劉 軍 ，孫東玲，孫海濤，林府進(jìn)

(1.中煤科工集團(tuán)重慶研究院瓦斯分院，重慶 400037；2.瓦斯災(zāi)害監(jiān)控與應(yīng)急技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400037)

煤的滲透性是煤層氣開(kāi)發(fā)過(guò)程中關(guān)鍵因素，孔隙壓力、有效應(yīng)力以及基質(zhì)收縮/膨脹對(duì)煤的滲透性具有重要影響[1]。 “動(dòng)態(tài)滲透率”這一關(guān)鍵性因數(shù)，已得地面煤層氣開(kāi)發(fā)的廣泛認(rèn)可[1-2]。煤層氣開(kāi)發(fā)中廣泛應(yīng)用的P-M、Seidle-Huitt模型和Shi-Durucan模型，其共同點(diǎn)是假設(shè)煤巖體處于單軸應(yīng)變狀態(tài)以及豎向應(yīng)力恒定的基礎(chǔ)上,該假設(shè)的合理性有待商榷，特別研究采動(dòng)影響下煤層開(kāi)發(fā)，以上模型還有待改進(jìn)[4-7]。周軍平、汪志明等[8-9]建立了包括孔隙壓力、有效應(yīng)力以及基質(zhì)收縮耦合作用動(dòng)力學(xué)模型,但是并沒(méi)有考慮到瓦斯流動(dòng)中吸附擴(kuò)散作用。隨著研究的深入，建立綜合考慮考慮孔隙壓力、有效應(yīng)力以及基質(zhì)收縮耦合作用的固氣耦合模型對(duì)煤層氣勘探、開(kāi)發(fā)和開(kāi)采工藝確定、產(chǎn)能預(yù)測(cè)及預(yù)防瓦斯突出等將起到重要作用[10]。因此，本文在廣大學(xué)者研究的基礎(chǔ)上,綜合考慮各因素，建立含瓦斯煤固氣耦合動(dòng)力學(xué)模型，并將其應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)踐。

1 含瓦斯煤固氣耦合動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型的基本假設(shè)

模型引入如下假設(shè)：①含瓦斯煤是一種均質(zhì)彈性體；②煤層被單相瓦斯飽和且溫度恒定；③煤層瓦斯在孔隙-裂隙多重介質(zhì)中滲流符合Darcy定律，擴(kuò)散符合Fick擴(kuò)散定律，并不考慮煤層基質(zhì)塊與裂隙質(zhì)量交換；④吸附/解吸以及煤巖裂隙瓦斯壓力變化會(huì)使煤顆粒體積應(yīng)變發(fā)生改變，且產(chǎn)生應(yīng)變?cè)谌齻€(gè)方向上相等。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)力場(chǎng)方程

應(yīng)力場(chǎng)變化服從應(yīng)力方程、平衡方程、本構(gòu)方程。

1)應(yīng)力方程

由太沙基有效應(yīng)力原理，有效應(yīng)力方程為

由式(1)、式(2)得到總應(yīng)力方程

2)平衡方程

3)本構(gòu)方程

根據(jù)假設(shè)，煤體在彈性變形階段遵守廣義的胡克定律，即

式中，λ為拉梅常數(shù)；εv為體積應(yīng)變；G為剪切模量；δij為Kronecker符號(hào)。

多孔介質(zhì)煤體的變形包含本體變形和結(jié)構(gòu)變形[11]。結(jié)構(gòu)變形主要是外應(yīng)力引發(fā)煤粒之間位置相對(duì)錯(cuò)動(dòng)產(chǎn)生的整體變形，是永久性塑性變形。本體變形主要包括熱膨脹變形、吸附瓦斯膨脹變形和煤體骨架受瓦斯壓力的壓縮變形。在忽略溫度變化前提下，煤體的本體變形只有：吸附瓦斯膨脹變形和煤體骨架受瓦斯壓力的壓縮變形。即認(rèn)為含瓦斯煤層受到地應(yīng)力和作用在煤體單元孔裂隙結(jié)構(gòu)中的瓦斯壓力以及瓦斯吸附膨脹產(chǎn)生的膨脹應(yīng)力而發(fā)生變形。吳世躍[12]針對(duì)吸附瓦斯膨脹變形進(jìn)行深入研究，從理論上推導(dǎo)了煤體膨脹應(yīng)力和膨脹應(yīng)變的計(jì)算公式。

