胡 何 麗

（沈陽大學 裝備制造綜合自動化重點實驗室，遼寧 沈陽 110044）

現(xiàn)實系統(tǒng)中廣泛地存在著滯后現(xiàn)象.無論是工程技術領域，還是物理學、化學、生物醫(yī)學等領域，基于實際問題提出的數(shù)學模型都含有典型的滯后信息.尤其是帶有反饋的自動控制系統(tǒng)裝置，在系統(tǒng)的控制輸入信號和收到系統(tǒng)的反饋信號之間，顯然有一個時間延遲，即時滯.因此，采用傳統(tǒng)的微分方程來描述系統(tǒng)，得到的只能是系統(tǒng)狀態(tài)的一種近似行為，并且如果達不到系統(tǒng)的性能的要求，則會出現(xiàn)錯誤、故障，甚至使得系統(tǒng)崩潰.特別是，由于系統(tǒng)元器件的老化和現(xiàn)場惡劣的環(huán)境等諸多因素的影響，可能使得系統(tǒng)控制器參數(shù)的微小變化導致系統(tǒng)性能的下降甚至使得控制器起不到作用，完全失效［1-3］.因此，人們對實際工程控制系統(tǒng)提出更高的要求，不但要求系統(tǒng)的模型相當準確的描述系統(tǒng)的行為，而且要求系統(tǒng)的控制器能較快并允許一定的攝動來實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定等性能.于是，考慮系統(tǒng)帶有不確定項，并且考慮控制器參數(shù)具有攝動情況的這類實際系統(tǒng)，得到了廣大學者的廣泛關注.文獻［4］提出一種混合LQ／H∞非脆弱模糊控制器的設計方法，研究當控制器存在可加性攝動時仍能保持對系統(tǒng)的鎮(zhèn)定并滿足給定的LQ／H∞性能指標.文獻［5］針對變機翼后掠角NSV 設計了多模型軟切換保性能非脆弱控制方案，根據(jù)可測前提變量將系統(tǒng)工作空間利用劃分為多個子區(qū)域，并將各局部控制器在模糊子區(qū)域的的邊界上進行切換，系統(tǒng)的控制器由各局部控制器按照模糊加權得到.

中立系統(tǒng)是一類特殊的時滯系統(tǒng)，其主要特征是：系統(tǒng)中既含有狀態(tài)變量的最高階導數(shù)，還含有帶有時滯的狀態(tài)變量的最高階導數(shù)［6］.實際工程系統(tǒng)中廣泛存在著這樣的中立型微分方程，例如化工過程的雙級溶解槽、人口免疫反應、薄的運動體的連續(xù)熱感應、全波等效電路、無損電線傳輸?shù)?文獻［7］提供了一個用來描述無損電線傳輸中，電壓和電源的波動模型四維線性中立型時滯系統(tǒng).另外，中立型時滯系統(tǒng)亦出現(xiàn)在渦輪噴氣式飛機引擎系統(tǒng)，人口動態(tài)以及血液中的白蛋白分布等問題的研究中.因此，近年來中立型時滯系統(tǒng)的理論研究備受研究者的青睞［8-19］.Quan等人［8］研究了在一類臨界情況下即：中立項系數(shù)矩陣的譜半徑等于1時的線性中立系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，得到的穩(wěn)定性判據(jù)符合當系統(tǒng)的中立項系數(shù)矩陣具有Jordan塊時系統(tǒng)不穩(wěn)定的事實.在文獻［9］中，Moezzi和Aghdam 考慮了具有不確定項的時滯中立系統(tǒng)的自適應魯棒鎮(zhèn)定問題，提出（4一）個新穎的無記憶自適應狀態(tài)反饋控制器，同時引入一個自適應策略用于估計系統(tǒng)不確定項的界.Wang［10］等人開發(fā)了一種代數(shù)矩陣方程方法來有效處理全階觀測器設計問題，確保誤差動態(tài)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.然而，由于中立系統(tǒng)自身的復雜性，關于中立系統(tǒng)的非脆弱控制研究的文獻卻較少.

本文考慮系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入均含有時變時滯的非線性不確定中立系統(tǒng)在控制器存在攝動的情況下系統(tǒng)的魯棒控制問題.考慮的系統(tǒng)的非線性擾動僅可知其幅值界，同時采用靈活的矩陣分解和放大技巧，并引入一個積分不等式用于放大因求取Lyapunov泛函的導數(shù)產(chǎn)生的積分項，得到保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定判據(jù).另外，給出保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的對含有不確定的中立項系數(shù)的約束條件.通過數(shù)值例子和仿真結果展現(xiàn)本文結果有效性.

