李少鵬，李明水，馬存明，廖海黎

（西南交通大學(xué) 風(fēng)工程試驗研究中心，四川 成都 610031）

0 引 言

大跨度橋梁可以視為一種細長結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的抖振分析一般基于片條假設(shè)，近似認為脈動風(fēng)及其引起的非定常氣動力具有線性關(guān)系，即抖振力的空間相關(guān)性與脈動風(fēng)的空間相關(guān)性是等價的［1］。研究結(jié)果表明，對于大跨橋梁，脈動風(fēng)的順風(fēng)向積分尺度（大約100m～200m）至少10倍于結(jié)構(gòu)的特征尺寸，因此紊流引起的非定常阻力可以采用片條假設(shè)較為精確的描述。而脈動風(fēng)的豎向積分尺度（大約30m～50m）與橋?qū)捊咏?，因而抖振升力與抖振力矩的跨向分布則不能用片條假設(shè)精確描述［2］，這也是橋梁抖振精細化研究的一個重要方向。

Roberts認為在風(fēng)洞中由格柵產(chǎn)生的紊流是各項同性的，其脈動風(fēng)譜可以用Von Karman譜良好的擬合，并據(jù)此提出了適用于各向同性紊流的空間相關(guān)性計算方法［3］。Mann等人也提出了類似的、計算各向同性紊流空間相關(guān)性的計算公式［4－6］。李等［7］基于經(jīng)典空氣動力學(xué)理論進一步研究了各向同性紊流下抖振力的空間相關(guān)性，定義了抖振力和脈動風(fēng)空間交叉譜以及無量綱相干函數(shù)的一般表達式，并通過實際算例驗證了其理論的有效性。Larose［8－9］和馬［10］運用尖塔、格柵形成紊流場，通過節(jié)段模型測壓試驗，直接測得表面壓力分布，將測點壓力沿斷面積分即可得到該截面的抖振力，進而研究抖振力的跨向相關(guān)性，試驗表明，對于箱形斷面，抖振力的跨向相關(guān)性大于脈動風(fēng)的相關(guān)性。

在Larose等人的節(jié)段模型測壓試驗中，由于風(fēng)洞試驗段尺寸以及模型縮尺比的限制，故采用的試驗段長度較小，其中，Larose節(jié)段模型試驗段長度0.3m，馬［10］的試驗段長度0.48m，因此以上試驗均無法反映較長跨向間距內(nèi)抖振力的跨向相關(guān)性。而且以上試驗成果均反映的是風(fēng)洞被動模擬紊流場下抖振力的跨向相關(guān)性，而風(fēng)洞試驗結(jié)果能否反映自然大氣紊流下抖振力的跨向相關(guān)性尚無定論。為了突破上述試驗瓶頸，進一步研究抖振力的跨向分布規(guī)律，理論分析方法可成為解決這一難題的有效手段之一。

本文將以抖振升力為例，通過理論分析手段，建立能夠合理描述抖振力跨向相關(guān)性的數(shù)學(xué)模型，并與Larose的試驗結(jié)果進行對比，進而得到抖振力跨向相關(guān)性的一般規(guī)律。本文的研究成果可以推廣到抖振力矩與阻力的跨向相關(guān)性研究之中。

1 抖振力跨向相關(guān)性數(shù)學(xué)模型

基于各向同性紊流假設(shè)，以升力為例，抖振力及脈動風(fēng)的跨向相關(guān)性以互相關(guān)系數(shù)來表示：

式中，ΦjAB為A、B兩點的互相關(guān)系數(shù)（j＝1表示抖振升力，j＝2表示縱向脈動分量，j＝3表示豎向脈動分量）；CovjAB為A、B兩點的協(xié)方差；σjA、σjB分別為A或B點的均方根；SjAB為A、B兩點的互譜；SjA、SjB分別為A、B點的點譜。

對于各向同性紊流，可以認為σjA＝σjB，即SjA＝SjB（j＝1～3），因此下文用Sj來表示任意兩點的點譜。由此式（1）可以化簡為如下形式：

式中，j＝1～3，意義同上。

Larose定義如下形式的抖振升力模型：

式中，S1AB、S2AB及S3AB的定義與式（1）相同；A1為氣動導(dǎo)納函數(shù)；C1為升力系數(shù)；表示升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)。

