案設(shè)計，構(gòu)造高效的變可信度代理模型。在此基礎(chǔ)上，針對RAE2822翼型氣動設(shè)計問題，基于不同代理模型的翼型優(yōu)化設(shè)計對比證實了該方法的工程實用性。

1 Co－Kriging變可信度代理模型

代理模型可以使用有限數(shù)量的數(shù)值模擬結(jié)果來代表真實模型。為了使用有限數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)得到高精度的高可信度模型近似，為了提高代理模型的計算效率和預(yù)測精度，人們對代理模型方法的結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了大量研究，但是代理模型的預(yù)測精度與樣本數(shù)量直接相關(guān)，高精度氣動特性分析樣本的計算代價是制約代理模型精度提高的主要因素。變可信度代理模型可以利用大量低可信度模型信息來提高少量高可信度模型數(shù)據(jù)構(gòu)造的代理模型的精度，在大大減少計算量的情況下得到較高的代理模型預(yù)測精度。傳統(tǒng)的變可信度代理模型方法利用高低可信度模型之間的差值，利用代理模型方法對高低精度模型的差值進(jìn)行建模，用差值代理模型對低可信度模型的誤差進(jìn)行修正，提高其預(yù)測精度。由于對同一樣本需分別采用高、低可信度模型進(jìn)行分析，并且在使用中需要計算低可信度模型，其計算量仍然較大，而且其預(yù)測精度很大程度上依賴于低可信度模型的分析精度。Co－Kriging方法利用兩組獨(dú)立的高、低可信度樣本數(shù)據(jù)，充分利用樣本數(shù)據(jù)挖掘低可信度模型信息，降低了樣本數(shù)據(jù)和代理模型使用中的計算代價。Co－Kriging方法是Kriging方法的擴(kuò)展，以使用于雙層甚至是多層模型的代理模型構(gòu)造，其構(gòu)造的代理模型的近似估計可以表示如下：

其中Zc（）代表對低可信度樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造的Kriging代理模型，Zd（）表示對高、低可信度樣本數(shù)據(jù)差值構(gòu)造的Kriging代理模型。考慮兩組獨(dú)立的高、低可信度數(shù)據(jù)，高可信度數(shù)據(jù)有ne個樣本Xe，低可信度模型有nc個樣本Xc，樣本點之間的協(xié)方差可以表示為：

其中樣本之間的相關(guān)性矩陣R是由一個空間相關(guān)函數(shù)（Spatial Correlation Function，SCF）決定的：

若Rc（Xc，Xe）表示樣本數(shù)據(jù)Xc與Xe之間的空間相關(guān)性矩陣，則Co－Kriging方法的協(xié)方差矩陣即可表示為

因此Co－Kriging方法有兩種不同的空間相關(guān)函數(shù)，有更多的相關(guān)參數(shù)（θc、θd、pc、pd以及放大因子ρ）需要估計。由于低可信度模型數(shù)據(jù)與高可信度模型數(shù)據(jù)相互獨(dú)立，相關(guān)參數(shù)θc、pc的估計求解與標(biāo)準(zhǔn)Kriging方法的求解方法相同。為了估計θd、pd以及ρ，首先定義：

其中yc（Xe）是在點Xe處低可信度模型的值yc。這樣就可以采用與標(biāo)準(zhǔn)Kriging類似的優(yōu)化過程來求得對θd、pd以及ρ的估計。Co－Kriging模型的預(yù)測估計式可表達(dá)如下：

其中＝（fTC－1f）－1fTC－1y，f表示值全為1的ns維列向量

同Kriging方法一樣，Co－Kriging方法也可以給出估計值的均方誤差估計，其表達(dá)式為：

2 選樣方案研究

代理模型的近似精度與樣本數(shù)量和樣本可信度直接相關(guān)，Co－Kriging變可信度代理模型可以使用兩組獨(dú)立的高、低可信度樣本數(shù)據(jù)，合理分配兩種可信度模型的選樣數(shù)量對Co－Kriging方法構(gòu)造的代理模型的近似精度以及計算代價至關(guān)重要。為此使用兩個函數(shù)算例開展選樣方案研究，針對不同數(shù)量的高、低可信度樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造了三種代理模型進(jìn)行對比，a）使用Kriging方法和高可信度樣本數(shù)據(jù)直接構(gòu)造高可信度模型的近似（Kriging）；b）使用Kriging方法和高、低可信度樣本數(shù)據(jù)的差值構(gòu)造差值的近似，再加上低可信度模型的值作為高可信度模型的近似（Delta－Kriging）；c）使用Co－Kriging方法和變可信度模型樣本數(shù)據(jù)作為高可信度模型的近似（Co－Kriging）。為了進(jìn)行代理模型的近似誤差對比，利用拉丁超立方方法選取獨(dú)立的檢驗數(shù)據(jù)，誤差選為均方相對誤差（Mean Relative Square Error，MRSE）

