陳恩慶，相小強(qiáng)，穆曉敏

(鄭州大學(xué) 信 息工程學(xué)院，河南 鄭 州450001)

0 引言

MIMO-OFDM(Multiple-Input Multiple-Output Orthogonal Frequency Division Multiplexing)技術(shù)能有效對抗頻率選擇性衰落和窄帶干擾，在不增加帶寬的條件下成倍提高通信系統(tǒng)的容量和頻譜利用率.然而其系統(tǒng)下的無線信道的傳播路徑復(fù)雜多變并且難以預(yù)測，因而研究能夠準(zhǔn)確有效獲取信道狀態(tài)的信道估計(jì)技術(shù)十分重要.目前，大量研究測試實(shí)驗(yàn)表明:無線多徑信道在時(shí)域上多呈現(xiàn)稀疏性，即信道沖激響應(yīng)的絕大多數(shù)能量集中在少數(shù)幾個(gè)多徑分量上［1］.傳統(tǒng)的MIMO-OFDM信道估計(jì)方法均沒有充分利用信道內(nèi)在稀疏性這一先驗(yàn)知識，信道估計(jì)的準(zhǔn)確性和有效性有待提高.壓縮感知［2-3］(Compressed Sensing，CS)技術(shù)可以從稀疏信號中高效重構(gòu)原始信號，已在包括圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮、雷達(dá)等多個(gè)領(lǐng)域得到應(yīng)用，也為稀疏信道估計(jì)提供了一種新的有效途徑［4］.文獻(xiàn)［5］利用信道的時(shí)域稀疏性，采用壓縮感知作為OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)方法，獲得了不錯(cuò)的效果.文獻(xiàn)［6］在多天線的MIMO-OFDM水聲通信系統(tǒng)中將Doppler頻移的影響考慮在內(nèi)，在壓縮感知理論下通過設(shè)計(jì)合理的過完備字典來進(jìn)行信道估計(jì).筆者在MIMO-OFDM系統(tǒng)中運(yùn)用(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)［7］和 (Subspace Pursuit，SP)［8］兩種CS重構(gòu)算法進(jìn)行信道估計(jì)，同傳統(tǒng)的LS信道估計(jì)算法相比，所提算法有較好的估計(jì)性能和較高的頻譜利用率.

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知是針對可壓縮信號即稀疏信號抽樣和壓縮同時(shí)進(jìn)行，并通過較少的測量值就可以重構(gòu)出原始信號的技術(shù).基本原理如下:對信號x∈Rn，如果x中只有K個(gè)(K?N)非零元素，而其它N-K個(gè)元素都為零，則稱x是K-稀疏的.通過觀測矩陣ΦM×N(M ＜N)可以獲得x的觀測值:

式中，e為噪聲.若M≥K·lg N，且觀測矩陣Φ滿足有限等距特性(Restricted Isometry Property，RIP)，則可以通過尋找式(1)的最稀疏解來恢復(fù)信號x.然而式(1)是一個(gè)欠定方程組，未知解的個(gè)數(shù)不唯一，無法直接從y重建出x，因此如何有效地從測量信號y恢復(fù)出原始信號x是實(shí)現(xiàn)壓縮感知的關(guān)鍵之一.對式(1)解的問題傳統(tǒng)上可通過求解最小l2范數(shù)解決.

該優(yōu)化問題所得到的最優(yōu)解并不是一個(gè)稀疏解;另一方面，尋找最稀疏解的最可靠的方法是求解如下l0范數(shù)最優(yōu)化問題:

用式(3)只需要M=K+1個(gè)獨(dú)立同分布的測量值就可以高概率重構(gòu)出K-稀疏信號，但是它的計(jì)算復(fù)雜度是NP的，實(shí)現(xiàn)非常復(fù)雜.目前很多文獻(xiàn)重點(diǎn)研究了基于l1范數(shù)的最優(yōu)化問題.

當(dāng)滿足條件，同樣可以高概率恢復(fù)出原始信號.

目前比較有代表性的重構(gòu)算法有基追蹤(BP)算法［9］和貪婪追蹤算法.基追蹤算法重構(gòu)精度較高，但復(fù)雜度大，不適合實(shí)時(shí)場合的應(yīng)用.貪婪追蹤算法的運(yùn)算量小且更易實(shí)現(xiàn)，常見的包括匹配追蹤(MP)［10］、OMP、正則正交匹配追蹤(ROMP)［11］和SP算法等.信道估計(jì)算法需要具有實(shí)時(shí)性，同時(shí)信號重建的維數(shù)較小，相比較下貪婪算法更適合被應(yīng)用在信道估計(jì)中.筆者采用OMP和SP兩種算法進(jìn)行MIMO-OFDM系統(tǒng)信道估計(jì).

