唐冰松, 王增會

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室,遼寧 大連 116024)

大量的工程實際應(yīng)用表明,若某個物理量的觀測結(jié)果存在誤差,造成誤差的原因極有可能是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差共同作用的結(jié)果.為了最大程度上消除或減輕誤差對觀測結(jié)果的影響,需要研究系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差相互作用機(jī)制以及對最終觀測結(jié)果的影響.著名學(xué)者費業(yè)泰[1]曾通過一些數(shù)學(xué)模型來解釋系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩者之間的關(guān)系,在動態(tài)測試與分析領(lǐng)域的誤差估計建立了理論模型,但在實際的工程應(yīng)用中并沒有實質(zhì)性的突破.國內(nèi)外眾多學(xué)者都對誤差建立各種模型,但一直沒有達(dá)成共識.文獻(xiàn)[2]對復(fù)雜系統(tǒng)的分級誤差模型的建立和傳遞函數(shù)的收斂性等問題進(jìn)行了詳細(xì)地闡述.文獻(xiàn)[3]采用誤差補償熱模態(tài)分析法對一個模具的模態(tài)進(jìn)行分析.文獻(xiàn)[4]對應(yīng)變軟化材料的數(shù)值穩(wěn)定性進(jìn)行分析,計算了數(shù)值模型的誤差.文獻(xiàn)[5]對低延性材料進(jìn)行試驗分析,得出應(yīng)變誤差與材料的幾何參數(shù)有直接的關(guān)系,應(yīng)力誤差高度依賴于應(yīng)力場.文獻(xiàn)[6]對一個大壩水庫模型在漲潮時的邊界條件進(jìn)行模擬,并研究了在漲潮時計算模型的誤差問題.但這些模型對解釋誤差在傳遞過程中的發(fā)散和收斂效應(yīng)以及當(dāng)存在多個子系統(tǒng)時,哪個子系統(tǒng)對誤差的傳遞占主導(dǎo)作用等問題都沒有給出明確的解釋和說明,而這些問題恰恰是解決誤差的成分識別和控制等核心問題的關(guān)鍵所在.文中的主要目的是根據(jù)復(fù)雜系統(tǒng)隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的相互關(guān)系和傳遞特征,建立一個以誤差傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的誤差傳遞模型,并分析該復(fù)雜系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的誤差在觀測目標(biāo)誤差中的主次作用,以系統(tǒng)論的角度旨在揭示影響觀測目標(biāo)誤差的各種因素和形成機(jī)制.

1 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成

(1)

|∑Δi|經(jīng)過多次測量后誤差會出現(xiàn)逐漸遞增或累計快慢呈周期性變化的情況.通過各種計算方法難以消除系統(tǒng)誤差的存在,若要從根本上改進(jìn)系統(tǒng)誤差,必須從源頭上查找造成系統(tǒng)誤差的原因,進(jìn)而改善觀測結(jié)果.

隨機(jī)誤差(random error，RE)主要是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素引起的.通常情況下隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布N(μ,σ2).

(2)

隨機(jī)誤差在實驗測量的過程中不可避免,為了最大限度地降低對觀測目標(biāo)產(chǎn)生的影響,應(yīng)盡量采用高效的處理手段消除隨機(jī)誤差對觀測結(jié)果的影響.

若系統(tǒng)同時存在系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差,并且對該系統(tǒng)的測量值均有影響[7],則不僅需要同時考慮這兩種誤差,還需要分析兩種誤差的耦合效應(yīng)對測量結(jié)果的影響.若指標(biāo)i的系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差可以表示為αi,隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差可以表示為βi,則該指標(biāo)總誤差的標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成可表示為：

(3)

其中ri(αi,βi)是與αi,βi相關(guān)的權(quán)系數(shù),ραi,βi為αi,βi的相關(guān)系數(shù).

若ri(αi,βi)=1或ri(αi,βi)=0,則ραi,βi=0.Δi關(guān)于αi,βi的全微分可表示為:

2(1-ri)βi-ραi,βiαi]dβi

(4)

式(4)表明單個指標(biāo)總的誤差方差梯度不僅和SE,RE有關(guān),和權(quán)系數(shù)ri也有關(guān).

隨著人們對系統(tǒng)誤差的認(rèn)識逐步深入,系統(tǒng)誤差對總誤差影響將逐漸減小.若αi=0,則Δi=βi,即僅留RE標(biāo)準(zhǔn)差項,Δi可以采用統(tǒng)計的方法分離,從而得到測試指標(biāo)的真值.

2 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的分離與傳遞

為了能夠清楚地敘述問題的本質(zhì),擬建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型來加以分析,如圖1.