式（2）中氣動導(dǎo)納采用Sears函數(shù)形式的Liepmann［11］近似表達式：

式中，B為橋?qū)挘琔為平均風(fēng)速。

本文采用李等［4］提出的脈動風(fēng)互譜計算公式：

式中，j＝2或3，分別表示縱向及豎向脈動分量；η為A、B兩點距離；U為主梁水平高度處的平均風(fēng)速；J1（ω）為第一類Bessel函數(shù)。

在此，以Von Karman譜表示風(fēng)洞模擬風(fēng)譜，以基于大量實測而建立的自然大氣功率譜Simiu譜［12］和Panofsky譜［13］分別表示縱向、豎向自然大氣風(fēng)譜，根據(jù)式（2）～式（5），分別對兩類風(fēng)譜下抖振力及脈動風(fēng)沿跨向的互相關(guān)系數(shù)進行數(shù)值積分，由此可得其精確解。

Von Karman譜［14］如下表示：

式中，、分別表示縱向及豎向脈動風(fēng)均方值；、分別為縱向和豎向脈動風(fēng)積分尺度。

對于各向同性紊流，一般認為：＝以及＝／2，但 Bearman［15］發(fā)現(xiàn)風(fēng)洞試驗產(chǎn)生的各向同性紊流滿足＝1.46，因而豎向 Von Karman譜可以表示為：

Simiu譜如下表示：

式中，f＝nz／U；為剪切速度均方值。

Panofsky譜如下表示：

式中，f＝nz／U為剪切速度均方值，對于各向同性紊流，可近似認為≈。

將式（6）～式（10）代入式（2）～式（5），可得抖振力及脈動風(fēng)沿跨向互相關(guān)系數(shù)的一般性表達式：

式中，j＝1～3；ψ、?為待定參數(shù)；K＝為無量綱折減頻率（對于自然大氣風(fēng)譜，z表示高度；對于風(fēng)洞模擬風(fēng)譜，z表示縱向積分尺度Lu）。

對于不同類型的風(fēng)譜，只需改變參數(shù)ψ、?即可得到抖振力以及脈動風(fēng)沿跨向的互相關(guān)系數(shù)，在風(fēng)洞模擬風(fēng)譜以及自然大氣風(fēng)譜下，ψ、?的取值分別如下：

對于縱向Von Karman譜：

對于豎向Von Karman譜：

基于風(fēng)洞試驗風(fēng)譜的抖振力：

式中，M＝B／z；z為主梁水平高度。

對于Simiu譜：

對于Panofsky譜：

基于自然大氣風(fēng)譜的抖振力：

不同的跨向間距內(nèi)，在風(fēng)洞模擬風(fēng)譜下抖振力及脈動風(fēng)的跨向相關(guān)系數(shù)分別如圖1、圖2所示，為了清晰表示，圖2橫坐標采用對數(shù)坐標。

圖1 風(fēng)洞模擬風(fēng)譜下抖振力及脈動風(fēng)的互相關(guān)系數(shù)Fig.1 Cross－correlation coefficient of buffeting force ＆turbulence based on tunnel wind spectrum

圖2 風(fēng)洞模擬風(fēng)譜下抖振力及脈動風(fēng)的互相關(guān)系數(shù)Fig.2 Cross－correlation coefficient of buffeting force ＆turbulence based on tunnel wind spectrum

自然大氣風(fēng)譜下抖振力與脈動風(fēng)的跨向相關(guān)系數(shù)如圖3所示：

圖3 自然大氣風(fēng)譜下抖振力與脈動風(fēng)互相關(guān)系數(shù)Fig.3 Cross－correlation coefficient of buffeting force ＆turbulence based on natural wind spectrum

綜合圖1～圖2結(jié)果可以得出，在風(fēng)洞模擬風(fēng)譜下，抖振力的跨向相關(guān)性高于脈動風(fēng)的相關(guān)性這一結(jié)論僅在一定的跨向間距內(nèi)成立。由圖1所示，在較小間距內(nèi)，理論計算得到的抖振力互相關(guān)系數(shù)與Larose的風(fēng)洞試驗結(jié)果很好的吻合。但是，如圖2所示，隨著跨向距離的增大，抖振力的跨向相關(guān)性逐漸低于脈動風(fēng)的跨向相關(guān)性，并介于縱向與豎向脈動風(fēng)的相關(guān)性之間。而在自然大氣風(fēng)譜下，由圖3可以清晰的反映出抖振力的跨向相關(guān)性介于縱向脈動風(fēng)與豎向脈動風(fēng)的相關(guān)性之間。