及最大相對誤差（Max Relative Error，MRE）作為檢驗代理模型預(yù)測誤差的標(biāo)準(zhǔn)

2.1 單變量函數(shù)分析

假設(shè)高可信度模型為函數(shù)fe（x）＝（7x－1）2sin（14x－4），x∈｛0，1）。低可信度模型可以表達(dá)為fc（x）＝Afe＋B（x－0.5）－C其中A＝0.4，B＝10，C＝－5。由于問題非常簡單，樣本點的選取是認(rèn)為指定的，通過測試得知nsh＝4，nsl＝11時，Co－Kriging方法就可以得出與真實函數(shù)吻合的近似結(jié)果（如圖1）。當(dāng)高可信度模型的選樣數(shù)量nsh＝4即3nv＋1時，不同低可信度選樣數(shù)量nsl的近似結(jié)果如圖1，可見Co－Kriging對低可信度樣本數(shù)量非常敏感，較少的低可信度樣本數(shù)量的近似結(jié)果反映不了真實函數(shù)的基本趨勢，而低可信度模型的樣本數(shù)量nsl＝11即達(dá)到10nv＋1時，又可以得到與真實函數(shù)完全吻合的近似結(jié)果。當(dāng)?shù)涂尚哦饶Ｐ偷倪x樣數(shù)量足夠11nv＋1時，不同高可信度選樣數(shù)量nsh的近似結(jié)果如圖2，Co－Kriging變可信度代理模型只需要較少的高可信度樣本（3nv＋1）就可以得到與真實函數(shù)吻合的近似結(jié)果，Kriging模型和Delta－krigng模型則需要更多的高可信度樣本（10nv＋1）。在高可信度模型樣本不足時，Delta－Kriging模型的近似結(jié)果要比Kriging模型的更精確。

圖1 低可信度選樣數(shù)量對代理模型預(yù)測結(jié)果的影響Fig.1 The influence of number of low－fidelity samples

圖2 高可信度選樣數(shù)量對代理模型預(yù)測結(jié)果的影響Fig.2 The influence of number of high－fidelity samples

2.2 雙變量函數(shù)

高可信度模型為函數(shù)fe（X）＝20＋＋x－10cos（2πx1）－10cos（2πx2），x1，x2∈［0，2］。該函數(shù)是一個具有多峰值的雙變量函數(shù)，構(gòu)造的低可信度模型則表達(dá)為fc（X）＝Afe＋B（x1＋x2－0.5）－C。其中A＝0.6，B＝5，C＝1。由于問題的復(fù)雜度增加，樣本的選取采用了拉丁超立方方法（Latin Hypercube Method），給定較多高可信度選樣數(shù)量時nsh＝5nv＋1，不同低可信度選樣數(shù)量nsl的近似結(jié)果如圖3，可見當(dāng)問題復(fù)雜度提高時Co－Kriging方法對低可信度樣本數(shù)量要求很高，需要低可信度樣本數(shù)量nsl達(dá)到35nv＋1，才能得到與真實函數(shù)吻合的近似結(jié)果。

圖3 低可信度選樣數(shù)量對代理模型預(yù)測結(jié)果的影響Fig.3 The influence of number of low－fidelity samples

在低可信度選樣數(shù)量足夠時nsl＝35nv＋1，不同高可信度選樣數(shù)量nsh的近似結(jié)果如圖4，使用Co－Kriging方法只需要3nv＋1的高可信度樣本就可以得到滿意的近似結(jié)果。可見問題的復(fù)雜程度決定Co－Kriging方法對低可信度模型的選樣數(shù)量，而對高可信度模型需要的樣本數(shù)量影響不大，由于低可信度模型的計算時間和資源消耗都很廉價，Co－Kriging方法可以大大減少構(gòu)造高精度代理模型的代價。

3 氣動優(yōu)化算例

圖4 高可信度選樣數(shù)量對代理模型預(yù)測結(jié)果的影響Fig.4 The influence of number of high－fidelity samples

