袁 豹，岳東杰，張 亮，王 露

（河海大學(xué) 測繪科學(xué)與工程系，江蘇 南京 210098）

在信息化時(shí)代的今天，對(duì)于空間數(shù)據(jù)的獲取、編輯、分析和應(yīng)用的方法已有很多，其中地理信息系統(tǒng)（Geographic Information System，GIS）是一門發(fā)展迅速、應(yīng)用廣泛的地理空間數(shù)據(jù)分析技術(shù)。在建立GIS的過程中，地圖數(shù)字化是一種重要的數(shù)據(jù)來源。地圖數(shù)字化（MapDigitizing）是指利用地圖圖形或是圖像信息的模擬量將其轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字量，從而應(yīng)用到數(shù)據(jù)處理軟件中進(jìn)行分析。數(shù)字化方式有手扶跟蹤數(shù)字化和掃描數(shù)字化兩種常用方式，而隨著技術(shù)的發(fā)展和精度要求的提高，現(xiàn)在大多采用掃描數(shù)字化的方法。掃描數(shù)字化有著操作速度快、自動(dòng)化程度高的優(yōu)點(diǎn)。

通過地圖掃描數(shù)字化方法獲得的最終數(shù)字成果，其精度受到原始地圖、掃描操作、矢量化過程和數(shù)據(jù)處理等方面的綜合影響。近些年，對(duì)于地圖掃描數(shù)字化的精度分析研究逐漸增多，郝向陽、錢曾波對(duì)掃描數(shù)字化的點(diǎn)位精度進(jìn)行了分析，發(fā)展了定向點(diǎn)和采樣點(diǎn)的自動(dòng)對(duì)中算法［1］；余曉紅分析了掃描數(shù)字化誤差的特點(diǎn)和來源，提出掃描數(shù)字化誤差不一定服從正態(tài)分布，并且更多地表現(xiàn)出系統(tǒng)性［2］；童小華、周德意討論了地形圖掃描糾正的精度問題［3］；毛澤衛(wèi)針對(duì)地圖掃描數(shù)字化中的各種變形，討論了不同處理方法和精度比較［4］。在地圖掃描數(shù)字化處理過程中，有一項(xiàng)重要的工作是圖紙定向。圖紙定向即是利用一定數(shù)量的控制點(diǎn)通過建立數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型將圖像坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為實(shí)際的地理坐標(biāo)，確定好定向參數(shù)后，即可實(shí)現(xiàn)圖內(nèi)所有采樣點(diǎn)的轉(zhuǎn)換。較為常用的模型有相似變換模型、多項(xiàng)式模型和仿射變換模型等，本文著重討論相似變換模型。圖紙定向這一環(huán)節(jié)的誤差大小對(duì)后續(xù)數(shù)字化成果的質(zhì)量有著重要影響。本文認(rèn)為定向點(diǎn)的采集存在不可忽略的誤差，提出總體最小二乘（Total Least－squares，TLS）方法，同時(shí)顧及定向點(diǎn)采集誤差和地理坐標(biāo)的測量誤差，建立基于總體最小二乘方法的相似變換模型，結(jié)合實(shí)驗(yàn)分析，得到相關(guān)結(jié)論。

1 相似變換模型

相似變換定向模型可以表示為

其中：（X，Y）為地理坐標(biāo)系坐標(biāo)；（x，y）為地圖圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)；a0，b0，a，b為定向參數(shù)。寫成矩陣形式為

根據(jù)最小二乘原理可得定向參數(shù)的估計(jì)值為

圖紙定向的精度可用定向點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)計(jì)算如下：

2 基于總體最小二乘的相似變換模型

2.1 總體最小二乘基本原理

在線性方程組AX＝L中，總體最小二乘［5］的基本思想就是同時(shí)考慮L和A的擾動(dòng)?；诳傮w最小二乘的相似變換模型可歸結(jié)為

且有

其中：QL和QA分別為eL和eA的對(duì)稱非負(fù)定協(xié)因素陣，其中eA＝vec（EA），EA為系數(shù)矩陣的誤差，eL為觀測值陣的誤差，誤差矩陣［EAeL］屬于相互獨(dú)立的白噪聲誤差且這里認(rèn)為誤差精度相同，則有QL＝I，QA＝I。

2.2 模型求解及精度評(píng)定

總體最小二乘的準(zhǔn)則可以表示為

對(duì)于總體最小二乘問題的解法，主要有奇異值分解（SVD）法和迭代解法，此處采用SVD方法解算定向參數(shù)的估計(jì)值。因?yàn)橄禂?shù)矩陣A中第一列和第二列是固定列，不含有誤差（即不需要改正），所以此處采用混合總體最小二乘的解算方法。