2 系統(tǒng)和信道模型

假設(shè)在MIMO-OFDM系統(tǒng)中有NT根發(fā)射天線和NR根接收天線.圖1所示為MIMO-OFDM的系統(tǒng)原理框圖.

圖1 MIMO-OFDM系統(tǒng)原理框圖Fig.1 MIMO-OFDMSystem Model

將發(fā)送端發(fā)送的數(shù)據(jù)分成Nt個(gè)不同的數(shù)據(jù)塊X(i)，分別對這Nt個(gè)數(shù)據(jù)塊進(jìn)行N點(diǎn)IFFT變換，并插入循環(huán)前綴(CP)，CP的長度要大于最大的路徑時(shí)延，如此可以忽略系統(tǒng)的載波間干擾ICI和符號間干擾ISI.同時(shí)，一個(gè)OFDM符號的周期小于信道的相干時(shí)間.在接收端，經(jīng)過CP和FFT變換后，第j根天線接收到的信號可表示為

提取第j根接收天線的接收信號:

3 基于CS的信道估計(jì)

無線信道通常呈現(xiàn)稀疏性，即h(i，j)=［h(i，j)1，…，h(i，j)N］T為稀疏向量，對比式(1)和(9)可以看出，由求h(i，j)的過程可以建模為從有噪測量值中重建稀疏信號的問題.如式(9)所示，令，此時(shí)，只要選擇合適的重構(gòu)算法，就可以恢復(fù)出h(i，j).目前常用的是OMP算法:從原子選擇方式上實(shí)現(xiàn)了單個(gè)原子的精確選擇，保證了每次迭代的最優(yōu)性，具有較低的運(yùn)算復(fù)雜度.由于要對已選原子進(jìn)行正交化處理，對一些高速率信號的處理具有較大復(fù)雜度，此時(shí)OMP算法無法使用.

為了適應(yīng)高數(shù)據(jù)率傳輸?shù)男枨?，可以?yīng)用SP算法進(jìn)行信道重建.SP算法是在貪婪算法的基礎(chǔ)上借用回溯的思想來實(shí)現(xiàn)，跟OMP算法相比具有更低的計(jì)算復(fù)雜度.基于SP的信道估計(jì)算法步驟如下:

輸入:y(R(i，j)=y)，Φ(C(i)mF= Φ);

初始化:初始余量r0=y，迭代次數(shù)n=1，索引值集合

輸出:x 的稀疏逼近信號 x^，即h(i，j).

SP算法是在稀疏度K已知情況下進(jìn)行的，步長設(shè)置為K(K≥S)，每一次迭代都保證支撐集中有K個(gè)原子，因而候選集中最多不會(huì)超過2K個(gè)原子，原子每次剔除的數(shù)目最多不超過K個(gè).文獻(xiàn)［12］證明即便剔除了已經(jīng)選定的部分原子依然可以保證留下的原子是最優(yōu)的，從而精確重建信號.

4 仿真分析

為了驗(yàn)證MIMO-OFDM系統(tǒng)中壓縮感知信道估計(jì)算法的有效性，筆者選擇了OMP與SP兩種方法，同時(shí)還用傳統(tǒng)的LS方法作為比較.系統(tǒng)仿真參數(shù)如下:Nt=2，Nr=2，即2×2的MIMO-OFDM系統(tǒng);子載波個(gè)數(shù)N為256;調(diào)制方式為QPSK;傳輸信道長度L=50，采用其中主要路徑數(shù)為6，即稀疏度K=6;并且假設(shè)信道在一個(gè)數(shù)據(jù)符號內(nèi)是不變的.

圖2給出了3種不同方法的BER曲線.仿真時(shí)LS法的導(dǎo)頻均勻放置，而OMP和SP的導(dǎo)頻隨機(jī)放置.從仿真結(jié)果來看，在相同導(dǎo)頻數(shù)的時(shí)候LS的誤碼率最高，隨著信噪比的增大幾乎沒有變化.隨著信噪比的增大，且當(dāng)信噪比大于15 dB時(shí)，SP比OMP的誤碼率要低一些.

圖3為3種不同方法的MSE曲線圖.在導(dǎo)頻數(shù)相同的時(shí)候，隨著信噪比增大，OMP和SP的MSE幾乎重合，他們所獲得的MSE要比LS小25 dB左右.