式中：σsw為吸附膨脹應(yīng)力，Pa;εsw為吸附膨脹應(yīng)變，％；a為極限吸附量，m3/kg；b為吸附常數(shù)，MPa-1；R為瓦斯摩爾常數(shù)，8.3143J/(kg·K)；T為煤體溫度，K；υ為泊松比；Vm為摩爾體積，22.4×10-3m3/mol；P為孔隙壓力，MPa；ρc為含瓦斯煤體視密度，kg/m3。

在工程實(shí)踐中[13-16]得出，因孔隙流體壓力變化而引起的固體顆粒體積變化而引起的變形由式(8)表示。

式中：εp為瓦斯壓力引起的應(yīng)變；Δp為瓦斯壓變化，MPa。

將于煤體的本體變形表示為：εs=εsw-εp，所以有式(9)成立。

根據(jù)式(2)、式(9)求的σij的表達(dá)式

σij=

1.3 瓦斯流動(dòng)方程

煤體是孔隙-裂隙的雙重介質(zhì)體，包含孔隙系統(tǒng)和裂隙系統(tǒng)，假定瓦斯在裂隙系統(tǒng)中以滲流形式運(yùn)動(dòng)，在孔隙系統(tǒng)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。而瓦斯流動(dòng)數(shù)學(xué)模型包含了瓦斯流動(dòng)連續(xù)性方程、瓦斯運(yùn)動(dòng)控制方程、煤層瓦斯?fàn)顟B(tài)方程和瓦斯含量方程四個(gè)基本方程組成，以下是分別對(duì)以上四種方程的描述。

1.3.1 連續(xù)性方程

瓦斯的在裂隙系統(tǒng)和孔隙系統(tǒng)中連續(xù)方程為式(13)、式(14)，在孔隙-裂隙二重介質(zhì)中，裂隙中自由煤層氣的滲流量比孔隙系統(tǒng)中吸附煤層氣擴(kuò)散要大得多，所以可以忽略孔隙系統(tǒng)通過(guò)擴(kuò)散直接進(jìn)入鉆孔或煤壁的氣體，而僅把孔隙系統(tǒng)的擴(kuò)散解吸看作向裂隙系統(tǒng)補(bǔ)給的內(nèi)質(zhì)量源，此時(shí)煤層氣的擴(kuò)散滲流方程組就由煤粒吸附煤層氣擴(kuò)散方程與裂隙系統(tǒng)滲流方程，所以得到瓦斯流動(dòng)連續(xù)質(zhì)量方程(15)。

式中：C為單位體積煤層所含有吸附狀態(tài)煤層氣的質(zhì)量濃度，kg/m3；ρg為瓦斯壓力p時(shí)瓦斯氣體密度，kg/m3；Jc為擴(kuò)散流體通過(guò)單位面積的擴(kuò)散速度,kg/(s·m2)。

1.3.2 流動(dòng)的方程

1)煤層瓦斯?jié)B流的狀態(tài)方程。鉆孔抽采下煤層瓦斯在煤體內(nèi)的流動(dòng)符合Darcy滲流規(guī)律[17]。

當(dāng)氣體在煤巖多孔介質(zhì)中流動(dòng)時(shí),由于氣體分子平均自由通道程與孔裂隙的直徑處在同一量級(jí)上,氣體分子就會(huì)與通道壁面相互作用,從而造成氣體分子沿孔隙表面滑移,增加了分子流速,這一現(xiàn)象稱為分子滑移現(xiàn)象[18]。這種由氣體分子和固體分子間的相互作用產(chǎn)生的效應(yīng)稱Klinkenberg 效應(yīng)(式(17))，因此考慮Klinkenberg效應(yīng)的瓦斯?jié)B流運(yùn)動(dòng)方程為(18)。

式中：V煤層瓦斯?jié)B流速度矢量，m/s；k為滲透率，k0為初始滲透率，m2；m為klinkenberg系數(shù)。

2)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)方程。氣體在多孔介質(zhì)中擴(kuò)散滿足Fick擴(kuò)散定律[19]，寫(xiě)為