圖1 觀測誤差與各子系統(tǒng)誤差之間的傳遞關(guān)系Fig.1 Transferring relationship between target parameter and parameters in subsystems

設(shè)觀測結(jié)果的誤差由系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差以及兩者的耦合項組成,表示為:

(5)

(6)

(7)

即:

(8)

(9)

(10)

(11)

一般認(rèn)為,式(10)在觀測目標(biāo)誤差中所占的比重比較小,可以忽略不計,因此經(jīng)過多次觀測后,式(5)可以改寫成

(12)

3 子系統(tǒng)誤差傳遞主次作用的度量

1≤i≤n

(13)

(14)

(15)

令

(16)

則

(17)

式(17)表明功能系數(shù)可以表示為所考察子系統(tǒng)與其它子系統(tǒng)傳遞函數(shù)范數(shù)之比的乘積,Lij>0.現(xiàn)對Ki與Lij進(jìn)行討論:

1) 若0

2) 若Lij>1,表明第i個子系統(tǒng)的傳遞作用大于第j個子系統(tǒng)的傳遞作用,前者相對于后者起到主導(dǎo)作用;

在實際研究中,如何確定傳遞函數(shù)的表達(dá)式一直以來為廣大學(xué)者和工程師所關(guān)心,但能夠給出傳遞函數(shù)解析解的卻非常稀少,絕大部分傳遞函數(shù)無法給出解析解,只能得到數(shù)值解甚至無法用數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá).一些學(xué)者也采用各種方法研究如何能夠得到傳遞函數(shù)的方法,如，文獻(xiàn)[8]采用理論分析的方法給出了平壁導(dǎo)熱傳遞函數(shù)的理論表達(dá)式;文獻(xiàn)[9]采用數(shù)值的方法給出了脈沖錘擊傳遞函數(shù)的數(shù)值方法;文獻(xiàn)[10]采用“標(biāo)定”的辦法給出數(shù)字地震儀系統(tǒng)的傳遞函數(shù).這些方法一般只針對特定的情況才能得到較好的結(jié)果,目前還缺乏能夠解決這一問題的公認(rèn)的理論和方法.若能得到各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù),則根據(jù)文中提出的子系統(tǒng)誤差傳遞主次作用理論就能確定影響觀測目標(biāo)的“主要”與“次要”子系統(tǒng),進(jìn)而確定誤差分析與控制主要的研究目標(biāo).

4 算例

子系統(tǒng)1，2，3對總觀測目標(biāo)的誤差貢獻(xiàn)為:

(18)

(19)

(20)

5 結(jié)論

誤差的分析與控制在工程實際應(yīng)用中十分重要.文中從系統(tǒng)的角度研究了子系統(tǒng)誤差在總誤差中的傳遞機(jī)制及其互相作用,通過計算實例分析了誤差傳遞過程中各子系統(tǒng)誤差傳遞過程中的主次作用,為誤差溯源、控制誤差,提高觀測目標(biāo)的精確性指明了方向.在實際應(yīng)用中,如何對一個復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行劃分,劃分成互相獨立的若干個子系統(tǒng),進(jìn)而確定各個子系統(tǒng)的目標(biāo)參數(shù),也是復(fù)雜系統(tǒng)誤差分析中亟待解決的問題.

[1] 費業(yè)泰. 精度理論若干問題研究進(jìn)展與未來[J]. 中國機(jī)械工程, 2000,11(3):255-257.

Fei Yetai. The development and tendency of some research problems on accuracy[J].ChinaMechanicalEngineering,2000,11(3):255-257.(in Chinese)

[2] 唐冰松,韓曉林. 結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元模型的參數(shù)識別誤差溯源及正向傳遞[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報, 2013,39(4)：132-137.

Tang Bingsong,Han Xiaolin.Error tracing and propagating positively of parameter identification based on dynamical finite element model of structure[J].JournalofLanzhouUniversityofScienceandTechnology,2013,39(4):132-137.(in Chinese)

[3] Yang Jianguo,Yuan Jingxia, Li Jun. Thermal error analysis and robust modeling for error compensation on a CNC turning centre[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,1999,36:1367-1381.

[4] Kulnarni M,Belytschco T,Bayliss A. Stability and error analysis for time integators applied to strain-softing material[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,1995,124:335-363.

[5] Koubaa S,Othman R,Zouari B,et al. Finite-element analysis of errors on stress and strain measurements in dynamic tensile testing of low ductile materials[J].ComputersandStructure,2011,89:78-90.

[6] Bouaanani N,Miquel B.A new formulation and error analysis for vibrating dam-reservoir system upstream transmitting boundary condition [J].JournalofSoundandVibration,2010,329:1924-1953.

[7] 許楨英, 費業(yè)泰, 陳曉懷. 動態(tài)精度理論研究與發(fā)展[J]. 儀器儀表學(xué)報, 2001,22(4z): 70-74.

Xu Zhenying, Fei Yetai, Chen Xiaohuai. The research and development of dynamical accuracy theory[J].ChineseJournalofScientificandInstrument(Additional),2001,22(4):70-74.(in Chinese)

[8] 胡亞才, 姜周曙, 沈杏云,等.平壁導(dǎo)熱傳遞函數(shù)研究[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報, 1998,32(6):761-768.

Hu Yacai,Jiang Zhoushu,Shen Xingyun,et al. The study of the transfer function of heat conduction in flat plane[J].JournalofZhejiangUniversity,1998,32(6):761-768.(in Chinese)

[9] 王建文. 脈沖錘擊的傳遞函數(shù)計算方法研究[J]. 應(yīng)用聲學(xué), 2011,30(5):360-365.

Wang Jianwen. A study on the transfer functionestimation algorithms of impulse hammer excitation[J].AppliedAcoustics,2011,30(5):360-365.(in Chinese)

[10] 顏其中, 何家斌, 高杰. 數(shù)字地震儀系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種計算方法[J]. 地震學(xué)報, 2003,25(6):667-672.

Yan Qizhong, He Jiabin, Gao jie. A method for calculating the transfer function of digital seismograph system[J].ActaSeimographSinica,2003,25(6):667-672.(in Chinese)