圖4為不同信道估計(jì)方法的MSE性能比較.在圖4中，OMP與SP的導(dǎo)頻數(shù)P都是36，而LS的導(dǎo)頻數(shù)P分別是36，72和128.當(dāng)LS的導(dǎo)頻數(shù)是36時(shí)得到的信道估計(jì)性能很差，但隨著導(dǎo)頻數(shù)增加性能有所改善.當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)是128時(shí)所獲得的MSE僅比其他兩種方法略小一些.換而言之，如果要獲得導(dǎo)頻數(shù)是128時(shí)的LS信道估計(jì)性能，用OMP與SP僅需要P=36即可.所以，用壓縮感知的方法將會(huì)大大減少導(dǎo)頻的數(shù)量，提高整個(gè)系統(tǒng)的吞吐量.

在前面的仿真中，先驗(yàn)的稀疏度與實(shí)際相同K=6.而在本次仿真中，假設(shè)先驗(yàn)的稀疏度K分別為 1，5，6，7，10，實(shí)際的信道稀疏度是 K=6，重構(gòu)算法是標(biāo)準(zhǔn)的OMP.如圖5所示，當(dāng)先驗(yàn)稀疏度K=1和K=5的時(shí)候，信道估計(jì)性能很差;但當(dāng)K是6，7，10的時(shí)候，估計(jì)性能幾乎一樣.這說明先驗(yàn)的信道稀疏度需要等于或大于實(shí)際的信道稀疏度，才可以獲得較好的信道估計(jì)性能.因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中當(dāng)沒有信道稀疏度先驗(yàn)信息的情況下，可以假定一個(gè)較大的信道稀疏度進(jìn)行信道壓縮感知估計(jì)，以獲得較好的估計(jì)效果.

圖5 OMP算法在先驗(yàn)信道稀疏度不同時(shí)的BER性能比較Fig.5 The BER com parison of OMP for different sparsity

5 結(jié)論

筆者圍繞MIMO-OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)問題，研究了基于壓縮感知的信道估計(jì)方法，重點(diǎn)研究了壓縮感知中的SP重構(gòu)算法.該算法利用回溯的思想，保證了每次迭代中支撐集中的原子個(gè)數(shù)不變，通過剔除部分原子，留下最優(yōu)的原子，從而保證算法的精度.同時(shí)與OMP算法相比，不需要進(jìn)行原子的正交化處理，更適合處理高數(shù)據(jù)率的信道估計(jì)問題.信真表明，基于壓縮感知的信道估計(jì)方法用少量的導(dǎo)頻就能獲取同等條件下相同的信道估計(jì)性能，從而節(jié)省導(dǎo)頻數(shù)量，提高了頻譜利用率.同時(shí)，在未知稀疏度的情況下，可以通過估計(jì)的方法設(shè)定一個(gè)較大稀疏度值.

［1］ LIWei-chang，PREISIG JC.Estimation of rapidly time-varying sparse channel［J］.IEEE JOcean Eng，2007，32(4):927-939.

［2］ DONOHO D L.Compressed sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4):1289-1306.

［3］ CANDES E，TAO T.Near optimal signal recovery from random projection:universal encoding strategies?［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(12):5406-5425.

［4］ BAJWA WAHEED U，HAUPT J，SAYEED A M.Compressed channel sensing:a new approach to estimating sparse multipath channels［J］.Proceeding of the IEEE，2010，98(6):1058-1076.

［5］ 何雪云，宋榮方，周克琴.基于壓縮感知的OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)新方法研究［J］.南京郵電大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，30(2):60-65.

［6］ 于華楠，郭樹旭.基于壓縮感知的MIMO-OFDM水聲通信信道估計(jì)算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(6):1452-1456.

［7］ TROPP J，GILBERT A.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2007，53(12):4655-4666.

［8］ DAIW，MILENKOVIC O.Subspace pursuit for compressive sensing signal reconstruction ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2009，55(5):2 230-2249.

［9］ CANDESE，TAO T.Decoding by linear programming［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2005，51(12):4203-4215.

［10］ MALLAT S，ZHANG Z.Matching pursuitwith timefrequency dictionaries［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，1993，41(12):3397-3415.

［11］ NEEDELL D，VERSHYNIN D.Uinform uncertainty principle and signal recovery via orthogonalmatching pursuit［J］.Foundations of Computational Mathematics，2009，9(3):317-334.

［12］ NEEDELL D，TROPP J.CoSaMP:iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2009，26(3):301-321.