官 華，陳德偉，白植舟

（同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系，上海200092）

橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)（如材料特性等）的實(shí)際值與規(guī)范值往往存在偏差，因此，在橋梁施工控制中尤其需要對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別.目前結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別最常用的方法為最小二乘法，該方法通常先根據(jù)有限元分析建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)增量（如位移）關(guān)于待識(shí)別參數(shù)增量的影響矩陣，再基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)實(shí)測(cè)值，通過最小二乘優(yōu)化得到結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別值［1］.由于影響矩陣與待識(shí)別參數(shù)增量相關(guān)，參數(shù)識(shí)別結(jié)果的精度則取決于待識(shí)別參數(shù)增量的取值.因此，該方法存在計(jì)算精度不易控制的缺點(diǎn)，而要得到較為理想的結(jié)果則通常需要在有限元基礎(chǔ)上進(jìn)行多次試算或迭代計(jì)算［2］.

采用響應(yīng)面法［3－6］（response surface method，RSM）將結(jié)構(gòu)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的復(fù)雜隱式函數(shù)關(guān)系通過顯式函數(shù)近似表達(dá)出來，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)識(shí)別則可以克服上述缺點(diǎn)［2］.該方法已在結(jié)構(gòu)可靠度分析中得以廣泛應(yīng)用，近年來也逐步應(yīng)用于結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別中.郭勤濤等［2］對(duì)基于RSM 法的結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元模型修正進(jìn)行了分析研究，并將其應(yīng)用于“H”型梁及GARTEUR 飛機(jī)有限元模型修正中.鄧苗毅等［7］則利用結(jié)構(gòu)靜力測(cè)試結(jié)果，對(duì)基于靜力響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)有限元模型修正進(jìn)行了分析研究.周林仁與歐進(jìn)萍［8］則基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，采用RSM 法對(duì)大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別.然而，傳統(tǒng)RSM法通常采用形式簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式為響應(yīng)面函數(shù)，其擬合精度往往不能滿足參數(shù)識(shí)別的精度要求［9］，而基于高階多項(xiàng)式的響應(yīng)面函數(shù)存在階數(shù)不易確定及容易導(dǎo)致病態(tài)回歸方程的缺點(diǎn)［10］.如何獲得形式簡(jiǎn)單且精度高的響應(yīng)面函數(shù)是該方法的研究重點(diǎn).

高維模型擬合 （high dimensional model represe－ntation，HDMR）方法是Rabitz及其團(tuán)隊(duì)［11］提出的一種獲取高維復(fù)雜系統(tǒng)“輸入－輸出”函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法.該方法因形式簡(jiǎn)單、響應(yīng)面擬合精度高的特點(diǎn)得以廣泛發(fā)展，至今已成功應(yīng)用于大氣化學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)模擬及結(jié)構(gòu)可靠度分析等［12－14］領(lǐng)域.因此，本文提出采用HDMR 方法擬合結(jié)構(gòu)響應(yīng)面（簡(jiǎn)稱HDMR 響應(yīng)面法），并基于該響應(yīng)面實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別.結(jié)合算例分析，討論了本文方法的計(jì)算精度及計(jì)算效率.

1 響應(yīng)面模型的建立

1.1 基于二階多項(xiàng)式的RSM 法

傳統(tǒng)RSM 法采用的響應(yīng)面函數(shù)多為不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式

式中：xi（i＝1，2，…，N）為第i個(gè)待識(shí)別參數(shù)，α0，αi與αii則為待確定未知系數(shù)，其個(gè)數(shù)為2N＋1.上述未知系數(shù)可通過有限元抽樣分析并結(jié)合回歸分析予以確定，具體方法可參閱文獻(xiàn)［3］，本文不做詳細(xì)闡述.

1.2 HDMR 響應(yīng)面法

1.2.1 HDMR 擴(kuò)展

假定N維輸入變量為x＝（x1，x2，…，xN），系統(tǒng)響應(yīng)變量則為g（x），根據(jù)HDMR 方法，g（x）可表達(dá)為

式中：g0為常數(shù)項(xiàng)；gi（xi）為一階項(xiàng)，表示變量xi獨(dú)立作用時(shí)對(duì)響應(yīng)變量的影響量；gi1i2（xi1，xi2）為二階項(xiàng)，表示變量xi1與xi2對(duì)于響應(yīng)變量的耦合影響量；更高階項(xiàng)表示m個(gè)輸入變量耦合作用對(duì)響應(yīng)變量的影響量；g12…N（x1，x2，…，xN）則表示所有輸入變量耦合作用的殘余影響量.對(duì)于實(shí)際工程，通常取前二階擴(kuò)展式即可滿足精度要求，即