由于測試函數(shù)體現(xiàn)不出復(fù)雜工程優(yōu)化問題的非線性特性，因此進(jìn)行一個RAE2822翼型減阻優(yōu)化算例來進(jìn)一步證實Co－Kriging方法的特性，計算狀態(tài)為M＝0.729以及攻角α＝2.31°。為了進(jìn)行翼型的氣動特性計算，將全速度勢方程解作為低可信度模型，而把RANS方程的數(shù)值解作為高可信度模型。翼型采用Hicks－Henne方法進(jìn)行參數(shù)化，總的設(shè)計變量個數(shù)為12個。根據(jù)函數(shù)算例的結(jié)果，使用拉丁超立方方法（Latin Hypercube Method）選取了150個低可信度樣本。

圖5為代理模型對升力系數(shù)預(yù)測結(jié)果的對比，基于差值的Delta－Kriging變可信度模型在樣本數(shù)量較少時其近似精度要比Kriging模型高，但隨著樣本數(shù)量的增加，其預(yù)測精度與Kriging模型的越來越一致，Co－Kriging變可信度模型在大量低可信度數(shù)據(jù)的輔助下使用很少的高可信度樣本就得到了很高的近似精度，這說明基于高、低可信度差值的Kriging模型可以提取的高低可信度模型間的關(guān)系信息很有限，而Co－Kriging方法可以充分挖掘低可信度模型的信息，大大提高了代理模型的效率，在基于高精度復(fù)雜數(shù)值模擬的優(yōu)化設(shè)計時帶來極大的好處。

利用遺傳算法進(jìn)行了基于代理模型和RANS方程數(shù)值模擬的翼型減阻優(yōu)化，優(yōu)化中對翼型的最大厚度以及升力系數(shù)進(jìn)行約束。遺傳算法的種群規(guī)模為100，優(yōu)化進(jìn)行了30代，優(yōu)化模型為：

圖5 代理模型預(yù)測誤差對比Fig.5 Comparison of lift coefficient approximation

CD、CL、CM分別為翼型的阻力系數(shù)、升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的設(shè)置是期望升力系數(shù)盡量靠近0.743，同時最小化阻力，并且對控制翼型的最大厚度max和俯仰力矩系數(shù)進(jìn)行約束?；诖砟Ｐ偷膬?yōu)化中對每一代的最優(yōu)解進(jìn)行驗證并更新代理模型，優(yōu)化后的翼型形狀和壓力分布如圖6，可見基于Co－Kriging變可信度模型的優(yōu)化結(jié)果與基于RANS方程數(shù)值模擬（即高可信度模型）的優(yōu)化結(jié)果基本一致，優(yōu)化后翼型的激波得到了極大地削弱。而基于Kriging模型的優(yōu)化結(jié)果雖然也削弱了激波，但是比另外兩種方法的要強(qiáng)一些。這說明利用足夠的低可信度樣本數(shù)據(jù)（大于10nv＋1）和少量高可信度樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造的Co－Kriging變可信度代理模型可以給出更好的近似結(jié)果和正確的優(yōu)化方向，同時大大減少了優(yōu)化過程的計算代價，可以滿足工程設(shè)計優(yōu)化的需要并提高優(yōu)化設(shè)計過程的效率。

圖6 優(yōu)化結(jié)果翼型和壓力分布Fig.6 The optimized airfoil and pressure coefficient distribution

4 結(jié) 論

本文利用Co－Kriging方法構(gòu)造了一種高效的變可信度代理模型，可以利用大量低可信度模型數(shù)據(jù)來增強(qiáng)模型的預(yù)測能力，提高代理模型的效率，在高可信度數(shù)據(jù)難以獲取時可以帶來極大的好處。代理模型的近似精度與樣本數(shù)量和樣本可信度直接相關(guān)，使用單變量函數(shù)和雙變量函數(shù)算例對代理模型進(jìn)行的選樣方案研究表明，Co－Kriging方法比Kriging方法更加高效，只要超過3nv＋1就可以得到合理近似精度，其所需低可信度模型數(shù)據(jù)則要隨著問題的復(fù)雜程度不斷增加。用遺傳算法進(jìn)行的基于代理模型的翼型減阻優(yōu)化結(jié)果證實Co－Kriging變可信度代理模型更加高效，其優(yōu)化結(jié)果和使用高可信度模型直接進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)果基本一致，能夠滿足工程設(shè)計優(yōu)化的需要。

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