于 偉，辛寶貴

(1.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072;2.天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，天津 300387;3.山東科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，山東青島 266590)

0 引言

行業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指的是在商品經(jīng)濟(jì)的范疇，該行業(yè)依據(jù)本行業(yè)的產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)行業(yè)產(chǎn)品進(jìn)行相應(yīng)的規(guī)劃、設(shè)計(jì)、制造、檢測(cè)、計(jì)量、運(yùn)輸、儲(chǔ)存、銷售、售后服務(wù)、生態(tài)回收等全程的必要的信息披露。隨著世界各國(guó)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量與安全越來(lái)越重視，全社會(huì)在產(chǎn)品質(zhì)量和安全性方面的費(fèi)用支出額占國(guó)民生產(chǎn)總值的比重愈來(lái)愈大，約占總銷售額的10%;另一方面是質(zhì)量同整個(gè)國(guó)家生產(chǎn)率水平的關(guān)聯(lián)，產(chǎn)品或服務(wù)質(zhì)量不僅是當(dāng)代決定企業(yè)素質(zhì)、企業(yè)發(fā)展和企業(yè)經(jīng)濟(jì)實(shí)力和企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)的主要因素，也是決定一國(guó)競(jìng)爭(zhēng)能力和經(jīng)濟(jì)實(shí)力的主要因素［1-2］。

產(chǎn)品質(zhì)量都是任何一個(gè)國(guó)家社會(huì)的大事，因?yàn)樗玛P(guān)人民生命健康財(cái)產(chǎn)安全。近年來(lái)，有許多學(xué)者開始研究產(chǎn)品質(zhì)量控制問(wèn)題。如趙道致和呂昕［3］運(yùn)用微分博弈方法對(duì)企業(yè)的產(chǎn)品質(zhì)量決策問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出動(dòng)態(tài)環(huán)境下兩個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)企業(yè)之間產(chǎn)品質(zhì)量決策的分析模型;蘇秦等［4］基于產(chǎn)品質(zhì)量角度，應(yīng)用客戶需求及優(yōu)化理論，研究了產(chǎn)品質(zhì)量、價(jià)格及交付提前期競(jìng)爭(zhēng)下的企業(yè)最優(yōu)決策問(wèn)題;劉小魯［5］以二級(jí)價(jià)格歧視模型為基礎(chǔ)，通過(guò)引入對(duì)不同產(chǎn)品種類的非對(duì)稱價(jià)格上限管制討論了中國(guó)藥品價(jià)格管制背景下廠商的產(chǎn)品質(zhì)量和產(chǎn)品多樣化決策，并由此分析了管制的實(shí)際效果;秦利［6］研究發(fā)現(xiàn)，農(nóng)產(chǎn)品協(xié)會(huì)能夠提高政府對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的監(jiān)管能力，并促使農(nóng)產(chǎn)品供給者遵循行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，既確保了農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量安全，也促進(jìn)了農(nóng)產(chǎn)品供給者利益最大化。夏瓏和史紅民［7］研究發(fā)現(xiàn)，規(guī)制者與被規(guī)制者之間的質(zhì)量博弈過(guò)程對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量有著重大影響，只要生產(chǎn)質(zhì)量不合格產(chǎn)品的預(yù)期收益大于預(yù)期成本，企業(yè)就有生產(chǎn)的沖動(dòng);謝地和孫志國(guó)［8］認(rèn)為，產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)管制度合理與否，關(guān)鍵在于對(duì)參與人是否實(shí)施了有效的約束和激勵(lì)，有效的約束和激勵(lì)能夠引導(dǎo)參與人遵守規(guī)則，而無(wú)效的約束和激勵(lì)則會(huì)收到相反的效果。

本文首先建立了固定時(shí)限內(nèi)機(jī)床企業(yè)2 與企業(yè)1不合格產(chǎn)品投放市場(chǎng)的非合作隨機(jī)微分博弈模型，接著運(yùn)用Hamiton-Jacobi-Bellman-Fleming 原理，求出了該博弈模型的反饋納什均衡解，并提出了其滿足子博弈一致性的結(jié)論，最后進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了研究結(jié)果的正確性。本文的研究結(jié)果可以為我國(guó)制定機(jī)床行業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量控制政策提供必要的理論支持。

