安勇強(qiáng), 李述山, 劉 濤

(山東科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 山東 青島 266590)

近年來(lái)，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，全球一體化進(jìn)程加快，國(guó)家及地區(qū)的經(jīng)濟(jì)都會(huì)受到各種不確定因素的影響，使得金融風(fēng)險(xiǎn)管理成為國(guó)內(nèi)外關(guān)注的課題.如何度量風(fēng)險(xiǎn)，有效的規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，一直是各國(guó)學(xué)者和經(jīng)濟(jì)工作者研究的重點(diǎn)問(wèn)題，市場(chǎng)間相關(guān)性的研究就是其中的一個(gè)重要方面.研究市場(chǎng)間相關(guān)性可以使投資者了解市場(chǎng)間的關(guān)系，了解一個(gè)市場(chǎng)發(fā)生重大波動(dòng)時(shí)另外一個(gè)市場(chǎng)的波動(dòng)情況，從而提前采取有效措施規(guī)避風(fēng)險(xiǎn).Copula能對(duì)整體的聯(lián)合分布建模，它可以描述隨機(jī)變量之間的相依結(jié)構(gòu)，能夠捕捉到非正態(tài)、非對(duì)稱(chēng)和厚尾信息.因此運(yùn)用Copula技術(shù)來(lái)分析隨機(jī)變量之間的相關(guān)性具有靈活、實(shí)用的特點(diǎn).隨著金融市場(chǎng)不確定性的顯著增加，人們希望掌握市場(chǎng)更多信息，同時(shí)了解多個(gè)市場(chǎng)的關(guān)系，這就推動(dòng)Copula技術(shù)向高維拓展.然而采用多維Copula函數(shù)會(huì)導(dǎo)致“維數(shù)災(zāi)難”，條件Pair-Copula的出現(xiàn)能夠有效的解決這一問(wèn)題.Pair-Copula能夠?qū)Χ嗑S聯(lián)合密度進(jìn)行分解，把高維結(jié)構(gòu)拆分為二元Pair-Copula密度和二元Copula密度的乘積，為研究高維相關(guān)性提供了一種方法.

目前利用Copula技術(shù)研究相關(guān)性大部分集中于二元非條件變量間的相關(guān)性，很少用Copula刻畫(huà)條件變量間的相關(guān)性.本文在文獻(xiàn)[1]研究的基礎(chǔ)上，擬用Pair-Copula構(gòu)建條件Copula，建立條件相關(guān)性度量，并用條件Copula實(shí)證研究市場(chǎng)間的條件相關(guān)性.

1 條件Copula及其性質(zhì)

1.1 條件Copula函數(shù)的定義

定義1[1]一個(gè)二維的條件Copula是一個(gè)函數(shù)C：[0,1]×[0,1]×W→[0,1]，并滿足以下條件：

(1)C(u,0|w)=C(0,v|w)=0,C(u,1|w)=u,

C(1,v|w)=v,?u,v∈[0,1],?w∈W.

(2)Vc([u1,u2]×[v1,v2]|w)=C(u2,v2|w)-

C(u1,v2|w)-C(u1,v1|w)≥0

?u1,u2,v1,v2∈[0,1],

其中u1≤u2,v1≤v2，?w∈W.

1.2 連續(xù)條件分布的Skalar定理

定理1[1]設(shè)X|W～F,Y|W～G，(X,Y)|W～H.假設(shè)F，G分別在點(diǎn)x，y連續(xù)，那么存在唯一的一個(gè)條件CopulaC，?(x,y)∈[-∞,+∞]，?w∈W滿足

H(x,y|w)=C(F(x|w),G(y|w)|w)

(1)

反之，如果X|W～F，Y|W～G，C是一個(gè)條件Copula，那么由上式定義的函數(shù)H是一個(gè)帶有條件邊緣F和G的二元條件分布函數(shù).

類(lèi)似于非條件Copula函數(shù)，條件Copula函數(shù)在嚴(yán)格單調(diào)變換下也有相似的性質(zhì)，可參考文獻(xiàn)[1].

2 條件Copula的確定

2.1 Pair-copula的分解[2]

設(shè)一個(gè)n維隨機(jī)變量X=(X1,X2，…，Xn)，其聯(lián)合密度函數(shù)可以表示為

f(x1,x2，…，xn)=fn(xn)f(xn-1|xn)f(xn-2|

xn-1,xn)…f(x1|x2，…，xn)，

其中任何一個(gè)條件密度函數(shù)都可以分解成如下形式：

f(x|υ)=

cxυj|υ-j(F(x|υ-j),F(υj|υ-j))f(x|υ-j),

其中，υj表示n維向量υ中的一個(gè)分量，υ-j表示向量υ中除去υj后n-1維分量.在以上表達(dá)式中，密度函數(shù)cxυj|υ-j(·,·)稱(chēng)為條件Pair-Copula密度函數(shù)，其包含一對(duì)條件分布函數(shù)F(x|υ)，而條件分布函數(shù)可以通過(guò)下式求得