1 問題描述

考慮如下一類非線性不確定中立系統(tǒng)：

式中，x（t）∈Rn和u（t）∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入向量；A，Aσ，Aη，B 和Bδ為已知的適當維數(shù)的矩陣；φ（t）是系統(tǒng)的初始條件；σ（t），η（t）和δ（t）表示時變時滯.

假定存在滿足如下約束條件的常數(shù)f0，g0，h0，f，g，h 和l：

時變參數(shù)不確定項ΔA（t），ΔAσ（t），ΔAη（t），ΔB（t），ΔBδ（t）具有如下形式：

式中，C，D1，Dσ，Dη，D2和Dδ是適當維數(shù)的常數(shù)矩陣；F（t）為滿足如下約束的未知矩陣：

假定時變非線 性擾動ω（t，x（t），x（t-τ（t）））幅值有界，滿足

構造如下狀態(tài)反饋控制器：

式中，K∈Rm×n是要設計的控制器增益，并且ΔK是控制器增益擾動，ΔK＝MˉF（t）N，M 和N 是適當維數(shù)的常數(shù)矩陣，ˉF（t）為滿足如下約束的未知矩陣：

本文的目標是對在具有約束（2）、（3）、（4）下的系統(tǒng)（1），設計形如（5）的控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.若這樣的控制器存在，則控制器（5）是考慮系統(tǒng)的非脆弱控制器.

引理1 對于任意的矩陣P＞0和適當維數(shù)的可微向量x（t），有

引理2 假定Z、X、S 和Y 是適當維數(shù)的矩陣，且Z 是對稱矩陣，STS≤I，那么Z＋XSY＋YTSTXT＜0成立當且僅當存在ε＞0，滿足如下不等式：

2 主要結果

定理 在具有約束（2）、（3）、（4）下的系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的，如果存在正數(shù)ε1、ε2、ε3、ε4，對稱正定矩陣Q0、Q1、Q2、Q3和矩陣X，使得如下線性矩陣不等式（LMI）成立：

那么控制器（5）是系統(tǒng)（1）的非脆弱控制器.其中，控制器增益K的表達式為K＝，并且

與廖仲結婚前，買房時，我選擇了大家公認的完美方案：買在公公婆婆居住的小區(qū)，中間隔著6棟房子，看不到彼此，但能以最快的速度出現(xiàn)在彼此家中。我心想，這樣一來，以后蹭飯、照顧孩子、照應老人都方便。

顯然，對于所有的x（t）≠0，有V（x（t），t）＞0.對V（x（t），t）的導數(shù)應用約束（2）、（3）、（4）和引理1，并經(jīng)過簡單推導，易得

式中

對式（10）左乘YT，右乘Y，其中

得到

式中，

式中，

對矩陣進行分解，得到如下表達式：

依據(jù)引理2 和Schur Complement公式，不等式（6）Γ＜0 等價于式（13＜0.而對式（13）應用引理2 和Schur Complement公式，得到＜0.條件＜0 意味著＜0.再一次對＜0應用Schur Complement公式，得到γ＜0.因此，存在常數(shù)ρ＞0，使得如下不等式成立：

對不等式（7）應用Schur Complement公式并采用矩陣的分解技巧，易知不等式（7）等價于

因此，若LMIs（6）和（7）成立，則不確定非線性中立系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的.

3 仿真例子

考慮非線性不確定系統(tǒng)（1），系統(tǒng)的參數(shù)如下：

求解LMIs（6）和（7），得到如下計算結果：

進一步地，系統(tǒng)的控制器增益為

當系統(tǒng)的初始條件和未知矩陣F（t），ˉF（t）分別如下取值

時，對系統(tǒng)（1）采用如上數(shù)據(jù)進行仿真，仿真結果如圖1和如圖2所示.

圖1 開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線Fig.1 State curve of the open loop system

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線Fig.2 The state of the closed-loop system curve

從圖1可以看出，不含有控制器的開環(huán)系統(tǒng)（1）是發(fā)散的；施加了控制器（5）后，系統(tǒng)（1）迅速收斂，在1s時幾乎達到了很好的收斂效果（圖2）.

4 結 語

研究帶有時變時滯的非線性中立系統(tǒng)的魯棒控制問題相當復雜，具有一定的挑戰(zhàn)性.本文在Lyapunov穩(wěn)定性理論框架下，設計具有加性擾動的控制器，采用靈活的矩陣分解和放大技巧，并引入一個積分不等式，推導出確?？紤]的系統(tǒng)具有漸近穩(wěn)定性的判據(jù).通過求解LMI，可以方便地得到系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器增益矩陣.數(shù)值例子和仿真結果進一步驗證了所設計非脆弱控制方法的有效性.

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