許春雷，鄭清春，楊常青，胡亞輝

(天津理工大學 復雜系統(tǒng)控制理論及應用重點實驗室，天津 300384)

0 引言

床身是數(shù)控機床的重要支撐部件，提高其結構特性對整機的加工精度、抗振性有重要意義。傳統(tǒng)設計主要通過經(jīng)驗法和類比法進行，造成結構較為笨重。許多學者運用有限元方法進行了深入的研究［1-3］。本文基于多目標優(yōu)化方法，利用ABAQUS 仿真研究如何在保證床身剛度和固有頻率的前提下對床身進行輕量化設計，對提高機床制造的經(jīng)濟性有重要意義。

1 磨床床身的有限元分析

本文研究對象取自于天津某機床廠1.25 立式精密磨床，該型數(shù)控精密立式磨床由床身、立柱、工作臺和滑板等組成，如圖1 所示。在保證剛度的前提下對其進行輕量化優(yōu)化設計，就要對這些部件進行強度、剛度及抗振性分析。本文對床身進行靜動態(tài)分析并提出改進方案。用ABAQUS 有限元分析軟件對床身進行有限元分析，首先在Solidworks 三維制圖軟件中建模，然后將模型導入ABAQUS 軟件中進行分析并讀取靜態(tài)分析和模態(tài)分析的結果。

1.1 床身力學性能分析

床身所用材料為灰鑄鐵HT300，彈性模量E =143GPa;泊松比μ=0.27;密度ρ =7.25 g/cm3;強度極限σb≥300MPa。

床身受力如圖1 所示。經(jīng)Solidworks 質量計算可以計算得出立柱及其以上部件總重力:

圖1 機床結構及受力簡圖

由切削力的切向力公式:

上式中Pe為電機功率16kW，ηe為電機的傳動效率0.9，nb為砂輪的轉速40.6r/s，db為砂輪的直徑300mm，計算出切向力Ft=375.6N。由于法向的切削力Fn是切向力的2.4 倍，所以Fn=901.4N。最后得出立柱對床身結合面處產(chǎn)生壓力P =0.113MPa，扭矩為M=9.7838N·mm。同理分析得出床身導軌處壓力P=0.696MPa。

1.2 床身有限元模型建立

磨床床身屬于結構鑄件，有許多鑄造圓角、工藝孔、拔模角、螺紋孔和裝配定位結構。這些結構對床身的力學性能影響很小但在有限元分析中會占用很大的資源，所以在建立有限元模型時有必要對其結構進行簡化。簡化的原則是確保結構力學性能受到的影響最小。

圖2 床身有限元模型

圖2 所示床身底部與地基接觸面添加位移全約束實現(xiàn)對床身的固定。在導軌平面劃分出滑塊的接觸面，施加載荷壓力0.696MPa。床身與立柱結合面處施加壓力0.113MPa，并使用耦合功能施加扭矩9783800 N·mm。

對床身進行靜態(tài)分析和模態(tài)分析得到其靜態(tài)力學性能和固有頻率，要定義一個通用靜力分析步以輸出最大應力和最大變形，還要定義一個靜態(tài)線性擾動分析步輸出床身前10 階固有頻率。

1.3 查看有限元分析結果

將有限元模型提交求解器選用standard 模塊。計算結束后在后處理模塊查看輸出的結果。

(1)靜態(tài)分析結果

在后處理模塊中選擇輸出通用靜力分析步的結果，可以看到床身最大變形發(fā)生在床身與立柱接觸面的邊緣。最大變形量為1.724μm，最大應力為1.191MPa。結果如圖3 所示。