引入cut－HDMR［15］表達(dá)式，即利用g（x）在穿過輸入變量空間內(nèi)某參考點(diǎn)r＝（r1，r2，…，rN）的線、面及超平面上的樣本值來表達(dá)響應(yīng)面函數(shù)g～（x），參考點(diǎn)r一般取為樣本中心點(diǎn).式（3）中的各分項(xiàng)函數(shù)可表示為

其中

式（7），（8）中：gi（xi）與gi1i2（xi1，xi2）可采用移動(dòng)最小二乘法（moving least－squares，MLS）［16］進(jìn)行確定.

將式（4）～（8）代入式（3）則有

1.2.2 MLS法擬合HDMR 響應(yīng)面函數(shù)

為方便表示，將xi及（xi1，xi2）統(tǒng)一記為xK（K＝1或2，分別表示一維或二維變量），分項(xiàng)函數(shù)gi（xi）與gi1i2（xi1，xi2）則統(tǒng)一記為g′（xK），根據(jù)MLS法，有g(shù)′（xK）的近似表達(dá)式為式中：pT（xK）＝｛p1（xK），p2（xK），…，pS（xK）｝由S個(gè)多項(xiàng)式的基本分項(xiàng)構(gòu)成，通常取二次多項(xiàng)式.

a（xK）＝｛a1（xK），a2（xK），…，aS（xK）｝T則為待確定的關(guān)于xi的未知系數(shù)表達(dá)式向量.

寫成矩陣形式為

其中，

W為加權(quán)函數(shù)對(duì)角陣

本文采用四次樣條（quartic spline）加權(quán)函數(shù)［17］，有

式中：A（xK）＝PTWP，B（xK）＝PTW.

將式（20）代入式（10）便得到各分項(xiàng)函數(shù)近似表達(dá)式為

再將所得的各分項(xiàng)函數(shù)表達(dá)式代入式（9）進(jìn)行組合便可確定HDMR 響應(yīng)面函數(shù)g～（x）.

1.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有D 優(yōu)化設(shè)計(jì)、Box－Behnken設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)以及全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)等.其中，全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)是全部因子水平的完全組合，相較于其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)，通常可獲得更高的擬合精度［18］.本文采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本點(diǎn)的確定.

全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)其計(jì)算效率及精度與因子水平數(shù)n相關(guān)，n過小可能導(dǎo)致精度不足，n過大則會(huì)增加大量樣本點(diǎn)和抽樣分析次數(shù).依據(jù)文獻(xiàn)［14］，對(duì)于HDMR 響應(yīng)面法，n取3～7較為合理，本文主要對(duì)因子水平數(shù)n＝3，5和7進(jìn)行探討.假設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)xi

的取值范圍為［xil，xiu］，取為xi的基本水平為樣本點(diǎn)步長(zhǎng)，則有：

（1）對(duì)于分項(xiàng)函數(shù)gi（xi），由于只包含單因子xi的n個(gè)水平，樣本點(diǎn)則為xi坐標(biāo)軸上的n個(gè)點(diǎn)，，如圖1a，為n＝7時(shí)的樣本點(diǎn)布置.

（2）對(duì)于分項(xiàng)函數(shù)gi1i2（xi1，xi2），由于包含了兩個(gè)因子的n個(gè)水平，因此在變量空間內(nèi)將兩個(gè)因子的n水平進(jìn)行完全組合，便得到n2個(gè)樣本點(diǎn)，如圖1b，為n＝7時(shí)的樣本點(diǎn)布置，樣本中心點(diǎn)μ的坐標(biāo)為（μi1，μi2）.

根據(jù)式（9）可知，對(duì)于HDMR 響應(yīng)面法，采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)t為

傳統(tǒng)RSM 法采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成的樣本點(diǎn)數(shù)為：t＝nN.

圖1 全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)的樣本點(diǎn)布置（n＝7）Fig.1 Sample points of the full factorial design（n＝7）

1.4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的精度檢驗(yàn)

對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的擬合精度，可采用復(fù)相關(guān)系數(shù)R2進(jìn)行檢驗(yàn)

式中：m為用于精度檢驗(yàn)的樣本數(shù)量；yi為樣本的真

2 基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的參數(shù)識(shí)別

在獲取結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面函數(shù)后，即可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)識(shí)別.假設(shè)N個(gè)待識(shí)別參數(shù)為x＝（x1，x2，…，xN），有M個(gè)實(shí)測(cè)響應(yīng)值為y＝（y1，y2，…，yM），相應(yīng)的響應(yīng)面函數(shù)為，基于誤差平方和最小原則，可構(gòu)造問題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

已知xi∈［xil，xiu］，參數(shù)識(shí)別問題即轉(zhuǎn)化為有約束的最小二乘優(yōu)化問題.