1 非合作隨機(jī)微分博弈模型

為了便于建立數(shù)學(xué)模型，我們將所研究的機(jī)床行業(yè)僅存在兩大寡頭:寡頭企業(yè)1 和寡頭企業(yè)2。這樣，我們可以將博弈參與人i(i =1，2)記作:寡頭企業(yè)1 為參與人1，寡頭企業(yè)2 為參與人2。為了明確問(wèn)題，再做如下假設(shè):

(1)假設(shè)qi(t)是博弈參與人i 在時(shí)間t ∈［0，T］的產(chǎn)量，ei(t)= hi(qi(t))為參與人i 生產(chǎn)qi(t)的產(chǎn)量時(shí)投入市場(chǎng)的未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品數(shù)量。記ri(qi(t))為參與人i 生產(chǎn)qi(t)的產(chǎn)量時(shí)的凈收入，即總收入減去總成本。

(2)假定hi(qi(t))是嚴(yán)格遞增的函數(shù)，即(hi(qi(t)))＞0，所以，我們可以記ri(qi(t))=ri(ei(t))，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化符號(hào)表示形式，記Ri(ei(t))= ri(ei(t))。

(3)假定Ri(ei(t))是關(guān)于ei(t)遞增的凹函數(shù)，即R'i(ei)≥0，R”

i(ei)≥0，Ri(0)= 0。Di(s(t))是治理成本函數(shù)，表示未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量為s(t)時(shí)，消費(fèi)者因擔(dān)心購(gòu)買到不合格產(chǎn)品采取避免或減少消費(fèi)該行業(yè)產(chǎn)品而給參與人i 產(chǎn)生的損失，是單調(diào)遞增的凸函數(shù)。

(4)令s(t)為未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量，它的變化依賴于兩個(gè)寡頭企業(yè)對(duì)未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的投放水平。μ ≥0 為常數(shù)，表示兩個(gè)參與人投放未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的邊際影響，ε ＞0 為常數(shù)，表示未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量的自然損耗率，為了便于數(shù)學(xué)處理，不失一般性，我們假設(shè)投放未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的邊際影響對(duì)兩個(gè)參與人是相同的。σ ≥0 為常數(shù)，表示不可預(yù)知的因素的影響，W(t)是維納過(guò)程。

(5)假定博弈結(jié)束時(shí)間T 時(shí)的收益為gs2。

(6)假定博弈雙方在沒(méi)有達(dá)成一致協(xié)議的情況下，參與人i 會(huì)單獨(dú)采取行動(dòng)以實(shí)現(xiàn)自己的期望收益最大化的目標(biāo)。

根據(jù)以上假設(shè)，我們可以得到固定期限內(nèi)兩寡頭企業(yè)將未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品投放到市場(chǎng)問(wèn)題的非合作隨機(jī)微分博弈模型，如下所示:

其中，s0表示初始時(shí)刻t = 0 時(shí)的未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量，ds(t)表示未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量的變化，r 為貼現(xiàn)率，e－rt是貼現(xiàn)因子。

我們把式(1)與式(2)構(gòu)成的非合作隨機(jī)微分博弈記為Γ(s0，T－0)。把與式(1)與式(2)結(jié)構(gòu)一樣，開始時(shí)間為τ ∈［0，T)，開始狀態(tài)s(τ)= sτ∈S 的非合作隨機(jī)微分博弈記為Γ(sτ，T－τ)。

2 模型的求解

為了在數(shù)學(xué)易于處理我們假設(shè)凈收入函數(shù)Ri(ei)，i = 1，2 是未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量ei(t)，i =1，2 的二次函數(shù)，治理成本函數(shù)Di(s(t))，i =1，2 是未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量s(t)的二次函數(shù)。

為了便于數(shù)學(xué)處理，同文獻(xiàn)［8］類似，我們假設(shè):

其中αi＞0 為常數(shù)，βi≥0 為常數(shù)，注意到參與人面臨不同的收入和成本參數(shù)，假定成本參數(shù)β2≥β1≥0。則參與人i = 1，2 的期望收益(支付)的目標(biāo)函數(shù)為:

則參與人i = 1，2 按照式(4)和式(5)最大化自己的期望收益(支付):

根據(jù)引理3.1，我們可以得到:

定理3.2 對(duì)非合作博弈式(4)和式(5)，博弈的參與人i = 1，2 的反饋納什均衡解為:

其中，Ai(t)，Bi(t)，Ci(t)滿足:

說(shuō)明:由定理3.2 中ei(t)，ej(t)的表達(dá)式知道，反饋納什均衡策略ei(t)，ej(t)和當(dāng)前時(shí)間t 和狀態(tài)s有關(guān)，與狀態(tài)s 的初始值s0無(wú)關(guān)，所以，反饋策略ei(t)，ej(t)是馬爾科夫的［10］。