圖3 床身位移云圖

(2)模態(tài)分析結果

在后處理模塊中選擇輸出靜態(tài)線性擾動分析步結果。

表1 床身各階固有頻率

從表1 結果可以看出床身的各階固有頻率都遠遠大于激振頻率，所以在優(yōu)化床身的過程中只把床身的固有頻率作為驗證條件。

2 床身結構優(yōu)化

床身可以從幾何形狀、拓撲結構、結構尺寸來調(diào)整。由于改變床身結構的幾何形狀會造成生產(chǎn)工藝上的巨大改變，成本太高所以這里不作調(diào)整。從有限元分析結果發(fā)現(xiàn)床身外壁的變形比較小而床身外壁厚度較大且壁厚也不同，給加工和快速設計帶來不便，從快速設計和標準化出發(fā)把承重壁厚定為60mm。支撐立柱最內(nèi)側的筋板變形較大，將其厚度從20mm 增加到40mm。其他結構保持不變。在Solidworks 中建出新型床身的簡化模型并導入ABAQUS 中進行分析并查看結果。

表2 兩型床身對比表

通過表2 對比，床身結構改變后床身最大變形量增大很小而重量減輕很多，所以新型結構是可用的。

3 基于靈敏度分析的參數(shù)優(yōu)選

床身在一定的結構下力學性能由結構尺寸決定，同時結構尺寸也決定床身重量。根據(jù)廠家保證床身剛度同時降低床身重量的要求，需要對床身的結構尺寸進行優(yōu)化。

床身結構尺寸中，床身的框結構尺寸(如床身的長、寬、高)由磨床的功用或按照人機工程學［4］來決定的。選取床身的壁厚、筋板厚度作為設計變量，見表3。

表3 各設計變量及其符號

選取各個設計變量如圖4 所示。

圖4 床身設計變量示意圖

運用靈敏度分析的方法［5］，確定各個實際變量對床身重量和最大變形量的關鍵參數(shù)。縮減一些次要設計變量，可以明顯提高結構優(yōu)化設計效率。從數(shù)學意義上，靈敏度可解釋為:若函數(shù)F(x)可導，其一階靈敏度可表示為:

3.1 設計變量對床身重量的靈敏度分析

床身質量由其體積決定，設計變量對床身體積的影響越明顯則對質量的影響也越明顯。在Solidworks 中可以方便的測得床身壁厚和筋板的側面積，然后求出其體積，結果如下:

通過靈敏度分析得到設計變量對床身體積即是對床身重量的靈敏度值。

表4 各個設計變量對床身質量靈敏度值

通過表4 可以看出各個設計變量對床身重量的靈敏度X3＞X1＞X2＞X4。

3.2 各設計變量對床身最大變形量的靈敏度分析

本文通過正交試驗設計，運用ABAQUS 軟件獲取仿真數(shù)據(jù)，通過多元線性回歸得到設計變量與床身最大變形量之間的函數(shù)關系式從而分析各設計變量的靈敏度。

(1)基于Excel 和python 的模型建立

安排L25(45)正交試驗，實驗需要做25 次，如果建25 個模型工作會很繁瑣，Solidworks 中尺寸可以通過Excel 表格進行驅動，見圖5。

圖5 Excel 驅動Solidworks

在Excel 中建立設計變量與驅動尺寸的關系，然后插入一個按鈕，按鈕添加宏如下:

將Excel 表格添加到Solidworks 的設計活頁夾中，將設計變量值輸入到Excel 中然后點擊更新按鈕就會生成新的模型。

將生成的模型導入ABAQUS 中進行分析，對于重復的步驟，如定義材料，定義分析步等可以通過錄制宏來得到python 語言代碼執(zhí)行繁瑣的操作。如定義材料部分的python 語言代碼如下:

(2)基于ABAQUS 的仿真結果及分析

將正交試驗得到實驗數(shù)據(jù)最大應力S(MPa)和最大變形U(μm)整理如表5 所示。

表5 正交試驗結果

(續(xù)表)

對結果做線性回歸分析，回歸方程的形式為:

運用Matlab 多元線性回歸分析函數(shù)regress 進行回歸分析計算。結果方程為:

決定系數(shù)R2= 0.99，顯著性檢驗統(tǒng)計量F =546.4，剩余方差P ＜0.0001。從結果中可以看到F檢驗的P 值接近于0，F(xiàn)0.05=2.8661 遠遠小于F =546.4;決定系數(shù)R2=0.99 接近于1，說明回歸方程是有意義的。