J=-D

式中：J擴(kuò)散流體通過(guò)單位面積的擴(kuò)散速度,kg/(s·m2)；D擴(kuò)散系數(shù),m2/s；C擴(kuò)散流體質(zhì)量濃度,kg/m3。

1.3.3 狀態(tài)方程

根據(jù)假設(shè)瓦斯被看作理想氣體，瓦斯流動(dòng)視為等溫過(guò)程，則其狀態(tài)方程

式中：β煤層瓦斯的壓縮因子，kg/(m3·Pa)，且有：β=Mg/ZRT；Mg為瓦斯氣體分子量，kg/(K·mol)；R為一般氣體常數(shù)，kJ/(kmol·K)；T為氣體的溫度，K；Z為壓縮系數(shù)。

1.3.4 含量方程[19]

式中：Cf、Ca分別為游離和吸附瓦斯含量，kg/m3；pn為大氣壓；ρn為參考大氣壓下瓦斯密度，kg/m3；φ為煤體孔隙度；A為煤中灰分；W為煤中水分；a為極限吸附量，kg/m3；b為煤的Langmuir壓力參數(shù)，MPa-1;ρc為當(dāng)前壓力下瓦斯密度,kg/m3。

根據(jù)式(15)～(21)得出瓦斯流動(dòng)控制方程

φ+

式(22)與式(12)構(gòu)成了煤層氣與煤層耦合動(dòng)力力學(xué)模型，但二者之間需靠滲透率k和孔隙度φ建立耦合關(guān)系。

1.4 動(dòng)態(tài)滲透性與孔隙度模型

Zhang等人[20-23]建立普遍應(yīng)用的動(dòng)態(tài)孔隙度與滲透率模型，近年來(lái)得到廣泛的應(yīng)用，鑒于文章篇幅不再推導(dǎo)。

其中

煤是典型的孔隙介質(zhì)，若煤的體積模量K遠(yuǎn)小于煤基質(zhì)的體積模量Ks,游離瓦斯和吸附產(chǎn)生的變形忽略不計(jì)，則上式可以得

式(26)與文獻(xiàn)[13]得到的孔隙度關(guān)系式是完全相同的。

式中：εv為當(dāng)前體積應(yīng)變；εv0為初始體積應(yīng)變；εs為現(xiàn)在因瓦斯壓力變化產(chǎn)生變形和吸附變形之和。

式(23)求導(dǎo)得出孔隙率的變化率。

將式(12)、式(22)、式(23)、式(24)、式(27)整理就得到含瓦斯煤層與煤層氣耦合動(dòng)力學(xué)模型，即式(28)。

2 固氣耦合動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)用

固氣耦合動(dòng)力學(xué)模型具有廣泛應(yīng)用，在此利用該模型借助COMSOL Multiphysics軟件對(duì)山西某礦3#煤層順層鉆孔抽采煤層瓦斯有效半徑進(jìn)行數(shù)值求解，驗(yàn)證模型的同時(shí)，也為現(xiàn)場(chǎng)工程起到指導(dǎo)作用。

2.1 幾何物理模型

根據(jù)已有研究[24-26]，鉆孔抽放數(shù)值分析采用二維平面模型。考慮到工作面的煤層賦存條件、地應(yīng)力狀態(tài)和瓦斯鉆孔抽排設(shè)計(jì)條件，建立了其幾何物理模型見(jiàn)圖1。物性參數(shù)見(jiàn)表1。

2.2 模型的初始條件和邊界條件

在所取研究域內(nèi)，其初始條件和邊界條件如下。

1)煤層瓦斯初始條件：t=0；p=P0。

式中：P0為煤層瓦斯壓力初始值P0=0.69MPa。

2)分析域內(nèi)邊界條件為

3)應(yīng)力場(chǎng)初始位移μ=0；ν=0。

4)應(yīng)力邊界條件為：煤層頂部邊界上承受著上覆巖層的重量應(yīng)力為F=6.5MPa ，同時(shí)考慮煤體自重，位移邊界條件在分析域的下端邊界y=0以及左端和右端邊界上x(chóng)=0和x=100為位移約束邊界；r為抽采半徑,p1為抽采負(fù)壓。