由此，可以大膽推斷，抖振力的跨向相關(guān)性高于脈動風(fēng)的相關(guān)性這一論斷成立是有一定限定條件的，即在風(fēng)洞試驗產(chǎn)生的紊流場中，其僅在一定的跨向間距內(nèi)成立；而在自然大氣紊流場中，抖振力的跨向相關(guān)性則介于縱向脈動分量與豎向脈動分量的相關(guān)性之間。

2 基于Davenport相干函數(shù)經(jīng)驗公式的抖振力跨向相關(guān)性

由于自然大氣中的脈動風(fēng)不符合各向同性紊流假設(shè)，為了進一步驗證上述推斷的有效性，下面采用Davenport提出的相干函數(shù)經(jīng)驗公式來求解自然大氣風(fēng)譜下抖振力的跨向相關(guān)性。

Roberts［3］和 Houblt［16］都曾定義過如下形式的空間譜的相關(guān)系數(shù)函數(shù)：

式中，M和M′為空間任意兩點。

按照上述定義，本文采用下式來計算兩點脈動風(fēng)的互譜：

式中，j＝2～3，分別表示縱向及豎向脈動分量；R（ω，η）為相干函數(shù)，這里采用Davenport［17］相干函數(shù)經(jīng)驗公式：

式中，n為頻率；r為空間兩點距離；y1、y2、z1、z2分別為空間兩點的橫向坐標和豎向坐標；1、2分別為高度z＝z1和z＝z2處的平均風(fēng)速；Cy、Cz分別為與橫向及豎向相關(guān)的指數(shù)衰減系數(shù)，Cy和Cz一般可取Cy＝8，Cz＝7。

考慮到橋梁主梁的高度較小，近似地認為整個主梁在同一水平高度上，即z1＝z2；則式（26）可以化簡如下：

式中，η為跨向距離，U為主梁水平高度處平均風(fēng)速。

將式（27）代入式（25）即可得到空間兩點抖振力及脈動風(fēng)的互譜：

將自然大氣風(fēng)譜及式（28）代入式（2）即可得到此風(fēng)譜下的抖振力和脈動風(fēng)的跨向互相關(guān)系數(shù)，分析結(jié)果如下所示：

對于Simiu譜：

對于Panofsky譜：

基于自然大氣風(fēng)譜的抖振力參數(shù)如下所示：

由式（29）～式（31）可得自然大氣風(fēng)譜下抖振力及脈動風(fēng)的跨向互相關(guān)系數(shù)如下所示。

圖4 基于經(jīng)驗相干函數(shù)的抖振力及脈動風(fēng)互相關(guān)系數(shù)Fig.4 Cross－correlation coefficient of buffeting force ＆turbulence based on empirical coherence function

對比圖3、圖4可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)Davenport相干函數(shù)經(jīng)驗公式得到的抖振力及脈動風(fēng)的互相關(guān)系數(shù)與第2節(jié)理論計算結(jié)果趨勢一致，由此可以驗證在自然大氣紊流場中本模型的有效性。

3 結(jié) 論

本文通過理論分析方法，深入研究了抖振力與脈動風(fēng)在不同流場以及較大跨向間距范圍內(nèi)的跨向相關(guān)性，由此可以得以下結(jié)論：

（1）在風(fēng)洞模擬紊流場中，在較小的跨向間距內(nèi)，抖振力的跨向相關(guān)性高于脈動風(fēng)的相關(guān)性，并與Larose試驗結(jié)果吻合，而隨著跨向間距的增大，抖振力的跨向相關(guān)性逐漸低于脈動風(fēng)的相關(guān)性。

（2）在自然大氣紊流場中，抖振力的跨向相關(guān)性介于縱向脈動風(fēng)與豎向脈動風(fēng)的相關(guān)性之間。

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