表6 各個設計變量對床身最大變形量靈敏度值

通過表6 看出設計變量對床身最大變形量的靈敏度X1＞X3＞X4＞X2。

綜合考慮各個設計變量對床身重量和最大變形量的靈敏度，選取優(yōu)化參數(shù)為X1(床身承重壁厚)和X3(普通筋板厚度)。

4 床身結構參數(shù)的多目標優(yōu)化

響應曲面設計方法［6］(RSM)是利用合理的試驗設計方法得到數(shù)據(jù)，采用多元回歸方程來擬合因素與響應值之間的函數(shù)關系，通過對回歸方程的分析來尋求最優(yōu)工藝參數(shù)，是解決多變量問題的一種統(tǒng)計方法。

4.1 實驗數(shù)據(jù)的采集

采用中心復合試驗設計(CCD)來安排實驗。按要求選取中心點、軸向點和立方點，取變量值x1(cm)(承重壁厚度)、x2(cm)(普通筋板厚度)安排實驗，讀取最大變形量u(μm)和質量m(t)，得到結果如表7 所示。

表7 中心復合試驗設計結果表

4.2 擬合響應面模型函數(shù)

響應面函數(shù)最常用的是二次函數(shù)，形式如:

二次響應面模型有較高的精度能滿足工程實際的需要。運用Matlab 對表7 中的數(shù)據(jù)進行二次回歸分析，得到設計變量與床身重量和床身最大變形量的二次響應面模型，并進行有效性檢驗。

床身最大變形量的響應面模型

F 檢驗統(tǒng)計量F =971.66 遠遠大于F0.01 =10.92 所以模型是有效的。

床身重量的響應面模型:

F 檢驗統(tǒng)計量F =370.15 遠遠大于F0.01 =10.92 所以模型是有效的。

4.3 床身多目標優(yōu)化的實現(xiàn)

將床身重量和最大變形量同時作為優(yōu)化目標進行優(yōu)化，數(shù)學描述如下

采用理想點法求解多目標優(yōu)化問題，首先運用Matlab 分別求取u(x)和m(x)的最優(yōu)解U =1.7097和M=4.6568 即理想點，然后構造評價函數(shù)如下:

再求取評價函數(shù)f(x)最優(yōu)解，得到x1=5.72 和x2=2.14。取x1=5.7cm 和x2=2.2cm 建模分析，結果如表8 所示。

表8 優(yōu)化后的床身有限元分析結果

從結果可以看出優(yōu)化后的新型床身最大變形量有所減小，與原型床身對比床身重量降低了7%，達到了廠家保持最大變形量不增大而降低床身重量的要求。

5 總結

本文運用ABAQUS 有限元分析軟件，對1.25 立式磨床的床身進行結構優(yōu)化，通過靈敏度分析確定靈敏的設計變量，采用理想點法實現(xiàn)對床身重量和最大變形量響應面模型的多目標優(yōu)化，經(jīng)實際生產(chǎn)證明，符合廠家要求，在保證低成本的情況下，設計是有效合理的。說明這種方法是可行的，可以很好地指導產(chǎn)品結構優(yōu)化，有實際應用價值，亦可推廣到其他工程優(yōu)化領域。

［1］鐘偉弘，徐燕申，林漢元. 基于有限元分析的模具加工中心床身結構優(yōu)化設計［J］. 組合機床與自動化加工技術，2009(3):21－24.

［2］陳桂平，文桂林，崔中. 高速磨床床身結構動態(tài)分析與優(yōu)化［J］. 制造技術與機床，2009(2):19－23.

［3］耿新海. 六主軸數(shù)控車床床身有限元分析與結構優(yōu)化［D］. 沈陽工業(yè)大學，2009.

［4］丁玉蘭. 人機工程學(第3 版)［M］. 北京:北京理工大學出版社，2005.

［5］羅輝，陳蔚芳，葉華. 機床立柱靈敏度分析及多目標優(yōu)化設計［J］. 機械科學與技術，2009，28(4):487－491.

［6］熊俊濤，喬志德，韓忠華. 基于響應面法的跨聲速機翼氣動優(yōu)化設計［J］. 航空學報，2006，27(3):399－402.