圖1 單一順層鉆孔抽排瓦斯數(shù)值模擬的幾何模型

表1 某礦含瓦斯煤層物性參數(shù)

3 數(shù)值模擬的結(jié)果分析

鑒于該礦瓦斯壓力低，用含量變化判定瓦斯抽采效果更佳，因此對(duì)瓦斯含量變化進(jìn)行分析。圖2為不同抽采時(shí)間含量的變化圖，圖2中可以看出，隨著抽采時(shí)間的增加，瓦斯含量不斷的減小，鉆孔抽采的影響范圍不斷的增加，瓦斯流場(chǎng)范圍在抽采負(fù)壓作用下逐漸擴(kuò)大，為進(jìn)一步定量描述鉆孔抽采下瓦斯含量的變化，取模型中以點(diǎn)(50，3.125)和點(diǎn)(100,3.125)組成的剖面線，和取點(diǎn)A(51，3.125)、B(52,3.125)、C(55,3.125)以及點(diǎn)D(50,4.125)和E(50,5.125)對(duì)上述瓦斯含量變化進(jìn)行分析。圖3為不同抽采時(shí)間剖面線上瓦斯含量的變化圖，圖4為點(diǎn)A、B、C、D、E處瓦斯含量隨時(shí)間的變化。

根據(jù)圖3、圖4知，鉆孔周?chē)咚购肯陆递^快，瓦斯含量梯度較大，但是隨著時(shí)間的增加，瓦斯含量減小，瓦斯含量的降低梯度也減小，這說(shuō)明鉆孔在抽采的初始階段，瓦斯的抽放量很大，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后，瓦斯抽采量將趨于穩(wěn)定，以上分布圖與文獻(xiàn)[26-28]模擬結(jié)果一致。根據(jù)圖4中B、E點(diǎn)和A、D點(diǎn)瓦斯含量對(duì)比分析知，在同一時(shí)間下，距離鉆孔相同距離點(diǎn)的瓦斯含量比水平方向含量降低快，這是因?yàn)槭艿姐@孔開(kāi)挖致滲透率增加。

圖2 不同抽采時(shí)間瓦斯含量的變化圖

圖3 不同抽采時(shí)間剖面線上瓦斯含量的變化圖

圖4 點(diǎn)瓦斯含量隨時(shí)間的變化圖

根據(jù)《煤礦瓦斯抽采基本指標(biāo)》(AQ 1026-2006)中規(guī)定，在鉆孔有效抽采半徑內(nèi)，需將煤層瓦斯含量降到8m3/t。因此，把瓦斯含量降到8m3/t為指標(biāo)確定鉆孔有效抽采半徑。依靠這個(gè)指標(biāo)根據(jù)圖3該礦抽采一年的有效半徑約為4.5m。這一數(shù)據(jù)與該礦在抽采工程中取得數(shù)據(jù)以及順層鉆孔合理布置參數(shù)實(shí)驗(yàn)得到的半徑基本一致，證明了此數(shù)學(xué)模型的正確性。最終將鉆孔的間距由原來(lái)的5m，提高到7～10m，在滲透率相對(duì)低區(qū)域鉆孔間距小，滲透率高區(qū)域鉆孔間距大。通過(guò)對(duì)抽采參數(shù)監(jiān)測(cè)，最終保證綜放面安全生產(chǎn)預(yù)抽率(25％～30％)，取得了良好的抽采效果。

4 結(jié)論

從瓦斯流動(dòng)理論出發(fā)，以體積應(yīng)變?yōu)闃蛄和ㄟ^(guò)煤層的孔隙度、滲透率方程將煤層應(yīng)力場(chǎng)方程與瓦斯流動(dòng)場(chǎng)方程耦合，建立含瓦斯煤固氣耦合動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。借助多物理場(chǎng)數(shù)值模擬軟件，分析本層單一順層鉆孔的瓦斯含量變化，得出特定條件下瓦斯抽采有效半徑,并通過(guò)與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)際抽采數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證瓦斯抽采有效半徑正確性。固氣耦合動(dòng)力學(xué)模型的建立將對(duì)煤層氣開(kāi)發(fā)和防治煤與瓦斯突出具有理論和工程指導(dǎo)意義。

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