張艷玲 陳香蓮 馬志輝

（1.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100;2.石河子大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 石河子 832003）

1 引言

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)簡(jiǎn)單，無向連通圖，V(G)和E(G)分別是它的點(diǎn)集和邊集，圖G中u和v之間的距離d(u,v)是G中連接u、v的最短路的邊數(shù)[1]。G的Wiener指標(biāo)記為W(G)，定義如下：

圖的hyper-Wiener指標(biāo)被定義為

多聯(lián)苯鏈[3]是由n個(gè)苯環(huán)B1,B2,…,Bn組成的，其中對(duì)任意的正整數(shù)k和 j(1≤k＜j≤n)，當(dāng)且僅當(dāng) j=k+1時(shí)，Bk和Bj才由一條割邊聯(lián)接，且每一個(gè)苯環(huán)和一個(gè)割邊的公共頂點(diǎn)是三度點(diǎn)。

顯然，“多聯(lián)苯鏈”可以看作是一類重要的線性的無分支的簡(jiǎn)單的聚苯分子結(jié)構(gòu)圖的代表。

圖1 三種非同構(gòu)的聯(lián)接方式

用Ωn表示包含n個(gè)苯環(huán)的多聯(lián)苯鏈的集合。設(shè)Gn∈Ωn，Gn-1∈Ωn-1，Gn能夠由Gn-1在其終端由一條割邊再聯(lián)接一個(gè)苯環(huán)得到，其中n≥2。如果B1,B2,…,Bn是Gn中的n個(gè)苯環(huán)，我們記Gn=B1B2…Bn，其中Bi和Bi+1是鄰接的(i=1,2,···,n-1)。如圖1所示，每個(gè)在鏈中的苯環(huán)可聯(lián)接位有五個(gè)，但只有三個(gè)不同構(gòu)的聯(lián)接方式Gn-1→［Gn-1］k=Gn，其中k=1，2，3，我們把這3種不同的粘結(jié)方式稱為：way-1，way-2，way-3。

特別地，在多聯(lián)苯鏈中每個(gè)苯環(huán)都可以以一樣的聯(lián)接方式進(jìn)行聯(lián)接，如圖2。如果多聯(lián)苯鏈Gn中的每個(gè)苯環(huán)都是以“way-1(way-2或way-3)”通過一條割邊聯(lián)接在前一個(gè)苯環(huán)上的，則記作Zn(Rn或Ln)。

若Gn是一個(gè)多聯(lián)苯鏈，類似于文獻(xiàn)［3］，記［Gn］k是由多聯(lián)苯鏈Gn通過way-k(k∈{1,2,3})聯(lián)接一個(gè)新的苯環(huán)得到的多聯(lián)苯鏈，顯然，每個(gè)Gn(n≥2)能被寫為，其中 kj∈{1,2,3}，則 Gn可簡(jiǎn)記為：Gn=3k2k3…kn-1(約定L2的代碼為3)。對(duì)于Gn，若每個(gè)kj=1，則Gn=Zn；若每個(gè)kj=2，則Gn=Rn；若每個(gè) kj=3，則Gn=Ln。易見

2 主要結(jié)果

本文主要研究多聯(lián)苯鏈的hyper-Wiener指標(biāo)，并得到了Zn，Ln分別具有多聯(lián)苯鏈Gn的最小、最大hyper-Wiener指標(biāo)。

圖3 Gn(i,k)

文［3］定義Gn(i,k)(k=1,2,3)如下（見圖3）。設(shè) A∈Ωi-1，B∈Ωn-i且Bi是Gn中的第i個(gè)苯環(huán)，Bi聯(lián)接A所得的多聯(lián)苯鏈記為Gi，B通過way-k(k∈{1,2,3})聯(lián)接到Gi的最后一個(gè)苯環(huán)Bi所得的多聯(lián)苯鏈記作Gn(i,k)。

為了得到多聯(lián)苯鏈的hyper-Wiene指標(biāo)，先介紹幾個(gè)引理。

證明：對(duì)于任意的Gn(i,k)∈Ωn，由公式（2）可以得到：

由于

因此有：

由引理1，引理2和（2）式，易得下面引理：

引理3：WW(Gn(i,1))＜WW(Gn(i,2))＜WW(Gn(i,3))

現(xiàn)在，我們給出主要結(jié)果及其證明。

定理1：設(shè)n為任意正整數(shù)且Zn,Ln和Gn∈Ωn，則

(1)WW(Zn)≤WW(Gn)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Gn=Zn。

(2)WW(Gn)≤WW(Ln)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Gn=Ln。

證明：我們通過反證法證明定理1。

情況1.若ki=2,即，由 引 理 3,這與Gn具有最小hyper-Wiener指標(biāo)矛盾，故Gn=Zn。

情況2.若ki=3，用證明情況1的方法類似可證。

(2)用類似（1）的方法可以證明WW(Gn)≤WW(Ln)。

［1］Bondy JA,Murty USR.Graph theory with applications［M］.New York:The Macmillan Press,1976.

［2］羅朝陽等.具有極值的Wiener和hyper-Wiener指標(biāo)的六環(huán)螺鏈［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，45（12）:16-21.

［3］X.Gu,B.Zhao,J.Tang,Polyphenyl Chains with Extremal Wiener Index［J］.新疆大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（1）：32-36.

［4］X.Chen,B.Zhao,P.zhao,Six-membered ring spiro chains with extremal Merrifield-Simmons index and Hosoya index,MATH.Commun.Math.Comput.Chem.62(3)(2009)657-665.