任芳芳，雷銀照

（北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191）

不導磁的層狀平板導體常見于航空、航天設(shè)備中，以多層金屬復合板、多層平板導電涂層為其典型結(jié)構(gòu)。為確保功用的充分發(fā)揮，多層平板導體在諸多參數(shù)上均有要求，其厚度及電導率不僅能夠指示多層平板導體的磨損、老化、腐蝕程度，亦能反映多層導體內(nèi)部的物理、化學變化，因而需要有效的檢測技術(shù)來檢測這些參數(shù)。

采用渦流檢測法對多層不導磁平板導體進行無損檢測，具有精度高、速度快、操作簡單、成本低廉等優(yōu)勢。其正問題的求解模型可歸結(jié)為多層平板導體上方線圈阻抗解析表達式的計算。目前已發(fā)表的文獻中，多層平板導體上方空心圓柱線圈［1－3］、橢圓線圈［4］的阻抗計算方法均已給出，對表達式中各部分的數(shù)值計算方法亦有所探討［5－6］。反問題的求解可采用最優(yōu)化算法。文獻［7］提出了一種基于解析法的檢測金屬電導率的新方法，對金屬電導率實現(xiàn)了高精度測量；文獻［8］對金屬近表面電導率分布情況進行了初步反演；文獻［9］針對三層平板導體在已知厚度時反推電導率，或已知電導率時反推厚度；文獻［10］有效反演出了飛機發(fā)動機葉片表層涂層厚度、中間涂層厚度及電導率。

1 正問題求解及試驗驗證

1.1 正問題求解

如圖1所示，三層不導磁無限大平板導體上方置有一空心圓柱線圈。其中，三層平板導體底層厚度為h2，電導率為σ2；中層厚度為h3，電導率為σ3；上層厚度為h4，電導率為σ4；空心圓柱線圈的內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，高度為D，端部提離為H。現(xiàn)從空心圓柱線圈中任取一匝圓環(huán)線圈，其上面的任一點P坐標為（P′，φ，z），并將無限大空間劃分為6個場區(qū)，各場區(qū)內(nèi)的周向磁矢位Aφ滿足以下邊界條件。

圖1 三層平板導體渦流問題的求解模型

①約束方程：

式中：i為1，2，3，4，5，6分別為0，－jωμ0σ2，－jωμ0σ3，－jωμ0σ4，0，0；μ0 為 真 空 磁導率。

②內(nèi)邊界上的邊界條件：

式中：z和ρ均為柱坐標系中的坐標

③無限遠條件：

利用分離變量法求解約束方程（1），并結(jié)合第一類一階貝塞爾函數(shù)J，（λρ）性質(zhì)及邊界條件（2）～（12）解得［2］

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式中：λ是引入的一個參數(shù)。

其中：

在空心圓柱線圈的橫截面內(nèi)任選一點P，則點P所在圓環(huán)線圈平面將空心圓柱線圈分為上下兩部分，仿照文獻［2］中的方法將I替換為：

式中：I為電流強度；Jc為電流密度。

其中H＜z＜H＋D。進一步，根據(jù)文獻［2］中給出的空心圓柱線圈兩端的阻抗公式：

可得空心圓柱線圈的散射場阻抗（導體中的渦流單獨作用時在線圈兩端產(chǎn)生的阻抗）為：

式中：α為導體尺寸及電磁參數(shù)的函數(shù)。

1.2 正問題試驗驗證

為驗證散射場阻抗表達式（17）的正確性，進行了如下試驗。繞制空心圓柱線圈用作檢測探頭，線圈匝數(shù)43圈，內(nèi)半徑R1為9.95mm，外半徑R2為10.20mm，高度D為3.62mm，提離H為1.20mm。取2.0mm 厚銅板，1.04mm 空氣層和3.44mm厚鋁板依次疊置（各層板面積不小于20cm×20cm），用以模擬3層導電不導磁平板結(jié)構(gòu)。

使用游標卡尺測量各層金屬板厚度（多次測量后取平均值），使用D60k型數(shù)字金屬電導率測量儀測量各層金屬板電導率（可測量厚度大于1.5 mm的單層金屬板的電導率，測量誤差小于1%）。

將線圈參數(shù)及3層平板結(jié)構(gòu)各分層厚度及電導率值代入散射場阻抗表達式（17），求得散射場阻抗計算值，并與使用阻抗分析儀測量所得的測量值對比，比較結(jié)果見圖2?？梢姡⑸鋱鲎杩褂嬎阒蹬c測量值吻合良好。

圖2 空心圓柱線圈散射場阻抗計算值與測量值的對比

2 反問題計算與試驗驗證

2.1 反問題計算

設(shè)σ2，h2為三層平板導體底層電導率和厚度，σ3，h3為中層電導率和厚度，σ4，h4為上層電導率和厚度，σmax為待求電導率最大值，hmax為待求厚度最大值。取待測參數(shù)的向量為：

建立最優(yōu)化問題如下：

其中k＝1，2，…，n；約束條件為：

設(shè)k為迭代次數(shù)，i為頻率點數(shù)為頻率fi處的散射場阻抗測量值為頻率fi處的第k次散射場阻抗計算值。測量不同頻率fi下線圈的散射場阻抗值ΔZfi，設(shè)待測參數(shù)初值為：

利用最優(yōu)化算法［11］調(diào)整待測參數(shù)，使散射場阻抗計算值逐漸逼近散射場阻抗測量值當計算精度達到設(shè)定要求時，認為此時對應(yīng)的參數(shù)值：

即為待測參數(shù)的反演值：

2.2 試驗驗證

為驗證上述反問題的計算模型，用1.2節(jié)正問題試驗驗證部分的試驗數(shù)據(jù)，將各頻率點處的散射場阻抗試驗值虛部代入反演計算程序進行計算，所得反演結(jié)果如表1所示。

表1 反演結(jié)果

結(jié)果表明，使用上述反問題計算模型，可以在已知若干頻率點的空心圓柱線圈散射場阻抗后，一次性計算出三層平板導體所有分層厚度及電導率。

3 結(jié)論

建立了三層平板導體電磁場正問題求解模型，計算導體上方空心圓柱線圈的散射場阻抗，計算值與測量值吻合良好；由激勵頻率范圍內(nèi)若干頻率點處線圈散射場阻抗測量值，利用最優(yōu)化方法，可一次性計算出三層導電不導磁平板結(jié)構(gòu)所有分層厚度及電導率，反演結(jié)果與實際值吻合良好。

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