張 宇,索忠林,任 彪

(1.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部,長(zhǎng)春 130022；2.山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院,太原 030006)

在微分方程理論中,周期解的存在性研究已取得了豐富成果.Massera[1]證明了常微分方程x′=A(t)x+f(t)存在ω-周期解的充要條件是方程有一個(gè)在1上有界的解;文獻(xiàn)[2-3]對(duì)其進(jìn)行了不同形式的推廣;Hilger[4]初步建立了時(shí)標(biāo)上動(dòng)態(tài)方程的基本理論.目前對(duì)時(shí)標(biāo)理論的研究已引起人們廣泛關(guān)注[5-7].本文討論時(shí)標(biāo)線性微分方程組的Massera準(zhǔn)則.

參考文獻(xiàn)[8],時(shí)標(biāo)理論的相關(guān)定義及性質(zhì)如下.

定義1時(shí)間標(biāo)度(time scales)簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)標(biāo),即實(shí)數(shù)集的任意一個(gè)非空閉子集,用 T表示.

定義2令 T是一個(gè)時(shí)標(biāo),對(duì)t∈T,前向跳躍算子σ: T→T,后向跳躍算子ρ: T→T和步差函數(shù)μ: T→[0,∞)分別由σ(t)∶=inf{s∈T:s>t},ρ(t)∶=sup{s∈T:s

下面考慮定義在時(shí)標(biāo)上的函數(shù)f,可以定義它在點(diǎn)t∈Tk處的Δ導(dǎo)數(shù).

定義3設(shè)函數(shù)f: T→n,t∈Tk,對(duì)任意的ε>0,存在t的鄰域U,使得對(duì)任意的s∈U,有|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|成立,則稱(chēng)f在t處Δ可導(dǎo).

注11) 令 T=,則σ(t)=t,μ(t)=0,fΔ=f′是通常意義下的導(dǎo)數(shù);2) 令 T=,則σ(t)=t+1,μ(t)=1,fΔ=Δf是通常意義下的前移差分算子.

定義4設(shè)f(t)在 T上有定義,如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)ω,使得當(dāng)t∈T時(shí),f(t+ω)=f(ω)都成立,則稱(chēng)函數(shù)f(t)為ω-周期函數(shù).

下面給出本文的主要結(jié)果.考慮一階線性時(shí)標(biāo)微分方程組

yΔ=A(t)y+f(t),y(t0)=y0,

(1)

其中:A(t)為 T上的n×n矩陣值函數(shù);A: T→n×n和f: T→n是右連續(xù)的;t0∈T;y0∈n.則由常數(shù)變易公式,方程(1)有唯一解y: T→n,且其解為

(2)

其中ΦA(chǔ)(t,t0)是初值問(wèn)題yΔ=A(t)y,y(t0)=y0的基本解矩陣.顯然有下列性質(zhì):

Φ0(t,s)=I,ΦA(chǔ)(t,t)=I;

(3)

ΦA(chǔ)(t,s)ΦA(chǔ)(s,r)=ΦA(chǔ)(t,r).

(4)

定理1若A(t)和f(t)在 T上有定義,并且是ω-周期函數(shù),則方程組(1)存在ω-周期解的充要條件是方程(1)有一個(gè)在 T上的有界解.

證明：必要性顯然,只需證明充分性.

設(shè)y=y0(t)是方程(1)于 T上有界的解.由A(t)和f(t)在 T上是ω-周期函數(shù),對(duì)任意正整數(shù)k,y0(t+(k-1)ω)是滿(mǎn)足初始條件y0=y0((k-1)ω)的解,則由式(2)及式(4)有

從而

y0(kω)=ΦA(chǔ)(ω,0)y0((k-1)ω)+v,k=1,2,3,…,

(5)

聯(lián)合式(5),(6)可得

uTy0(kω)=uTy0(0)+kuTv,k=1,2,3,….

(8)

又由于式(7)成立,而y0(t)是有界的,故當(dāng)k充分大時(shí),式(8)不可能成立.從而方程(1)有ω-周期解.

[1] Massera J L.The Existence of Periodic Solutions of Systems of Differential Equation [J].Duke Math J,1950,17(4): 457-475.

[2] LI Yong,CONG Fu-zhong,LIN Zheng-hua,et al.Periodic Solutions for Evolution Equations [J].Nonlinear Anal: Theory,Methods &Applications,1999,36(3): 275-293.

[3] XIA Zhi-nan,FAN Meng.A Massera Type Criterion for Almost Automorphy of Nonautonomous Boundary Differential Equations [J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations,2011,73: 1-13.

[4] Hilger S E.Maβkettenkalkülmit Anwendung Auf Zentrumsmannig-Faltigkeiten [D].Würzburg,Germany: Univerditt Würzburg,1988.

[5] LIU Xi-lan,LI Wan-tong.Periodic Solutions for Dynamic Equations on Time Scales [J].Nonlinear Analysis：Theory,Methods &Applications,2007,67(5): 1457-1463.

[6] Federson M,Mesquita J G,Slavik A.Measure Functional Differential Equations and Functional Dynamic Equations on Time Scales [J].Journal Differential Equations,2012,252(6): 3816-3847.

[7] Zafer A.The Stability of Linear Periodic Hamiltonian Systems on Time Scales [J].Applied Mathematics Letters,2013,26(3): 330-336.

[8] Bohner M,Peterson A.Dynamic Equations on Time Scales.An Introduction with Applications [M].Boston: Birkh?user,2001.