令A(yù)＝［A1A2］，其中，構(gòu)造C＝［AL］，并對(duì)其作QR分解得到

其中：Q為正交陣，R為上三角陣。則有

令CR＝［R（n－2）×2R（n－2）×1］，并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解得到

其中，∑為奇異值矩陣，取其中最小奇異值并表示為σn2＋1，則參數(shù)估計(jì)值為

其中n2為系數(shù)矩陣A中非固定列對(duì)應(yīng)的參數(shù)個(gè)數(shù)，此處n2＝2。

增廣矩陣CR的改正數(shù)為

則R的改正矩陣為

由此可以計(jì)算出系數(shù)矩陣和觀測矩陣的改正數(shù)為

根據(jù)定向點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)，得出總體最小二乘法的精度評(píng)定方法為

3 應(yīng)用及實(shí)驗(yàn)分析

在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中也經(jīng)常采用相似變換模型，基于總體最小二乘方法的相似變換模型，理論上較為嚴(yán)密。應(yīng)該在地圖掃描數(shù)字化圖紙定向的其他模型引入總體最小二乘這種嚴(yán)密的平差方法。本文依托長江水下地形圖數(shù)字化二期項(xiàng)目，對(duì)長江流域南京河段1∶2 000水下地形圖進(jìn)行數(shù)字化處理，建立水下地形GIS數(shù)據(jù)庫，便于對(duì)水下地形數(shù)據(jù)的編輯、管理和更新。為了驗(yàn)證基于總體最小二乘的相似變換模型的定向效果，本文針對(duì)Arcgis軟件中地形圖數(shù)字化的圖紙定向問題，進(jìn)行了計(jì)算和分析。圖幅西南角如圖1所示。

圖1 圖幅西南角

實(shí)驗(yàn)方案：分別采用4定向點(diǎn)、6定向點(diǎn)和8定向點(diǎn)進(jìn)行定向參數(shù)的求解，其中4定向點(diǎn)取圖幅4個(gè)圖廓點(diǎn)，6定向點(diǎn)取圖幅4個(gè)圖廓點(diǎn)和左右圖廓點(diǎn)連線的中心點(diǎn)，8定向點(diǎn)取圖幅4個(gè)圖廓點(diǎn)以及圖廓點(diǎn)連線的4個(gè)中點(diǎn)。采用最小二乘和總體最小二乘兩種方法求解參數(shù)，如表1所示。

從表1可以看出，從定向參數(shù)來看，最小二乘法與總體最小二乘法有一定差別，不同定向點(diǎn)得到的定向參數(shù)不同。為比較最小二乘法與總體最小二乘法的定向效果，計(jì)算出模型的定向精度如表2所示。

表1 定向參數(shù)結(jié)果

從表2可以看出，基于總體最小二乘方法的相似變換模型具有較高的定向精度，定向點(diǎn)的個(gè)數(shù)影響定向精度，在實(shí)際地圖掃描數(shù)字化中應(yīng)該采用總體最小二乘方法，選擇合適的定向點(diǎn)個(gè)數(shù)。

表2 最小二乘法和總體最小二乘法的定向精度比較mm

4 結(jié) 論

1）相似變換模型在地圖掃描數(shù)字化中應(yīng)用較多，針對(duì)該方法在圖紙定向中應(yīng)用的精度問題值得深入研究。

2）基于總體最小二乘方法的相似變換模型可以獲得較高的圖紙定向精度，優(yōu)于最小二乘方法。

3）在地圖掃描數(shù)字化中，在采用其他定向轉(zhuǎn)換方法時(shí)也應(yīng)該采用總體最小二乘方法。

4）關(guān)于定向點(diǎn)數(shù)量的選取以及定向點(diǎn)位置的不同對(duì)數(shù)字化精度的影響，結(jié)合掃描數(shù)字化中其它環(huán)節(jié)的誤差，綜合考慮地圖掃描數(shù)字化的精度問題需要進(jìn)一步研究。

［1］郝向陽，錢曾波.地圖掃描數(shù)字化的點(diǎn)位精度分析［J］.測繪學(xué)報(bào)，1996，25（1）：46－52.

［2］余曉紅.地圖掃描數(shù)字化的誤差分析［J］.測繪科學(xué)，2001，26（4）：49－52.

［3］童小華，周德意.地形（籍）圖掃描糾正的精度分析［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，31（1）：77－81.

［4］毛澤衛(wèi).基于MAPGIS的地形圖變形處理方法比較［J］.測繪與空間地理信息，2009，32（6）：162－168.

［5］GOLUB G H，VAN LOAN C F.An Analysis of the Total Least Squares problem［J］.SIAMJ Numer Anal.1980，17（6）：883－893.