由于式(1)不易直接求得條件分布函數(shù)，因此用條件Copula表示的條件聯(lián)合分布函數(shù)不易表達(dá)，故可以考慮條件聯(lián)合密度函數(shù)：

h(x,y|w)=

cxy|w(F(x|w),G(y|w))f(x|w)f(y|w)

而

f(x|w)=cxw(FX(x),FW(w))fX(x)，

f(y|w)=cyw(FY(y),FW(w))fY(y)

因此

h(x,y|w)=cxy|w(F(x|w),G(y|w))×

cxw(FX(x),FW(w))×

cyw(FY(y),FW(w))fX(x)fY(y)

其中

(2)

2.2 條件Copula的參數(shù)估計(jì)與擬合檢驗(yàn)

Copula的參數(shù)估計(jì)方法最常用的有兩種，一種是參數(shù)法，另一種非參數(shù)法.參數(shù)法中有整體的極大似然估計(jì)法，分布估計(jì)法，半?yún)?shù)估計(jì)法.非參數(shù)估計(jì)法則是利用單參數(shù)ArchimedeanCopula函數(shù)的參數(shù)與其Kendall秩相關(guān)系數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系來(lái)估計(jì)參數(shù)，當(dāng)樣本數(shù)量比較大時(shí)才較接近真實(shí)值，具有一定的局限性.本文采用經(jīng)驗(yàn)分布擬合邊緣分布，用對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì).原因是參數(shù)法的邊緣分布需要預(yù)先設(shè)定，這樣就會(huì)存在一定的誤差，影響隨機(jī)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu).本文以條件變量是一維的情況為例，估計(jì)步驟如下：

步驟1 以xi={xi,1,xi,2,…，xi,T};i=1,2,3為觀測(cè)值，用求出的邊緣分布函數(shù)Fi(xi)轉(zhuǎn)化成[0,1]上的數(shù)據(jù)，用極大似然法估計(jì)CXW(FX(x),FW(w))，CYW(FY(y),FW(w))中參數(shù).

步驟2 利用步驟1的結(jié)果，根據(jù)式(2)計(jì)算F(xt|wt)和G(yt|wt)，t=1,2…T.

步驟3 把步驟2中求得的條件分布函數(shù)作為新的觀測(cè)值，令對(duì)數(shù)似然函數(shù)

lncxw(Fw(wt))+

lncyw(FY(yt),Fw(wt))]

極大化求得CXY|W(F(x|w),G(y|w))的參數(shù).

Copula函數(shù)的擬合檢驗(yàn)方法很多，如AIC、BIC準(zhǔn)則等，其他方法可參考文獻(xiàn)[3].

3 條件相關(guān)性度量

定義2設(shè)X,Y,W為三個(gè)隨機(jī)變量，

(X′,Y′)=(X,Y)|W，

則定義在第三個(gè)隨機(jī)變量W條件下X與Y之間的條件Kendall秩相關(guān)系數(shù)為

它的非參數(shù)估計(jì)量是

i,j=1,2，…，n

(3)

定義3設(shè)X,Y,W為三個(gè)隨機(jī)變量，(X′,Y′)=(X,Y)|W的聯(lián)合分布函數(shù)為H(x,y|w)，在W給定條件下的條件邊際分布函數(shù)分別為F和G，則X與Y在W已知條件下的條件α下尾相關(guān)系數(shù)和條件α上尾相關(guān)系數(shù)分別為

條件下尾相關(guān)系數(shù)和條件上尾相關(guān)系數(shù)分別為

結(jié)論1[4]設(shè)(X′,Y′)=(X,Y)|W對(duì)應(yīng)的條件Copula函數(shù)為C′，則

(4)

(5)

(6)

4 實(shí)證分析

本文采用上證綜指、深證成指、香港恒生指數(shù)的周收盤(pán)價(jià)為樣本，樣本的時(shí)間段為2005年1月—2011年6月，共得到有效數(shù)據(jù)1241個(gè)，將第i個(gè)市場(chǎng)的周收盤(pán)價(jià)定義為pi,t(i=1,2,3).以對(duì)數(shù)收益率為研究對(duì)象，定義為Ri,t=100(lnpi,t-lnpi,t)，利用3種常用的ArchimedeanCopula：GumbleCopula、ClaytonCopula、GS-Copula進(jìn)行實(shí)證研究.研究股市間的條件相關(guān)性，最主要的是確定條件變量，為了充分利用數(shù)據(jù)信息，本文利用經(jīng)驗(yàn)分布擬合數(shù)據(jù)的邊緣分布，并經(jīng)過(guò)概率積分變換得到區(qū)間[0,1]上的數(shù)據(jù)，用轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)根據(jù)Kendalτ的非參數(shù)估計(jì)量表達(dá)式：

i,j=1,2，…，n，

計(jì)算兩兩收益率的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果列于表1.