3 算例分析

3.1 算例1

某三跨混凝土連續(xù)梁，跨徑布置為30m＋32m＋32m，見圖2.主梁材料為C50混凝土，記彈性模量設(shè)計(jì)值為E0.假定各跨主梁實(shí)際彈性模量為待識(shí)別參數(shù)，分別為：E1＝x1E0，E2＝x2E0及E3＝x3E0.在中跨跨中位置作用一豎直向下集中力F＝5 000 kN，得到三跨跨中撓度分別為z1＝5.6 mm，z2＝－13.5mm及z3＝5.6mm，依據(jù)該撓度值對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)E1，E2及E3進(jìn)行識(shí)別.

圖2 連續(xù)梁結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Analysis model of continuous beam structure

（1）響應(yīng)面擬合.給定x1，x2及x3的兩組取值范圍分別為［0.7，1.3］及［0.85，1.15］，并分別采用本文方法及傳統(tǒng)RSM 法構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，得到了各跨中點(diǎn)撓度基于不同參數(shù)取值范圍及不同因子水平數(shù)下關(guān)于參數(shù)E1，E2及E3的響應(yīng)面函數(shù).在參數(shù)取值范圍內(nèi)采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)并取因子水平數(shù)n＝6生成216組樣本數(shù)據(jù)，依此計(jì)算響應(yīng)面的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2，結(jié)果見表1.

表1 復(fù)相關(guān)系數(shù)R2 結(jié)果比較Tab.1 Comparison of multiple correlation coefficients（R2）

由表1可知，取n＝3時(shí)，傳統(tǒng)RSM 法的計(jì)算效率略有優(yōu)勢(shì)，當(dāng)n＞3時(shí)，本文方法的計(jì)算效率則更高.比較各響應(yīng)面的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2值則不難發(fā)現(xiàn)，在同一取值范圍下取相同因子水平數(shù)時(shí)，本文方法所得的R2值相較于傳統(tǒng)RSM 法所得的R2值更接近于1；在相同因子水平數(shù)下，基于取值范圍［0.85，1.15］所得的R2值比基于取值范圍［0.7，1.3］所得的R2值更接近于1；同一取值范圍下，取更大的因子水平數(shù)時(shí)，本文方法所得響應(yīng)面的精度明顯提高.

（2）參數(shù)識(shí)別.以各響應(yīng)面模型為基礎(chǔ)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，所得結(jié)果見表2.查看基于取值范圍［0.7，1.3］所得結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)：相同水平數(shù)下，本文方法所得結(jié)果的精度比傳統(tǒng)RSM 法所得結(jié)果的精度要高；增加因子水平數(shù)后本文方法進(jìn)一步提高了結(jié)果的精度，傳統(tǒng)RSM 法在增加因子水平數(shù)時(shí)，其精度沒有明顯提升.在基于取值范圍［0.85，1.15］所得結(jié)果中不難發(fā)現(xiàn)，x1的識(shí)別結(jié)果均為0.85，這是由于x1的真實(shí)值落在參數(shù)取值范圍之外，在進(jìn)行有約束最小二乘優(yōu)化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解的搜索會(huì)停止于取值范圍的上限或下限值.這種情況下，應(yīng)調(diào)整參數(shù)取值范圍，重新計(jì)算.

表2 算例1分析結(jié)果比較Tab.2 Comparison of analysis results of Example 1

3.2 算例2

（1）基本概況.如圖3所示，某獨(dú)塔斜拉橋跨徑布置為142m＋110m＋2×45m.全橋共38對(duì)斜拉索（塔根部往兩側(cè)依次為1～19號(hào)索）.主梁、主塔為C50混凝土，橋墩為C30混凝土，斜拉索為Φ7 mm鍍鋅平行鋼絲.在斜拉橋施工中，影響橋梁線形和受力的參數(shù)較多，主要包括結(jié)構(gòu)剛度、材料重度、溫度以及施工臨時(shí)荷載等.為減少參數(shù)識(shí)別工作量，本文僅選取主梁彈性模量Eb、主梁重度γb和斜拉索彈性模量Ec作為待識(shí)別參數(shù).