定義3.2 在非合作隨機(jī)微分博弈Γ(sτ，T－τ)所構(gòu)成的納什均衡解中，參與人i，i = 1，2 的價(jià)值函數(shù)(t，st)，i = 1，2，即當(dāng)狀態(tài)變量為s(t)= st時(shí)，參與人i，i = 1，2 在區(qū)間［t，T］上的期望支付的現(xiàn)值為:

對(duì)于τ ∈［0，T)，t ∈［τ，T)，i = 1，2。

根據(jù)定義3.1，我們有

性質(zhì):在區(qū)間［τ，T］上的非合作隨機(jī)微分博弈Γ(sτ，T－τ)，當(dāng)狀態(tài)變量為s(t)= st時(shí)，參與人i =1，2 在區(qū)間［t，T］上的期望收益的現(xiàn)值等于它的子博弈的值函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的貼現(xiàn)值，即滿足子博弈一致性，當(dāng)非合作博弈沿著最優(yōu)軌跡進(jìn)行，參與人總會(huì)根據(jù)最初的最優(yōu)共識(shí)原則，都不愿意偏離一直采用的“最優(yōu)”行為。

3 數(shù)值仿真

為了便于進(jìn)行數(shù)值模擬，我們固定以下參數(shù):r =0.05，ε = 0.1，β1= 0.2，β2= 0.4，σ = 0.1，α1= 2，α2= 2，μ =0.6;取如下初值:A1(1)=0.3，B1(1)=0.6，C1(1)= 0.1，A2(1)= 0.2，B2(1)= 0.4，C2(1)=0.1;取步長(zhǎng)h = 0.01，取博弈的固定期限T = 50。

機(jī)床企業(yè)1，如圖1 所示，其期望收益V1隨未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量e1的增大而增大，未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量s 也隨未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量e1的增加而增加。

圖1 企業(yè)1 未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量e1、期望收益V1 和未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量s 之間的關(guān)系

機(jī)床企業(yè)2 的未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量及其期望收益與未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量之間的關(guān)系同企業(yè)1 的非常類似，如圖2 所示，其期望收益V2隨未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量e2的增大而增大，未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量s 也隨未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量e2的增加而增加。

圖2 企業(yè)2 未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量e2、期望收益V2 和和未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)存量s 之間的關(guān)系

4 結(jié)論

(1)不論機(jī)床企業(yè)1 還是企業(yè)2，都非常重視本企業(yè)的產(chǎn)量質(zhì)量控制問(wèn)題，并且也需要花費(fèi)大量的時(shí)間和費(fèi)用成本。以往的研究，要么是從實(shí)證分析出發(fā)，調(diào)查利益相關(guān)者的未達(dá)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品的市場(chǎng)投放量，做出一個(gè)靜態(tài)的產(chǎn)品質(zhì)量控制決策，要么是運(yùn)用微分博弈的等確定性的方法，不考慮隨機(jī)因素的影響，做出一個(gè)確定性的產(chǎn)品質(zhì)量控制決策。本文考慮到不確定性因素的影響，運(yùn)用隨機(jī)微分博弈理論作為解決不確定性動(dòng)態(tài)決策的有效工具，構(gòu)建機(jī)床行業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量控制的非合作隨機(jī)微分博弈模型，并計(jì)算出了該模型的反饋納什均衡策略(反饋納什均衡解)。指出該模型的反饋納什均衡策略e1(t)和e2(t)與當(dāng)前時(shí)間t 和狀態(tài)s 有關(guān)，與狀態(tài)s 的初始值s0無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，該模型的反饋策略e1(t)和e2(t)是馬爾科夫的。

(2)非合作均衡策略的性質(zhì):在區(qū)間［τ，T］上的非合作隨機(jī)微分博弈Γ(sτ，T－τ)，當(dāng)狀態(tài)變量為s(t)= st時(shí)，參與人i=1，2 在區(qū)間［t，T］上的 期望支付的現(xiàn)值，等于它的子博弈的值函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的貼現(xiàn)值，即滿足子博弈一致性。

(3)在機(jī)床行業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量控制問(wèn)題上，機(jī)床企業(yè)1 和企業(yè)2 都會(huì)理性地選擇模型的均衡解作為本企業(yè)質(zhì)量控制的最優(yōu)策略。

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