表1 兩兩收益率間的Kendal秩相關(guān)系數(shù)

由表1結(jié)果可以看出香港恒生和深證成指、上證綜指的相關(guān)性較大，說(shuō)明香港股市包含了內(nèi)地股市部分信息，與內(nèi)地股市有一定的內(nèi)在關(guān)系，因此我們把香港恒生指數(shù)作為條件變量來(lái)研究深證成指和上證綜指的條件相關(guān)性.令上證綜指、深證成指、香港恒生分別由x,y,w表示，由參數(shù)估計(jì)步驟得到條件Copula參數(shù)見(jiàn)表2.

表2 Copula的參數(shù)估計(jì)值

從表2的結(jié)果看出，在常用的ArchimedeanCopula族中，GS-Copula對(duì)金融市場(chǎng)間條件相關(guān)結(jié)構(gòu)的描述具有良好的效果，又能同時(shí)捕捉到上尾和下尾的相關(guān)性，因此本文選用GS-Copula研究市場(chǎng)間的條件相關(guān)性.

由式(4)、(6)計(jì)算條件τ、條件下尾和條件上尾相關(guān)系數(shù)估計(jì)值，由式(3)計(jì)算條件τ的非參數(shù)估計(jì)值，為了便于結(jié)果的對(duì)比，將各相關(guān)系數(shù)列于表3.

表3 尾部相關(guān)系數(shù)、秩相關(guān)系數(shù)估計(jì)值

從表3的結(jié)果一方面可以看出，上證綜指、深證成指和香港恒生指數(shù)的尾部相關(guān)性都不是很強(qiáng)，說(shuō)明當(dāng)香港股市發(fā)生重大波動(dòng)時(shí)對(duì)內(nèi)地股市的影響較??；下尾相關(guān)性明顯大于上尾相關(guān)性，說(shuō)明股市受到負(fù)面沖擊時(shí)產(chǎn)生的波動(dòng)要大于受到正面沖擊時(shí)的波動(dòng)，這與實(shí)際情況相符.另一方面還可以發(fā)現(xiàn)，內(nèi)地兩個(gè)市場(chǎng)的條件相關(guān)系數(shù)與非條件相關(guān)系數(shù)相比變化較小，變化在0.1左右，這是因?yàn)閮?nèi)地股市成立較晚，制度不完善，發(fā)展較緩慢，會(huì)受到各種經(jīng)濟(jì)政策及內(nèi)部經(jīng)濟(jì)環(huán)境的影響，而香港股市掛牌成立時(shí)間較早，實(shí)行的是較完善的金融市場(chǎng)制度，它與西方發(fā)達(dá)國(guó)家的股市關(guān)系較密切，易受到歐美主要股市的影響.因此雖然香港與內(nèi)地兩股市的相關(guān)性較強(qiáng)，卻包含內(nèi)地兩個(gè)市場(chǎng)的共同信息較少，所以條件相關(guān)系數(shù)變化小.這一結(jié)論為投資者充分認(rèn)識(shí)市場(chǎng)間的相關(guān)性和相互影響提供了一種新思路.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文類(lèi)似于通常的非線性相關(guān)性度量，建立了基于Pair-Copula分解的條件Copula模型，并建立了幾個(gè)條件相關(guān)性度量，用條件Copula模型研究了在香港恒生指數(shù)條件下，上證綜指和深證成指之間的條件相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)在常用的ArchimedeanCopula中，GS-Copula能夠較好的描述條件相關(guān)性，并且上證綜指和深證成指的相關(guān)性與非條件相關(guān)性相差不大，說(shuō)明香港股市包含了滬市和深市的共同信息較少.這一情況可為風(fēng)險(xiǎn)管理者和投資者做出合理的決策提供參考.文章只研究了條件變量是一維，相關(guān)變量是二元的情況，未來(lái)還可以探討多維條件變量多元相關(guān)變量的情況.而條件Copula整體的擬合檢驗(yàn)問(wèn)題還有待研究.

[1]俞澤鵬.條件Copula的相關(guān)性質(zhì)[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011(5):763-765.

[2]JaworskiP,DuranteF,HardleW, et al.Copulatheoryanditsapplications:proceedingsoftheworkshopHeldinWarsaw,25-26September2009[M].Dortrecht：Springer,2010:94-103.

[3]李述山.金融時(shí)間序列間的條件相關(guān)性分析與Copula函數(shù)的選擇原則[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2010(10):23-25.

[4]李述山.阿基米德Copula函數(shù)的擬合檢驗(yàn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2012(12):77-78.