圖3 總體布置圖（單位：m）Fig.3 Elevation view of the bridge（Unit：m）

（2）待識(shí)別參數(shù)取值范圍及響應(yīng)變量.因參數(shù)選點(diǎn)范圍不同會(huì)得到不同的響應(yīng)面，從而得到不同的參數(shù)識(shí)別結(jié)果.所以本文選取了兩組不同的參數(shù)取值范圍，以討論其對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.

令Eb0，γb0和Ec0為主梁彈性模量、主梁重度和斜拉索彈性模量設(shè)計(jì)值，ΔEb，Δγb及ΔEc則分別為相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，ΔEb＝x1Eb0，Δγb＝x2γb0及ΔEc＝x3Ec0.假定兩組參數(shù)誤差取值范圍如表3 所示［19］.

表3 參數(shù)取值范圍Tab.3 Value range of parameters

考慮該橋北岸主跨（142m）在合攏施工階段，根據(jù)斜拉橋線形與索力雙控原則，選取北岸主跨第N1，N10及N19斜拉索下的主梁標(biāo)高誤差y1，y10，y19及索力誤差t1，t10，t19為響應(yīng)變量.本文取3組基于有限元計(jì)算的響應(yīng)變量值為樣本數(shù)據(jù)來模擬結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別，見表4.

表4 算例2響應(yīng)變量樣本數(shù)據(jù)Tab.4 Sample data of structural responses of Example 2

（3）參數(shù)識(shí)別.采用ANSYS程序建立有限元模型進(jìn)行抽樣分析，如圖4所示，再分別采用本文方法及傳統(tǒng)RSM 進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，得到了基于兩組參數(shù)取值范圍及不同因子水平數(shù)的參數(shù)識(shí)別結(jié)果，見表5.

表5 參數(shù)識(shí)別結(jié)果比較Tab.5 Comparison of parameter identification results

對(duì)比本文方法及傳統(tǒng)RSM 法基于參數(shù)取值范圍1所得的結(jié)果，n＝3時(shí)，傳統(tǒng)RSM 法與本文方法所得結(jié)果較接近，但與真實(shí)值相比其精度均較低；n＞3時(shí)，兩種方法所得結(jié)果的精度均有提升，而本文方法的結(jié)果則精度更高；n＝5時(shí)，本文方法的結(jié)果已十分接近真實(shí)值，取n＝7時(shí)，計(jì)算精度有略微提升.

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model of the bridge

查看基于參數(shù)取值范圍2所得的結(jié)果則發(fā)現(xiàn)，對(duì)于樣本1及樣本2，本文方法所得結(jié)果的精度相比基于參數(shù)取值范圍1所得結(jié)果的精度有較大提升，而傳統(tǒng)RSM 法所得結(jié)果的精度沒有明顯提升.對(duì)于樣本3，由于x2的真實(shí)值落于參數(shù)取值范圍之外，當(dāng)x2＝－0.05時(shí)便結(jié)束了對(duì)最優(yōu)解的搜索.很明顯，此時(shí)所得結(jié)果為不合理結(jié)果，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整相應(yīng)參數(shù)取值范圍并重新計(jì)算.

4 結(jié)論

基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的參數(shù)識(shí)別方法的核心在于如何獲得形式簡(jiǎn)單且精度更高的響應(yīng)面模型，因此，本文研究了基于HDMR 響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法.以一個(gè)三跨連續(xù)梁及一座獨(dú)塔斜拉橋?yàn)樗憷M(jìn)行分析，比較了該方法與傳統(tǒng)RSM 法的計(jì)算效率及計(jì)算精度，并討論了用于構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)的不同參數(shù)取值范圍對(duì)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的影響，得到以下結(jié)論：

（1）采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)并當(dāng)n＞3時(shí)，本文方法的計(jì)算效率較傳統(tǒng)RSM 法更高.

（2）取相同參數(shù)取值范圍及相同因子水平數(shù)時(shí)，本文方法的計(jì)算精度相較傳統(tǒng)RSM 法更高.

（3）采用本文方法計(jì)算時(shí)，在同一取值范圍內(nèi)若增加因子水平數(shù)可提高計(jì)算精度，但同時(shí)也降低了計(jì)算效率.

（4）不同的參數(shù)取值范圍會(huì)得到不同的參數(shù)識(shí)別結(jié)果，選取較大的參數(shù)取值范圍可避免獲得不合理結(jié)果，若適當(dāng)縮小參數(shù)取值范圍并采用本文方法計(jì)算通?？色@更精確的結(jié)果.

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